انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر

ملخص

يعرّف درسنا هذا الدالة الأسية لعدد مركب. وينطلق من ملاحظتين: العدد المركب cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta يحوّل مجاميع الزوايا إلى جداءات، كما تحوّل القوة مجاميع الأسس إلى جداءات، ومتسلسلة الدالة الأسية، إذا حُسبت عند عدد تخيلي، تنفصل إلى متسلسلتي جيب التمام والجيب. وكلتاهما تقود إلى صيغة أويلر، eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta، وإلى التعريف ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right). ويبرهن أن الدالة الأسية المركبة تحوّل المجاميع إلى جداءات، وأن مقياسها eae^a وعمدتها bb، وأنها لا تنعدم أبدًا، وأنها دورية ودورها 2πi2\pi i؛ ويكتب كل عدد مركب على الشكل الأسي reiθr e^{i\theta}؛ ويعبّر عن جيب التمام والجيب بدلالة دوال أسية، ويمدّدهما إلى المستوى كله، ويكتشف فيهما الدوال الزائدية. ويختم باللوغاريتم المركب، الذي له ما لا نهاية من القيم، وبالقوى ذات الأس المركب، التي يتبيّن من بينها أن iii^i عدد حقيقي.

أهداف التعلم

  1. أن يشرح لماذا يقود قانون الأسس ومتسلسلة الدالة الأسية إلى صيغة أويلر، وأن يميّز هذا الحساب الاستكشافي من البرهان، وأن يمدّد تعريف الدالة الأسية إلى كل أس مركب.
  2. أن يبرهن خواص الدالة الأسية المركبة (الدالة الأسية لمجموع، والمقياس، والعمدة، والدورية) وأن يجري العمليات بالشكل الأسي للأعداد المركبة.
  3. أن يعبّر عن جيب التمام والجيب بدلالة دوال أسية، وأن يمدّدهما إلى الأعداد المركبة، وأن يحدّد أيّ المتطابقات المثلثية تبقى صحيحة في C\mathbb{C}، وأن يربطهما بالدوال الزائدية.
  4. أن يحل المعادلة ew=ze^w = z، وأن يعرّف اللوغاريتم الرئيسي، وأن يحسب قوى ذات أس مركب، وأن يشرح لماذا يكون لها، في العموم، ما لا نهاية من القيم.

صيغة أويلر

في درس الشكل القطبي للأعداد المركبة بُرهن أنه عند ضرب عددين مركبين تُضرب المقاييس وتُجمع العُمَد. وبالنسبة إلى الأعداد المركبة التي مقياسها 11، تنص المبرهنة على أن

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

إذا رمزنا بـE(θ)E(\theta) إلى العدد المركب cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta، كُتبت المساواة أعلاه على الصورة E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta)، وفضلًا عن ذلك E(0)=1E(0) = 1. غير أن تحويل المجاميع إلى جداءات هو الخاصية المميزة للقوى، ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y، المدروسة في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالدالة الأسية؛ وصيغة دي موافر، E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta)، المبرهنة في درس صيغة دي موافر، هي القانون (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}. ومن ثمّ يوحي كل شيء بأن E(θ)E(\theta) قوة أسها متناسب مع θ\theta. ومتسلسلة الدالة الأسية تبيّن أيّ قوة هي.

متسلسلة الدالة الأسية بأس تخيلي

في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالعدد e بُرهن أن ee هو مجموع متسلسلة مقلوبات العامليات. وبصورة أعمّ، تتحقق لكل عدد حقيقي xx المساويات الثلاث الآتية، التي تعني فيها المجاميع ذات الحدود اللانهائية، كما هناك، القيمة التي تقترب منها المجاميع الجزئية:

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

تُقبل هذه المتسلسلات الثلاث هنا دون برهان: فهي تُستخرج بمبرهنة تايلور، التي تُدرس في دورة التفاضل والتكامل 2، حيث يُبرهن فضلًا عن ذلك أنها متقاربة لكل عدد حقيقي xx؛ أما تقارب الأولى لكل عدد مركب xx فينتمي إلى دراسة المتسلسلات والتحليل المركب. ولا تستعمل متسلسلة الدالة الأسية إلا الجمع والضرب والقسمة، وهي عمليات لها معنى في C\mathbb{C}، فيمكن حسابها عند x=iθx = i\theta. غير أن الرمز eiθe^{i\theta} ليس له بعدُ أي معنى: فالقوة ذات الأس التخيلي ليست جداء عوامل متساوية، ولا قيمة للدالة الأسية الحقيقية. لذلك فإن حساب المثال الآتي ليس برهانًا على أن eiθe^{i\theta} يساوي شيئًا ما، بل هو حافز: فهو يبيّن أن مجموع المتسلسلة عند iθi\theta هو cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta، بحيث إنه إذا كان على المتسلسلة أن تظل معرِّفة للدالة الأسية في الأسس التخيلية، فلا يوجد اختيار آخر ممكن.

مثالمتسلسلة الدالة الأسية عند عدد تخيلي

ليكن θ\theta عددًا حقيقيًا. نعوّض x=iθx = i\theta في متسلسلة الدالة الأسية ونفصل الحدود ذات الدليل الزوجي عن الحدود ذات الدليل الفردي، مستعينين بدورة قوى ii من درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالأعداد المركبة. ويرسم الشكل، من أجل θ=π\theta = \pi، المجاميع الجزئية SnS_n خطًّا منكسرًا: كل حد هو الحد الذي دليله أصغر بواحد، مُدارًا بربع دورة ومضروبًا في θk\frac{\theta}{k}.

