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Topos Uranos
Deutsch

n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln

Zusammenfassung

Diese Lektion löst in den komplexen Zahlen die Gleichung zn=wz^n = w. Mit der Polarform und der Formel von de Moivre beweist sie, dass jede von null verschiedene komplexe Zahl genau nn nn-te Wurzeln hat, die denselben Betrag besitzen und deren Argumente um 2πn\frac{2\pi}{n} auseinanderliegen, sodass sie ein regelmäßiges Vieleck mit dem Ursprung als Mittelpunkt bilden. Danach untersucht sie die Einheitswurzeln: Sie sind die Potenzen einer einzigen von ihnen, sie multiplizieren sich so, wie sich die Reste bei der Division durch nn addieren, ihre Potenzen mit dem Exponenten mm haben die Summe nn oder 00, je nachdem, ob nn ein Teiler von mm ist oder nicht, und sie zerlegen das Polynom zn−1z^n - 1 in Faktoren. Mit dem größten gemeinsamen Teiler kennzeichnet sie die primitiven Einheitswurzeln, deren Potenzen alle Wurzeln durchlaufen, und gewinnt, indem sie konjugierte Wurzeln zusammenfasst, die reelle Faktorisierung von xn−1x^n - 1 und von xn+1x^n + 1 in lineare und quadratische Faktoren, mit der der Wert von cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5} wieder erscheint.

Lernziele

  1. Die nn nn-ten Wurzeln einer von null verschiedenen komplexen Zahl mit der Polarform bestimmen, beweisen, dass es genau nn sind, und sie als die Ecken eines regelmäßigen Vielecks beschreiben.
  2. Mit den Einheitswurzeln als Potenzen einer von ihnen rechnen, die Summen ihrer Potenzen berechnen und das Polynom zn−1z^n - 1 faktorisieren.
  3. Mit dem größten gemeinsamen Teiler entscheiden, welche Einheitswurzeln primitiv sind, und das Kriterium mit dem Lemma von Bézout beweisen.
  4. Die Polynome xn−1x^n - 1 und xn+1x^n + 1 über den reellen Zahlen faktorisieren, indem man konjugierte Wurzeln zusammenfasst, und die Einheitswurzeln auf Aufgaben über Abstände, trigonometrische Werte und Gleichungen anwenden.

Die nn-ten Wurzeln einer komplexen Zahl

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über die komplexen Zahlen wurde die Gleichung z3=1z^3 = 1 durch Faktorisieren einer Differenz zweier Kuben gelöst, und es wurde angekündigt, dass die nn-ten Wurzeln einer beliebigen komplexen Zahl die Polarform erfordern würden. Die Methode der Faktorisierung lässt sich nicht verallgemeinern: Für die Gleichung z5=1+iz^5 = 1 + i ist kein Faktor in Sicht. Die Polarform, die in der Lektion über die Polarform der komplexen Zahlen untersucht wurde, verwandelt die Gleichung dagegen in zwei reelle Bedingungen, eine zwischen den Beträgen und eine zwischen den Argumenten, denn nach der in der Lektion über die Formel von de Moivre bewiesenen Formel erhebt man beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit dem Exponenten nn ihren Betrag in die Potenz nn und multipliziert ihr Argument mit nn.

Es seien ww eine komplexe Zahl und nn eine natürliche Zahl. Eine komplexe Zahl zz heißt nn-te Wurzel von ww, wenn zn=wz^n = w gilt. Die zweiten Wurzeln heißen Quadratwurzeln, die dritten Kubikwurzeln.

