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Topos Uranos
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복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근

요약

이 수업에서는 복소수의 범위에서 방정식 zn=wz^n = w 식을 푼다. 극형식과 드무아브르 공식을 이용하여, 영이 아닌 모든 복소수가 정확히 nn개의 nn제곱근을 가지며, 그 근들이 절댓값을 공유하고 편각이 2πn\frac{2\pi}{n}씩 떨어져 있어서 원점을 중심으로 하는 정다각형을 이룬다는 것을 증명한다. 이어서 1의 거듭제곱근을 살펴본다. 그것들은 그중 하나의 거듭제곱이고, 그 곱은 나눗셈(nn 수로 나누기)의 나머지의 합과 같은 방식으로 움직이며, 지수가 mm인 거듭제곱의 합은 nn 또는 00 값이 되는데, 어느 쪽인지는 nn 수가 mm 수를 나누는지에 달려 있다. 또한 그것들은 다항식 zn−1z^n - 1 식을 인수분해한다. 최대공약수로 원시근(거듭제곱이 모든 근을 지나는 근)을 특징짓고, 켤레인 근을 짝지어 xn−1x^n - 1 식과 xn+1x^n + 1 식의 실수 범위에서의 일차 인수와 이차 인수로의 인수분해를 얻으며, 이때 cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5} 값이 다시 나타난다.

학습 목표

  1. 영이 아닌 복소수의 nn개의 nn제곱근을 극형식으로 구하고, 그것들이 정확히 nn개임을 증명하며, 정다각형의 꼭짓점으로 기술한다.
  2. 1의 거듭제곱근을 그중 하나의 거듭제곱으로 다루어 계산하고, 그 거듭제곱의 합을 구하며, 다항식 zn−1z^n - 1 식을 인수분해한다.
  3. 어떤 1의 거듭제곱근이 원시근인지를 최대공약수로 판정하고, 그 판정법을 베주 항등식으로 증명한다.
  4. 켤레인 근을 짝지어 다항식 xn−1x^n - 1 식과 xn+1x^n + 1 식을 실수 범위에서 인수분해하고, 1의 거듭제곱근을 거리, 삼각함수의 값, 방정식에 관한 문제에 적용한다.

복소수의 nn제곱근

강좌 대수학과 기하학 I의 복소수에 관한 수업에서는 방정식 z3=1z^3 = 1 식을 세제곱의 차의 인수분해로 풀었고, 임의의 복소수의 거듭제곱근(근지수 nn)에는 극형식이 필요하리라고 예고했다. 인수분해의 방법은 일반화되지 않는다. 방정식 z5=1+iz^5 = 1 + i 식에서는 어떤 인수도 보이지 않기 때문이다. 이와 달리 복소수의 극형식에 관한 수업에서 배운 극형식은 방정식을 두 개의 실수 조건, 즉 절댓값 사이의 조건과 편각 사이의 조건으로 바꾼다. 드무아브르 공식에 관한 수업에서 증명한 공식에 의해, 복소수를 거듭제곱(지수 nn)하면 그 절댓값은 거듭제곱(지수 nn)되고 편각에는 수 nn 값이 곱해지기 때문이다.

ww 값을 복소수, nn 값을 자연수라 하자. 복소수 zz 값이 nn제곱근(ww 값의)이라는 것은 zn=wz^n = w 식이 성립한다는 뜻이다. 2제곱근은 제곱근, 3제곱근은 세제곱근이라 한다.

nn제곱이 00 값인 복소수는 00 수 자신뿐이다. 복소수의 곱은 인수 중 어느 하나가 영일 때에만 영이 되기 때문이다. 따라서 관심 있는 경우는 w≠0w \neq 0 경우이다. 그러면 ww 값을 극형식으로 w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) 식과 같이 쓴다. 여기서 R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 식이고 φ\varphi 값은 그 편각 중 임의의 하나이다. 기호 Rn\sqrt[n]{R} 식은 강좌 I의 유리수 지수와 거듭제곱근에 관한 수업에서의 뜻을 그대로 유지한다. 즉 양의 실수 RR 값의 주근, 곧 nn제곱이 RR 값인 유일한 양의 실수를 나타낸다. 근호는 음이 아닌 실수의 주근과, 그 수업에서와 같이 음의 실수의 홀수 제곱의 실근(예를 들어 −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2 식)에만 쓴다. 그 밖의 복소수에 쓰는 것은 그 근 중 임의의 하나를 나타낸다고 분명히 밝힌 경우뿐이다. 곧 보겠지만 그 nn개의 근 중 어느 것도 다른 근과 구별되지 않으며, 약속으로 하나를 고르면 근호의 법칙이 깨지기 때문이다. 제곱근(−1-1 수의)을 수 ii 값이라 부르기로 하면, 그 근과 그 자신의 곱은 −1-1 값이 되고, 제곱근((−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1 수의)이 되지 않는다.

