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Topos Uranos
Deutsch

Die Polarform der komplexen Zahlen

Zusammenfassung

Diese Lektion schreibt jede von null verschiedene komplexe Zahl mithilfe ihres Betrags und eines Arguments, des Polarwinkels des Punktes, der sie darstellt, und erhält so ihre Polarform oder trigonometrische Form, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Sie beschreibt alle Argumente einer komplexen Zahl, definiert das Hauptargument und berechnet es mit dem je nach Quadrant korrigierten Arkustangens, und sie beweist, wann zwei Polarformen dieselbe Zahl darstellen. Mit den Additionstheoremen beweist sie den zentralen Satz: Beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert, beim Dividieren werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert; daraus folgen das Argument der Konjugierten und das des Inversen, und es wird festgehalten, dass das Hauptargument eines Produkts nur bis auf eine volle Drehung die Summe der Hauptargumente ist. Schließlich deutet sie das Produkt mit einer komplexen Zahl als eine mit einer Streckung verknüpfte Drehung, welche die Vierteldrehung des Produkts mit ii verallgemeinert, und beweist, dass die Dreiecke mit den Ecken 00, 11, ww und 00, zz, zwzw ähnlich sind.

Lernziele

  1. Eine von null verschiedene komplexe Zahl in Polarform schreiben, ihr Hauptargument je nach Quadrant berechnen und entscheiden, wann zwei Polarformen dieselbe Zahl darstellen.
  2. Mit den Additionstheoremen beweisen, dass sich bei einem Produkt die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren, und die Regeln für den Quotienten, die Konjugierte und das Inverse herleiten.
  3. Das Produkt mit einer komplexen Zahl als eine mit einer Streckung verknüpfte Drehung deuten und die Ähnlichkeit der Dreiecke mit den Ecken 00, 11, ww und 00, zz, zwzw beweisen.
  4. Die Polarform anwenden auf exakte Werte trigonometrischer Verhältnisse, auf Identitäten zwischen Arkustangenswerten, auf Gleichungen mit zz und seiner Konjugierten und auf geometrische Örter, die durch Argumente definiert sind.

Die Polarform einer komplexen Zahl

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über die komplexen Zahlen wurde jede komplexe Zahl z=a+biz = a + bi als der Punkt (a,b)(a, b) der Ebene dargestellt, ihr Betrag ∣z∣\abs{z} als der Abstand dieses Punktes vom Ursprung definiert und bewiesen, dass das Produkt mit ii jeden Punkt um eine Vierteldrehung dreht. Offen blieb das Produkt mit einer beliebigen komplexen Zahl, dessen Wirkung sich an der algebraischen Form nicht ablesen lässt: Der Realteil von (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) ist ac−bdac - bd, ein Ausdruck, der keinerlei Geometrie erkennen lässt. Nun kann ein Punkt der Ebene auch durch seinen Abstand vom Ursprung und durch die Richtung, in der man ihn von dort aus sieht, benannt werden, wie in der Lektion über Polarkoordinaten. Gilt dies für die Punkte, so gilt es für die komplexen Zahlen; und in dieser zweiten Beschreibung wird, wie bewiesen werden wird, das Produkt durchsichtig.

Sei z=a+biz = a + bi eine von null verschiedene komplexe Zahl. Ein Argument von zz ist jede reelle Zahl θ\theta mit a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta und b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Gilt r=∣z∣r = \abs{z} und ist θ\theta ein Argument von zz, so ist der folgende Ausdruck eine Polarform, oder trigonometrische Form, von zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Jede von null verschiedene komplexe Zahl hat Argumente. In der Tat hat nach dem Satz über den Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten, bewiesen in der Lektion über Polarkoordinaten, der Punkt (a,b)(a, b), der vom Pol verschieden ist, eine Polardarstellung (r,θ)(r, \theta) mit r>0r > 0, und sein Radius ist r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, also der Betrag von zz; die Gleichungen a=rcos⁡θa = r \cos \theta und b=rsin⁡θb = r \sin \theta besagen dann, dass der Polarwinkel θ\theta ein Argument von zz ist. Ein Argument von zz ist also der Winkel, den mit der positiven reellen Halbachse die Strecke bildet, die den Ursprung mit zz verbindet, gemessen im Bogenmaß. Die Null hingegen hat kein Argument: Die Gleichung 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) gilt für jedes θ\theta, und kein Winkel zeichnet sie aus. Um irgendeines der Argumente von zz zu bezeichnen, schreibt man arg⁡z\arg z, gelesen „Argument von zz“.

Der folgende Satz besagt, dass Betrag und Argument, anders als Polarkoordinaten mit negativem Radius, die komplexe Zahl eindeutig bestimmen, bis auf volle Drehungen. Von ihm hängt jede Rechnung mit Polarformen ab: Um zu beweisen, dass zwei komplexe Zahlen gleich sind, genügt es, ihre Beträge und ihre Argumente zu vergleichen.