Die einzige komplexe Zahl, deren nn-te Potenz 00 ist, ist 00 selbst, denn ein Produkt komplexer Zahlen verschwindet nur, wenn einer seiner Faktoren verschwindet; der interessante Fall ist daher w≠0w \neq 0. Man schreibt dann ww in Polarform, w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi), mit R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 und φ\varphi einem beliebigen seiner Argumente. Das Symbol Rn\sqrt[n]{R} behält die Bedeutung, die es in der Lektion von Kurs I über Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln hat: Es bezeichnet die Hauptwurzel der positiven reellen Zahl RR, die einzige positive reelle Zahl, deren nn-te Potenz RR ist. Das Wurzelzeichen bleibt der Hauptwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl vorbehalten und, wie in jener Lektion, der reellen Wurzel mit ungeradem Wurzelexponenten aus einer negativen reellen Zahl, etwa −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2; auf eine andere komplexe Zahl angewandt, wird es nur mit der ausdrücklichen Angabe verwendet, dass es eine beliebige ihrer Wurzeln bezeichnet, denn keine ihrer nn Wurzeln zeichnet sich, wie sich gleich zeigen wird, vor den übrigen aus, und eine durch Konvention auszuwählen, verletzt die Rechenregeln für Wurzeln: Nennte man die Quadratwurzel aus −1-1 die Zahl ii, so wäre das Produkt dieser Wurzel mit sich selbst −1-1 und nicht die Quadratwurzel aus (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

Schließlich wird der Satz über die Gleichheit in Polarform verwendet, der in derselben Lektion bewiesen wurde: Zwei von null verschiedene komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie denselben Betrag haben und ihre Argumente sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi unterscheiden.

Satznn-te Wurzeln

Es seien w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) eine von null verschiedene komplexe Zahl, mit R=∣w∣R = \abs{w}, und nn eine natürliche Zahl. Die Gleichung zn=wz^n = w hat genau nn verschiedene Lösungen, nämlich die komplexen Zahlen zkz_k unten, für k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. Alle haben den Betrag Rn\sqrt[n]{R}, und das Argument jeder von ihnen übertrifft das der vorangehenden um 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

Man sucht die Lösung in Polarform und setzt die Polarformen von znz^n und von ww gleich. Die Abbildung begleitet den Beweis mit w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) und n=3n = 3, deren dritte Wurzeln den Betrag 22 haben.

Beweis

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    Eine Lösung kann nicht null sein, denn es gilt 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. Wir schreiben sie in Polarform, mit r>0r > 0, und erheben sie mit der Formel von de Moivre in die Potenz nn.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Nach dem Satz über die Gleichheit in Polarform ist die Gleichung zn=wz^n = w gleichwertig mit zwei reellen Bedingungen: Die Beträge sind gleich, und die Argumente unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Die positive reelle Zahl, deren nn-te Potenz RR ist, ist eindeutig, die Hauptwurzel, und das Argument wird durch die ganze Zahl kk bestimmt. Umgekehrt ist jede komplexe Zahl mit diesem Betrag und diesem Argument eine Lösung, denn sie erfüllt beide Bedingungen. Mit w=−8w = -8 und n=3n = 3 ergeben sich r=2r = 2 und θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    Die ganzen Zahlen kk sind unendlich viele, die Lösungen aber nicht. Nach der Division mit Rest lässt sich jede ganze Zahl als k=qn+jk = qn + j schreiben, mit einer ganzen Zahl qq und 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1; das Argument θk\theta_k übertrifft dann θj\theta_j um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi, und die beiden Lösungen stimmen überein. In der Abbildung gilt z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    Die Lösungen z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} sind paarweise verschieden: Ist 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1, so unterscheiden sich ihre Argumente um eine Zahl, die echt zwischen 00 und 2π2\pi liegt und kein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi ist. Es gibt daher genau nn Lösungen. Mit w=−8w = -8 sind es 1+i31 + i\sqrt{3}, −2-2 und 1−i31 - i\sqrt{3}.

In der Praxis hat die erste Wurzel das Argument φn\frac{\varphi}{n}, und jede der übrigen erhält man, indem man 2πn\frac{2\pi}{n} zum Argument der vorangehenden addiert. Ersetzt man das Argument φ\varphi von ww durch ein anderes, φ+2π\varphi + 2\pi, so ändert sich die Menge der Wurzeln nicht, nur ihre Nummerierung: Was vorher z1z_1 war, heißt nun z0z_0. Für n=2n = 2 unterscheiden sich die Argumente der beiden Wurzeln um π\pi, sodass sie entgegengesetzt sind, z1=−z0z_1 = -z_0; das ist das doppelte Vorzeichen, das bei der Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl auftritt, die in der Lektion von Kurs I über die komplexen Zahlen durch Gleichsetzen der Real- und Imaginärteile berechnet wurde. Die Anzahl der Wurzeln stimmt außerdem mit dem überein, was man über Polynome weiß: Nach dem Lemma über verschiedene Nullstellen aus der Lektion von Kurs I über die Algebra der Polynome, dessen Beweis ohne Änderung im Komplexen gilt, kann das Polynom zn−wz^n - w vom Grad nn nicht mehr als nn verschiedene Nullstellen haben; der Satz zeigt, dass es sie alle hat.