끝으로, 같은 수업에서 증명한 극형식에서의 상등 정리를 이용한다. 영이 아닌 두 복소수가 같을 필요충분조건은 절댓값이 같고 편각의 차가 2π2\pi 값의 정수배인 것이다.

정리nn제곱근

w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) 값을 영이 아닌 복소수라 하고(R=∣w∣R = \abs{w} 식), nn 값을 자연수라 하자. 방정식 zn=wz^n = w 식은 정확히 nn개의 서로 다른 해를 가지며, 그 해는 아래의 복소수 zkz_k 값들이다(k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1 식). 모두 절댓값이 Rn\sqrt[n]{R} 값이고, 각 해의 편각은 바로 앞의 해의 편각보다 2πn\frac{2\pi}{n}만큼 크다.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

해를 극형식으로 찾고, znz^n 식과 ww 값의 극형식을 같게 놓는다. 그림은 w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) 식과 n=3n = 3 식으로 증명을 따라간다. 그 세제곱근의 절댓값은 22 값이다.

증명

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    해는 영일 수 없다. 0n=0≠w0^n = 0 \neq w 식이기 때문이다. 해를 극형식으로 쓰고(r>0r > 0 식), 드무아브르 공식으로 거듭제곱(지수 nn)한다.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    극형식에서의 상등 정리에 의해 방정식 zn=wz^n = w 식은 두 개의 실수 조건과 동치이다. 절댓값이 같고 편각의 차가 2π2\pi 값의 정수배라는 것이다.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    nn제곱이 RR 값인 양의 실수는 단 하나, 곧 주근이고, 편각은 정수 kk 값에 의해 정해진다. 역으로 이 절댓값과 이 편각을 갖는 복소수는 모두 두 조건을 만족하므로 해이다. w=−8w = -8 식, n=3n = 3 식일 때 r=2r = 2 식, θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3} 식을 얻는다.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    정수 kk 값은 무한히 많지만 해는 그렇지 않다. 나머지가 있는 나눗셈에 의해 모든 정수는 k=qn+jk = qn + j 식으로 쓸 수 있다. 여기서 qq 값은 정수이고 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1 식이다. 이때 편각 θk\theta_k 값은 θj\theta_j 값보다 2π2\pi 값의 정수배만큼 크고, 두 해는 일치한다. 그림에서는 z3=z0z_3 = z_0 식이다.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    해 z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} 값들은 서로 다르다. 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1 식이면 그 편각의 차는 00 값과 2π2\pi 값 사이에 엄밀히 놓인 수이며, 2π2\pi 값의 정수배가 아니다. 따라서 해는 정확히 nn개이다. w=−8w = -8 식일 때 해는 1+i31 + i\sqrt{3} 식, −2-2 값, 1−i31 - i\sqrt{3} 식이다.

실제로는 첫 번째 근의 편각이 φn\frac{\varphi}{n} 값이고, 나머지 각 근은 바로 앞의 근의 편각에 2πn\frac{2\pi}{n} 값을 더하여 얻는다. 편각 φ\varphi 값(ww 수의)을 다른 편각 φ+2π\varphi + 2\pi 식으로 바꾸어도 근의 집합은 변하지 않고 번호만 바뀐다. 전에 z1z_1 값이던 것이 z0z_0 값이라 불리게 된다. n=2n = 2 식일 때 두 근의 편각은 π\pi만큼 다르므로 두 근은 서로 반수이며, z1=−z0z_1 = -z_0 식이 성립한다. 이것은 강좌 I의 복소수에 관한 수업에서 실수부분끼리, 허수부분끼리 같게 놓아 계산한 복소수의 제곱근에 나타나는 복부호이다. 또한 근의 개수는 다항식에 관해 알려진 사실과 일치한다. 강좌 I의 다항식의 대수에 관한 수업의 서로 다른 근에 관한 보조정리(그 증명은 복소수에서도 그대로 성립한다)에 의해, 다항식 zn−wz^n - w 식(차수 nn)은 nn개보다 많은 서로 다른 근을 가질 수 없다. 정리는 그것이 그 개수의 근을 모두 가짐을 보여 준다.

