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Topos Uranos
Português

Geometria com números complexos

Resumo

Esta aula emprega os números complexos como coordenadas do plano e traduz em operações algébricas as noções da geometria elementar: a distância é o módulo de uma diferença, o ponto médio e o baricentro são médias, e os movimentos do plano são fórmulas breves. Demonstra que R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) é a rotação de centro cc e ângulo φ\varphi, que a reflexão em uma reta que passa pela origem com ângulo α\alpha é S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} e que a composição de duas reflexões é uma rotação. Caracteriza o alinhamento e a perpendicularidade por meio de um quociente, define a orientação de um triângulo pelo sinal da parte imaginária desse quociente, demonstra que três pontos formam um triângulo equilátero se e somente se z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, com ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, e prova que os pontos cujas distâncias a dois pontos fixos guardam uma razão constante formam uma circunferência, a de Apolônio. Os problemas culminam com o teorema de Napoleão.

Objetivos de aprendizagem

  1. Representar pontos, distâncias, pontos médios e baricentros com números complexos, e expressar translações, rotações, homotetias e reflexões como funções de uma variável complexa.
  2. Demonstrar as fórmulas da rotação em torno de um ponto e da reflexão em uma reta, e estudar as composições de reflexões e de rotações.
  3. Decidir o alinhamento, a perpendicularidade e o ângulo de dois segmentos por meio do quociente de duas diferenças, determinar a orientação de um triângulo pelo sinal da parte imaginária desse quociente e caracterizar o triângulo equilátero com a raiz cúbica da unidade ω\omega.
  4. Descrever circunferências com o módulo, demonstrar o teorema da circunferência de Apolônio e empregar essas ferramentas em problemas clássicos, como os de Napoleão e de Van Aubel.

Pontos, distâncias e centros

Desde a aula do curso Álgebra e Geometria I sobre as operações com números complexos, cada complexo z=a+biz = a + bi se identifica com o ponto (a,b)(a, b) do plano, e a diferença z−wz - w é o vetor que vai do ponto ww ao ponto zz; pelo teorema de Pitágoras, a distância entre os dois pontos é ∣z−w∣\abs{z - w}. Nesta aula o ponto de vista se inverte: não se estudam os números através do plano, mas o plano através dos números. Uma figura fica descrita pelos complexos de seus pontos, e uma propriedade geométrica, por uma igualdade entre eles.

A ferramenta principal é a exponencial complexa da aula sobre a exponencial complexa e a fórmula de Euler. Para todo real φ\varphi, o número eiφe^{i\varphi} é o ponto da circunferência de raio 11 cujo argumento é φ\varphi, e cumpre as propriedades abaixo; a última se deve a que cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi e sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

Segundo a aula sobre a forma polar dos números complexos, todo complexo não nulo se escreve z=reiθz = re^{i\theta}, com r=∣z∣r = \abs{z} e θ\theta um argumento de zz; ao multiplicar dois complexos, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos, e ao dividi-los, dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos. Em particular, multiplicar zz por eiφe^{i\varphi} conserva seu módulo e aumenta seu argumento em φ\varphi: faz girar o ponto zz um ângulo φ\varphi em torno da origem, no sentido anti-horário se φ>0\varphi > 0. O produto por i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, estudado na aula do curso I sobre os números complexos como uma rotação de um quarto de volta, é o caso φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Os pontos de um segmento também se descrevem com complexos. Segundo a aula do curso I sobre vetores e equações paramétricas da reta, os pontos da reta que passa por z1z_1 e z2z_2 são os da forma z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1), com tt real, e os do segmento que os une correspondem a 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

LemaPonto médio e baricentro nos complexos

O ponto médio do segmento de extremos z1z_1 e z2z_2 é a semissoma m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. As três medianas de um triângulo de vértices z1z_1, z2z_2 e z3z_3 passam pelo ponto g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, chamado baricentro, que está em cada mediana a dois terços do caminho que vai do vértice ao ponto médio do lado oposto. O lema foi demonstrado com vetores no problema resolvido sobre as medianas da aula do curso I sobre vetores e equações paramétricas da reta; a demonstração abaixo o traduz para os complexos. A figura a acompanha com os vértices z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i e z3=2iz_3 = 2i.

Demonstração

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    O ponto do segmento que corresponde a t=12t = \frac{1}{2} é a semissoma dos extremos.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Está à mesma distância dos dois extremos, porque os dois vetores que o unem a eles são iguais: é o ponto médio.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    Na mediana que une z3z_3 ao ponto médio do lado oposto, o ponto que corresponde a t=23t = \frac{2}{3} é o indicado abaixo.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    A expressão obtida é simétrica nos três vértices; se isso é assim, o mesmo cálculo com qualquer das outras duas medianas dá o mesmo ponto, e as três passam por gg. Com os vértices da figura, g=13g = \frac{1}{3}.

Assim, o ponto médio é a média de dois complexos, e o baricentro, a de três.