Das regelmäßige Vieleck der Wurzeln

Die nn Wurzeln haben denselben Betrag, sodass sie auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt 00 und dem Radius Rn\sqrt[n]{R} liegen, und ihre Argumente sind gleichmäßig verteilt. Der folgende Satz drückt diese Anordnung mit dem Produkt komplexer Zahlen aus, das in Polarform die Beträge multipliziert und die Argumente addiert, wie in der Lektion über die Polarform bewiesen wurde.

SatzDas Vieleck der Wurzeln

Es seien ww eine von null verschiedene komplexe Zahl, mit R=∣w∣R = \abs{w}, und n≥3n \geq 3 eine natürliche Zahl. Jede nn-te Wurzel von ww entsteht aus der vorangehenden durch Multiplikation mit der Zahl ω\omega unten, was einer Drehung um den Winkel 2πn\frac{2\pi}{n} um den Ursprung gleichkommt; die nn Wurzeln sind die Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit nn Seiten, das dem Kreis mit dem Mittelpunkt 00 und dem Radius Rn\sqrt[n]{R} einbeschrieben ist, und seine Seite hat die Länge 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

Die Abbildung begleitet den Beweis mit w=64iw = 64i, deren dritte, vierte und sechste Wurzeln auf Kreisen mit den Radien 643=4\sqrt[3]{64} = 4, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} und 646=2\sqrt[6]{64} = 2 liegen.

Beweis

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    Da ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1 gilt, hat das Produkt zkωz_k \omega den Betrag von zkz_k und dessen um 2πn\frac{2\pi}{n} vergrößertes Argument: Es ist die darauffolgende Wurzel. Durch Induktion über kk ist jede Wurzel die erste, multipliziert mit einer Potenz von ω\omega, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    Die Multiplikation mit ω\omega ist daher eine Drehung um den Winkel 2πn\frac{2\pi}{n} um den Ursprung, und diese Drehung erhält die Abstände, denn der Betrag eines Produkts ist das Produkt der Beträge.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    Die Drehung bildet jede Seite des Vielecks auf die darauffolgende ab, sodass alle Seiten gleich lang sind.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    Das Vieleck schließt sich, denn es gilt ωn=1\omega^n = 1: Die Drehung bildet die letzte Ecke auf die erste ab. Die nn Ecken liegen auf dem Kreis, und die Seiten sind gleich. Außerdem bildet die Drehung das Dreieck mit den Ecken zkz_k, zk+1z_{k + 1} und zk+2z_{k + 2} auf das mit den Ecken zk+1z_{k + 1}, zk+2z_{k + 2} und zk+3z_{k + 3} ab und erhält dabei die drei Seiten, und nach dem Kosinussatz ist ein Winkel eines Dreiecks durch seine drei Seiten bestimmt: Die Winkel des Vielecks, die die Winkel dieser Dreiecke an der mittleren Ecke sind, sind gleich, und das Vieleck ist regelmäßig.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    Die Seite wird im Dreieck mit den Ecken 00, z0z_0 und z1z_1 berechnet. Nach der Halbwinkelformel gilt ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}, und der Sinus von πn\frac{\pi}{n} ist positiv. Für die sechsten Wurzeln aus 64i64i hat die Seite den Wert 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2, gleich dem Radius, wie in jedem regelmäßigen Sechseck.

Für n=2n = 2 entartet das Vieleck zu einem Durchmesser, dessen Endpunkte die beiden entgegengesetzten Wurzeln sind, und für n=1n = 1 gibt es eine einzige Wurzel, nämlich ww selbst. Dass die Wurzeln ein regelmäßiges Vieleck bilden, erklärt, warum sich keine vor den übrigen auszeichnet: Die Drehung um 2πn\frac{2\pi}{n} vertauscht sie, ohne die Figur zu verändern.