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Topos Uranos
Deutsch

Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen

Zusammenfassung

Diese Lektion beweist die Formel von de Moivre, nach der die Potenz mit ganzzahligem Exponenten nn einer komplexen Zahl vom Betrag 11 mit dem Argument θ\theta das Argument nθn\theta hat, und wendet sie in fünf Richtungen an. Sie berechnet Potenzen mit großem Exponenten, ohne Produkte auszumultiplizieren, und entscheidet, wann eine Potenz reell ist oder den Wert 11 hat; sie leitet die Mehrfachwinkelformeln erneut her, indem sie die Formel mit dem binomischen Lehrsatz vergleicht; sie drückt die Potenzen des Kosinus und des Sinus als Summen von Kosinuswerten vielfacher Winkel aus, eine Operation, die Linearisierung heißt; sie berechnet die Summen von Sinus- und von Kosinuswerten in arithmetischer Folge als geometrische Summe komplexer Zahlen und erhält Summen von Binomialkoeffizienten als Real- und Imaginärteil der Potenzen von 1+i1 + i.

Lernziele

  1. Die Formel von de Moivre für jeden ganzzahligen Exponenten beweisen und die Potenzen einer komplexen Zahl geometrisch deuten.
  2. Potenzen komplexer Zahlen mithilfe der Polarform berechnen und bestimmen, wann sie reell oder gleich 11 sind.
  3. Die Mehrfachwinkelformeln herleiten und die Potenzen des Sinus und des Kosinus linearisieren.
  4. Trigonometrische Summen und Summen von Binomialkoeffizienten als Real- und Imaginärteil von Summen und von Potenzen komplexer Zahlen berechnen.

Die Formel von de Moivre

In der Lektion über die Polarform der komplexen Zahlen wurde jede von null verschiedene komplexe Zahl in der Form z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) geschrieben, wobei r=∣z∣r = \abs{z} ihr Betrag und θ\theta eines ihrer Argumente ist, und es wurde mit den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus einer Summe bewiesen, dass sich bei einem Produkt die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren. Für zwei komplexe Zahlen vom Betrag 11 lautet dieser Satz über das Produkt so:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Sind die beiden Faktoren gleich, so ist das Produkt ein Quadrat, mit dem Argument 2θ2\theta; multipliziert man es noch einmal mit demselben Faktor, so ergibt sich eine dritte Potenz, mit dem Argument 3θ3\theta. Wiederholt man das Produkt, so addiert sich das Argument so oft zu sich selbst, wie es Faktoren gibt, sodass das Potenzieren darauf hinausläuft, einen Winkel mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren. Diese Tatsache, die Abraham de Moivre zu Beginn des 18. Jahrhunderts in gleichwertiger Form verwendete und die Euler 1748 in ihrer heutigen Form schrieb, ist der Gegenstand dieser Lektion.

SatzFormel von de Moivre

Für jede reelle Zahl θ\theta und jede ganze Zahl nn gilt die folgende Gleichung.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

Der Beweis behandelt drei Fälle: den Exponenten 00, die natürlichen Exponenten, durch Induktion, und die negativen Exponenten, mithilfe des Inversen. Verwendet werden das Induktionsprinzip in der Form der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über Summen, arithmetische und geometrische Folgen und Induktion und die Potenzen mit ganzzahligem Exponenten aus der Lektion über die komplexen Zahlen, wo z0=1z^0 = 1 und z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m} festgelegt wurden. Die Figur folgt dem Beweis auf dem Kreis mit dem Radius 11, mit einem kleinen Winkel θ\theta und n=3n = 3.

Beweis

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    Für n=0n = 0 ist die linke Seite nach Definition gleich 11, und die rechte ebenfalls, da cos⁡0=1\cos 0 = 1 und sin⁡0=0\sin 0 = 0 gilt.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    Für n=1n = 1 ist die Gleichung offensichtlich. Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass sie für eine natürliche Zahl nn gilt.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    Die nächsthöhere Potenz ist das Produkt der vorangehenden mit der Basis, und die vorangehende wird nach der Induktionsvoraussetzung ersetzt.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    Multipliziert man das Produkt aus, so sind Realteil und Imaginärteil die rechten Seiten der Additionstheoreme für Kosinus und Sinus einer Summe aus der Lektion über die Additionstheoreme: Das ist der Satz über Produkt und Quotient in Polarform. Man erhält die Formel für n+1n + 1, und nach dem Induktionsprinzip gilt sie für jede natürliche Zahl.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    Nach dem Satz über das Produkt ergibt cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta, multipliziert mit cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta), den Wert cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: Der zweite Faktor ist also das Inverse des ersten. Da der Kosinus gerade und der Sinus ungerade ist, ist das Inverse die Konjugierte.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Gilt n=−mn = -m mit natürlichem mm, so ist die Potenz mit dem Exponenten −m-m nach den Potenzgesetzen die mm-te Potenz des Inversen. Man wendet den natürlichen Fall auf den Winkel −θ-\theta an.