SatzGleichheit in Polarform

Seien rr, r1r_1 und r2r_2 positive reelle Zahlen und θ\theta, θ1\theta_1 und θ2\theta_2 reelle Zahlen. Die komplexe Zahl r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) hat den Betrag rr und das Argument θ\theta. Außerdem sind die komplexen Zahlen r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) und r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) genau dann gleich, wenn r1=r2r_1 = r_2 und θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi für eine ganze Zahl kk gilt. Verwendet werden der trigonometrische Pythagoras, die Periodizität von Sinus und Kosinus und die Charakterisierung der Winkel mit gleichem Endschenkel aus der Lektion über Winkel und ihre Messung: Zwei Winkel liefern genau dann denselben Punkt des Einheitskreises, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi unterscheiden.

Beweis

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Sei z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) mit r>0r > 0. Ihr Realteil ist rcos⁡θr \cos \theta und ihr Imaginärteil rsin⁡θr \sin \theta; nach dem trigonometrischen Pythagoras ist das Quadrat ihres Betrags r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    Die Zahlen ∣z∣\abs{z} und rr sind positiv und haben dasselbe Quadrat; also sind sie gleich, und Real- und Imaginärteil von zz sind die, welche die Definition verlangt: θ\theta ist ein Argument von zz. Jeder Ausdruck dieser Form mit r>0r > 0 ist also eine Polarform.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Sind die komplexen Zahlen mit dem Betrag r1r_1 und r2r_2 gleich, so haben sie denselben Betrag, und nach dem obigen Schritt sind ihre Beträge r1r_1 und r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Wir setzen die Realteile und die Imaginärteile gleich und dividieren durch r1=r2r_1 = r_2, das nicht null ist: Die Winkel θ1\theta_1 und θ2\theta_2 liefern denselben Punkt des Einheitskreises, haben also den gleichen Endschenkel.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Umgekehrt: Gilt r1=r2r_1 = r_2 und θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, so haben die beiden Ausdrücke wegen der Periodizität von Sinus und Kosinus denselben Real- und Imaginärteil, und die komplexen Zahlen sind gleich.

Daraus folgt: Ist θ\theta ein Argument von zz, so sind die Argumente von zz genau die Zahlen θ+2kπ\theta + 2k\pi mit ganzem kk; zwei Argumente derselben komplexen Zahl unterscheiden sich stets um volle Drehungen. Die Gleichung arg⁡z=θ\arg z = \theta bedeutet also, dass θ\theta eines der Argumente von zz ist, und legt die übrigen nicht fest. Außerdem ist zu beachten, dass der Satz r>0r > 0 verlangt: Der Ausdruck −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) ist keine Polarform, weil −2-2 kein Betrag ist; da −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) und −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi) gilt, schreibt sich dieselbe Zahl in Polarform als 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

Das Hauptargument

Unter den Argumenten einer von null verschiedenen komplexen Zahl liegt genau eines im Intervall (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, denn dieses Intervall hat die Länge 2π2\pi und enthält von jeder Familie θ+2kπ\theta + 2k\pi genau einen Vertreter. Dieses Argument heißt das Hauptargument von zz, wird Arg⁡z\operatorname{Arg} z geschrieben und „Hauptargument von zz“ gelesen. Nach dem Satz der Lektion über Polarkoordinaten, mit aa und bb in der Rolle von xx und yy, berechnet man es mit dem Arkustangens aus der Lektion über die Arkusfunktionen, der nur den ersten und den vierten Quadranten erfasst und in den beiden anderen korrigiert werden muss:

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
BeispielDie Polarform einer komplexen Zahl im zweiten Quadranten

Wir schreiben die komplexe Zahl z=−3+iz = -\sqrt{3} + i in Polarform und beschreiben alle ihre Argumente. Die Abbildung verfolgt die Rechnung in der gaußschen Zahlenebene.

Beweis

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    Der Betrag ist der Abstand des Punktes (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) vom Ursprung.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    Der Arkustangens des Quotienten aus Imaginärteil und Realteil liefert einen Winkel im vierten Quadranten: Er ist das Argument des Gegenpunktes 3−i\sqrt{3} - i und nicht das von zz.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Da der Realteil negativ und der Imaginärteil positiv ist, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, und die Formel addiert π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Wir prüfen die Polarform mit den Werten von Kosinus und Sinus von 5π6\frac{5\pi}{6}, die man aus denen von π6\frac{\pi}{6} durch die Symmetrie des Supplementwinkels erhält.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Die übrigen Argumente unterscheiden sich vom Hauptargument um volle Drehungen: Zum Beispiel sind auch −7π6-\frac{7\pi}{6} und 17π6\frac{17\pi}{6} Argumente von zz, liegen aber nicht in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

Die komplexen Zahlen auf den Achsen haben Polarformen, die man sofort erkennen sollte. Die positiven reellen Zahlen haben das Hauptargument 00, die negativen π\pi; die rein imaginären Zahlen bibi mit b>0b > 0 haben das Hauptargument π2\frac{\pi}{2}, und die mit b<0b < 0 haben −π2-\frac{\pi}{2}. So ist zum Beispiel:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

Das Intervall (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} ist eine Konvention, dieselbe wie in der Lektion über Polarkoordinaten; andere Texte verwenden [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Was nicht von der Konvention abhängt, ist die Menge aller Argumente, und deshalb werden die Sätze dieser Lektion mit beliebigen Argumenten formuliert, sofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird.