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Topos Uranos
Português

Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari

Resumo

Esta aula estuda as equações polinomiais no corpo dos números complexos. Do teorema fundamental da álgebra, que se admite, deduz por indução que todo polinômio de grau nn é produto de nn fatores lineares e tem exatamente nn raízes contadas com sua multiplicidade; demonstra as relações de Girard (de Viète) para qualquer grau e as fórmulas das somas dos quadrados e dos cubos das raízes. Resolve as equações binômias, trinômias e recíprocas reduzindo-as a outras de grau menor. Por fim, reduz a equação do terceiro grau à forma reduzida, deduz a fórmula de Cardano, classifica as raízes por meio do discriminante, mostra com a equação de Bombelli por que a fórmula obrigou a aceitar os números complexos mesmo quando todas as raízes são reais, e resolve esse caso com a fórmula do ângulo triplo. Finalmente, reduz a equação do quarto grau à forma reduzida, demonstra o método de Ferrari, que a decompõe em duas equações do segundo grau por meio de uma raiz de sua resolvente cúbica, e explica por que não existe uma fórmula semelhante a partir do grau cinco.

Objetivos de aprendizagem

  1. Deduzir do teorema fundamental da álgebra a fatoração de todo polinômio complexo em fatores lineares, e relacionar as raízes com os coeficientes por meio das relações de Girard e das somas de potências.
  2. Resolver equações binômias, trinômias e recíprocas reduzindo-as a equações de grau menor.
  3. Reduzir a equação do terceiro grau à forma reduzida, deduzir a fórmula de Cardano e classificar as raízes de uma cúbica real segundo o sinal de seu discriminante.
  4. Resolver pelo método trigonométrico uma cúbica com três raízes reais, e explicar com o exemplo de Bombelli o papel histórico da fórmula de Cardano na aceitação dos números complexos.
  5. Resolver equações do quarto grau pelo método de Ferrari, reduzindo-as à forma reduzida e fatorando-as por meio de uma raiz da resolvente cúbica.

O teorema fundamental da álgebra nos complexos

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre as raízes dos polinômios de grau superior enunciou-se o teorema fundamental da álgebra, esboçou-se sua consequência de que todo polinômio complexo de grau nn é produto de nn fatores lineares e deduziu-se dele que todo polinômio real é produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis; aqui se dá a demonstração completa, por indução, daquela fatoração nos complexos. Esta aula adota o ponto de vista dos complexos: os coeficientes e as raízes podem ser complexos, e a pergunta deixa de ser se uma equação tem solução para se tornar como achar todas as suas soluções. Um polinômio com coeficientes complexos de grau nn é uma expressão P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, com aka_k complexos e an≠0a_n \neq 0; um complexo z0z_0 é uma raiz de PP quando P(z0)=0P(z_0) = 0.

As demonstrações do algoritmo da divisão, do teorema do resto e do teorema do fator, feitas na aula do curso I sobre a álgebra dos polinômios, só usam as propriedades da soma, do produto e da divisão dos coeficientes, que C\mathbb{C} compartilha com R\mathbb{R} segundo a aula sobre os números complexos. Portanto, valem sem mudanças para polinômios com coeficientes complexos, e o mesmo ocorre com o lema das raízes distintas e com o princípio de identidade, daquela mesma aula (dois polinômios que assumem o mesmo valor em todo complexo têm os mesmos coeficientes), e com a definição da multiplicidade de uma raiz, da aula sobre as raízes de polinômios. O que distingue C\mathbb{C} é o teorema abaixo.

Fato admitido (teorema fundamental da álgebra). Todo polinômio de grau n≥1n \geq 1 com coeficientes complexos tem ao menos uma raiz complexa.

Como na aula do curso I sobre as raízes de polinômios, este teorema se admite sem demonstração: todas as suas demonstrações conhecidas usam ferramentas que excedem este curso, como a continuidade das funções de duas variáveis reais ou o estudo das funções de variável complexa. Carl Friedrich Gauss deu em 1799 a primeira demonstração quase completa, depois das tentativas de d'Alembert e de Euler. Sua consequência principal é que as equações polinomiais não obrigam a ampliar C\mathbb{C}, como x2=2x^2 = 2 obrigou a ampliar Q\mathbb{Q} e x2=−1x^2 = -1 a ampliar R\mathbb{R}: todo polinômio complexo se decompõe por completo em C\mathbb{C}.

TeoremaFatoração nos complexos

Todo polinômio PP de grau n≥1n \geq 1 com coeficientes complexos e coeficiente dominante ana_n é o produto de ana_n por nn fatores lineares, como na fórmula abaixo, com z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n complexos não necessariamente distintos. As raízes de PP são exatamente os números zkz_k, e cada uma figura na lista tantas vezes quantas indica sua multiplicidade; portanto, PP tem exatamente nn raízes complexas contadas com sua multiplicidade.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

A demonstração procede por indução sobre o grau, como na aula do curso I sobre somatórios, progressões e indução. A figura a acompanha no plano complexo com o polinômio P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, cujas raízes são 11, que é dupla, −2-2, −1+2i-1 + 2i e −1−2i-1 - 2i.

Demonstração

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    Caso inicial: um polinômio de grau 11 é seu coeficiente dominante vezes um único fator linear, cuja raiz é −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Suponhamos o teorema verdadeiro para os polinômios de grau nn, e seja PP de grau n+1n + 1. Pelo teorema fundamental da álgebra, PP tem uma raiz z1z_1; pelo teorema do fator, PP é o produto de z−z1z - z_1 por um quociente CC de grau nn, cujo coeficiente dominante é o de PP, como se vê ao comparar os termos de maior grau. No exemplo, z1=1z_1 = 1, e a divisão sintética dá o quociente da fórmula.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    Pela hipótese de indução, CC é seu coeficiente dominante an+1a_{n + 1} vezes nn fatores lineares; ao substituir, PP fica escrito como se queria. Pelo princípio de indução, a fatoração existe para todo grau n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Um produto de complexos só é nulo se algum de seus fatores o for, e an≠0a_n \neq 0: um número ww é raiz de PP se e somente se coincide com algum dos zkz_k. Não há outras raízes além das da lista.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Agrupamos os fatores iguais: se r1,…,rsr_1, \ldots, r_s são as raízes distintas e rjr_j figura kjk_j vezes, o quociente de PP por (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} não se anula em r1r_1, porque é um produto de fatores não nulos; de modo que k1k_1 é a multiplicidade de r1r_1, e o mesmo ocorre com as demais. As multiplicidades somam nn; no exemplo, 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Como a multiplicidade de cada raiz está bem definida, segundo a aula do curso I sobre as raízes de polinômios, a lista z1,…,znz_1, \ldots, z_n fica determinada por PP, a menos da ordem: a fatoração é única. Daqui em diante, as raízes de um polinômio de grau nn designam essa lista de nn números, com as repetições que a multiplicidade indica. Se os coeficientes são reais, as raízes não reais se apresentam em pares conjugados, pelo teorema das raízes conjugadas da aula sobre os números complexos; ao multiplicar os dois fatores de cada par obtém-se um fator quadrático real, e recupera-se assim a fatoração nos reais da aula sobre as raízes de polinômios.