Die Formel überträgt sich auf alle von null verschiedenen komplexen Zahlen, weil die Potenz eines Produkts das Produkt der Potenzen ist, auch für negative Exponenten: Das Inverse eines Produkts ist das Produkt der Inversen.

SatzPotenzen in Polarform

Ist z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) eine von null verschiedene komplexe Zahl, so gilt für jede ganze Zahl nn die Gleichung zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): Der Betrag von znz^n ist rnr^n, und nθn\theta ist ein Argument von znz^n. Man trennt den reellen Faktor vom Faktor mit dem Betrag 11 ab und wendet auf diesen die Formel von de Moivre an. Die Figur folgt dem Beweis mit einer komplexen Zahl, deren Betrag etwas größer als 11 ist, und n=3n = 3, und endet mit z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) und den ersten drei Potenzen dieser Zahl.

Beweis

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    Die Potenz eines Produkts ist das Produkt der Potenzen: für natürliche Exponenten wegen der Kommutativität und der Assoziativität des Produkts, und für negative Exponenten, weil das Inverse eines Produkts das Produkt der Inversen ist.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Auf den zweiten Faktor wendet man die Formel von de Moivre an, die für jede ganze Zahl nn gilt.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Da r>0r > 0 gilt, ist die Potenz rnr^n eine positive reelle Zahl, auch für negatives nn. Nach dem Satz über die Gleichheit in Polarform ist der erhaltene Ausdruck eine Polarform von znz^n: Ihr Betrag ist rnr^n, und nθn\theta ist eines ihrer Argumente.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    Für z=3+iz = \sqrt{3} + i haben die Potenzen die Beträge 22, 44 und 88 und die Argumente π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} und π2\frac{\pi}{2}: Die dritte Potenz ist rein imaginär.

Daraus folgt, dass die Potenzen z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots Beträge in geometrischer Folge mit dem Quotienten rr und Argumente in arithmetischer Folge mit der Differenz θ\theta haben, im Sinne der Lektion von Kurs I über Summen und Folgen. Gilt r=1r = 1, so liegen sie alle auf dem Kreis mit dem Radius 11, jede gegenüber der vorhergehenden um einen Winkel θ\theta gedreht; gilt r>1r > 1, so drehen sie sich und entfernen sich vom Ursprung; gilt r<1r < 1, so drehen sie sich und nähern sich ihm. Da außerdem zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k gilt und das Produkt mit zz eine Drehung um den Winkel θ\theta verknüpft mit einer Streckung um den Faktor rr ist, sind alle Dreiecke mit den Ecken 00, zkz^k und zk+1z^{k + 1} dem Dreieck mit den Ecken 00, 11 und zz ähnlich, wie in der Lektion über die Polarform bewiesen wurde.

BeispielDie Spirale der Potenzen

Sei zz die komplexe Zahl vom Betrag 1110\frac{11}{10}, etwas größer als 11, mit dem Argument π4\frac{\pi}{4}. Wir berechnen einige ihrer Potenzen bis zur achten und beschreiben die Kurve, auf der sie liegen.

Beweis

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    In Polarform und in algebraischer Form lautet die Zahl wie folgt.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    Nach dem Satz über Potenzen in Polarform hat das Quadrat das Argument π2\frac{\pi}{2}: Es ist rein imaginär.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    Die vierte Potenz hat das Argument π\pi: Sie ist eine negative reelle Zahl.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    Die achte Potenz hat das Argument 2π2\pi: Nach einer vollen Drehung liegt sie wieder auf der positiven reellen Halbachse, in einem Abstand vom Ursprung, der etwas größer als 22 ist.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    Auch der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Potenzen wächst in geometrischer Folge mit dem Quotienten 1110\frac{11}{10}, nach dem Satz über den Betrag eines Produkts. Die Punkte liegen auf der Kurve, die in Polarkoordinaten, behandelt in der Lektion über Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten, die Gleichung r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}} hat: einer Spirale, die logarithmisch genannt wird und die, wie man mit der Differentialrechnung beweist, jede Gerade durch den Ursprung stets unter demselben Winkel schneidet.