근이 이루는 정다각형

nn개의 근은 절댓값이 같으므로 중심이 00 값이고 반지름이 Rn\sqrt[n]{R} 값인 원 위에 있으며, 그 편각은 같은 간격으로 놓여 있다. 아래의 정리는 이 배치를 복소수의 곱으로 나타낸다. 극형식에 관한 수업에서 증명했듯이, 극형식에서 곱은 절댓값을 곱하고 편각을 더하기 때문이다.

정리근이 이루는 다각형

ww 값을 영이 아닌 복소수라 하고(R=∣w∣R = \abs{w} 식), n≥3n \geq 3 값을 자연수라 하자. 각 nn제곱근(ww 값의)은 바로 앞의 근에 아래의 수 ω\omega 값을 곱하여 얻으며, 이는 원점을 중심으로 각 2πn\frac{2\pi}{n}만큼 회전시키는 것과 같다. nn개의 근은 정다각형(변의 개수 nn)의 꼭짓점이고, 그 정다각형은 중심이 00 값이고 반지름이 Rn\sqrt[n]{R} 값인 원에 내접하며, 한 변의 길이는 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n} 값이다.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

그림은 w=64iw = 64i 식으로 증명을 따라간다. 그 세제곱근, 네제곱근, 여섯제곱근은 각각 반지름이 643=4\sqrt[3]{64} = 4 식, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} 식, 646=2\sqrt[6]{64} = 2 식인 원 위에 있다.

증명

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1 식이므로 곱 zkωz_k \omega 값은 zkz_k 값의 절댓값을 가지며 편각은 2πn\frac{2\pi}{n}만큼 늘어나 있다. 이것이 바로 뒤의 근이다. kk 값에 관한 귀납법에 의해 각 근은 첫 번째 근에 거듭제곱(ω\omega 값의)을 곱한 것이며, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k 식이 성립한다.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    따라서 ω\omega 값을 곱하는 것은 원점을 중심으로 한 각 2πn\frac{2\pi}{n}만큼의 회전이고, 이 회전은 거리를 보존한다. 곱의 절댓값은 절댓값의 곱이기 때문이다.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    회전은 다각형의 각 변을 바로 뒤의 변으로 옮기므로 모든 변의 길이가 같다.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    다각형은 닫혀 있다. ωn=1\omega^n = 1 식이기 때문이다. 회전은 마지막 꼭짓점을 첫 번째 꼭짓점으로 옮긴다. nn개의 꼭짓점은 원 위에 있고 변들은 같다. 또한 회전은 꼭짓점이 zkz_k 값, zk+1z_{k + 1} 값, zk+2z_{k + 2} 값인 삼각형을 꼭짓점이 zk+1z_{k + 1} 값, zk+2z_{k + 2} 값, zk+3z_{k + 3} 값인 삼각형으로 세 변을 보존하면서 옮기고, 코사인법칙에 의해 삼각형의 각은 세 변으로 정해진다. 다각형의 각, 곧 이 삼각형들의 가운데 꼭짓점에서의 각은 서로 같으며, 다각형은 정다각형이다.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    변은 꼭짓점이 00 값, z0z_0 값, z1z_1 값인 삼각형에서 계산한다. 반각 공식에 의해 ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n} 식이고, πn\frac{\pi}{n} 값의 사인은 양수이다. 64i64i 값의 여섯제곱근에 대해서는 변의 길이가 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 값이며, 모든 정육각형에서처럼 반지름과 같다.

n=2n = 2 식일 때 다각형은 지름으로 퇴화하고 그 양 끝은 서로 반수인 두 근이다. 또 n=1n = 1 식일 때 근은 하나뿐이며 ww 수 자신이다. 근이 정다각형을 이룬다는 사실은 어느 근도 다른 근과 구별되지 않는 이유를 설명한다. 각 2πn\frac{2\pi}{n}만큼의 회전은 도형을 바꾸지 않고 근들을 서로 바꾸어 놓기 때문이다.