الحل

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    نعوّض عن xx بـiθi\theta في المتسلسلة، دون أن نطلق بعدُ أي اسم على مجموعها. والمجموعان الجزئيان الأولان هما S0=1S_0 = 1 وS1=1+iθS_1 = 1 + i\theta.

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    قوى ii ذات الأس الزوجي هي (−1)m(-1)^m، لأن i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m؛ والقوى ذات الأس الفردي تُحصل بالضرب في ii. فالحدود ذات الدليل الزوجي حقيقية، والحدود ذات الدليل الفردي تخيلية بحتة.

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    في المجموع الجزئي S2N+1S_{2N + 1}، الذي له عدد منته من الحدود، نجمع من جهة الحدود ذات الدليل الزوجي، ومن جهة أخرى الحدود ذات الدليل الفردي، ونُخرج العامل ii من الثانية: فتنتج المجاميع الجزئية لمتسلسلتي جيب التمام والجيب.

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    يقترب المجموعان الحقيقيان من جيب تمام θ\theta ومن جيبه، بمقتضى المتسلسلات المقبولة؛ ويختلف S2NS_{2N} عن S2N+1S_{2N + 1} بحد يقترب من 00. ومجموع المتسلسلة هو العدد المركب الذي مقياسه 11 وعمدته θ\theta.

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    من أجل θ=π\theta = \pi، يدور الخط المنكسر للمجاميع الجزئية على شكل لولب ويقترب من −1-1: فالمجموع S12S_{12} يبعد عن −1-1 أقل من جزء من ألف.

إن الحساب أعلاه، المستند إلى المتسلسلات المقبولة، يحدّد مجموع المتسلسلة؛ أما ما لا يستطيعه فهو أن يبرهن أن هذا المجموع هو «ee مرفوعًا إلى القوة iθi\theta»، لأن هذه العبارة لا معنى لها مسبقًا. لذلك تُعتمد تعريفًا.

الدالة الأسية التخيلية

من أجل كل عدد حقيقي θ\theta، الدالة الأسية التخيلية eiθe^{i\theta} هي العدد المركب الذي مقياسه 11 وعمدته θ\theta، المعطى بـصيغة أويلر، التي نشرها ليونهارت أويلر سنة 1748.
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

من أجل θ=0\theta = 0 ينتج ei0=1e^{i0} = 1، كما يقتضي قانون الأسس. وتُترجم الآن خواص الشكل القطبي وصيغة دي موافر إلى قوانين القوى، التي لم تعد هناك حاجة إلى تذكّرها بوصفها قواعد تخص الزوايا.

مبرهنةالدالة الأسية التخيلية

لكل الأعداد الحقيقية θ\theta وα\alpha وβ\beta ولكل عدد صحيح nn، العدد المركب eiθe^{i\theta} مقياسه 11؛ وتتحقق eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} و(eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}؛ ومقلوب eiθe^{i\theta} هو مرافقه e−iθe^{-i\theta}، وeiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} إذا وفقط إذا كان α−β\alpha - \beta مضاعفًا صحيحًا لـ2π2\pi. كل ادعاء هو ترجمة لنتيجة من الدروس التي سبقت دراستها. ويبيّن الشكل النقطة eiθe^{i\theta}، التي تجتاز الدائرة التي نصف قطرها 11 في عكس اتجاه عقارب الساعة كلما تزايد θ\theta.

البرهان

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    المقياس 11 بمقتضى المتطابقة الأساسية من درس المتطابقات المثلثية الأساسية: النقطة eiθe^{i\theta} هي نقطة الدائرة التي نصف قطرها 11 المقابلة للزاوية θ\theta.

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    قاعدة الجداء هي مبرهنة الجداء في الشكل القطبي بمقاييس تساوي 11: العُمَد تُجمع.

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    القوة هي صيغة دي موافر، الصحيحة لكل عدد صحيح nn.

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    بما أن جيب التمام زوجي والجيب فردي، فإن e−iθe^{-i\theta} هو مرافق eiθe^{i\theta}، أي نظيره بالنسبة إلى المحور الحقيقي؛ وبمقتضى قانون الجداء، مع β=−α\beta = -\alpha، هو أيضًا مقلوبه.

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    بمقتضى تساوي الأعداد المركبة في الشكل القطبي، يتطابق عددان مركبان مقياس كل منهما 11 إذا وفقط إذا اختلفت عمدتاهما بمضاعف صحيح لـ2π2\pi: فبعد دورة كاملة تعود النقطة إلى المرور بالموضع نفسه.

متطابقة أويلر

من أجل θ=π\theta = \pi، تعطي صيغة أويلر eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1، أي:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

هذه المساواة، المسماة متطابقة أويلر، تجمع في علاقة واحدة العددين 00 و11، العنصرين المحايدين للجمع والضرب، والوحدة التخيلية ii، والثابتين الأساسيين في التحليل، ee وπ\pi. وبالطريقة نفسها، eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i وe−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i وe2πi=1e^{2\pi i} = 1. وعلى وجه الخصوص، بما أن i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}، فإن قوى ii هي in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}: فالدورة ذات الدور 44 من درس الأعداد المركبة في دورة الجبر والهندسة 1 هي دورية الدالة الأسية التخيلية، لأن أربعة أرباع الدورة مجموعها 2π2\pi.