Números complexos na forma polar: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade dedicada aos números complexos na forma polar. Reúne suas definições e seus teoremas em uma única cadeia dedutiva, que parte do teorema do produto em forma polar e chega, através da fórmula de De Moivre, das raízes $n$ -ésimas, da exponencial complexa e da geometria do plano, à fatoração dos polinômios e às fórmulas de Cardano e de Ferrari. Indica o que cada elo deve ao curso Álgebra e Geometria I e às duas unidades precedentes deste, e como a próxima unidade, sobre as matrizes e as estruturas algébricas, reinterpreta os mesmos fatos. Termina com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas propostos da unidade, que combinam várias de suas aulas.

Objetivos de aprendizagem

Reconstruir a cadeia dedutiva da unidade, desde o teorema do produto em forma polar até as fórmulas de Cardano e de Ferrari, indicando de que resultado depende cada teorema.
Relacionar os resultados da unidade com os do curso I (indução, binômio de Newton, máximo divisor comum, polinômios) e com os das unidades precedentes (coordenadas polares e fórmulas trigonométricas) e antecipar sua leitura matricial e estrutural na próxima unidade.
Resolver problemas que exigem combinar a forma polar, as raízes da unidade, a exponencial complexa, a geometria com números complexos e as relações de Girard (de Viète).

O que a unidade alcançou

A unidade partiu de uma carência: na aula do curso I sobre os números complexos, o produto de dois complexos era calculado, mas não compreendido. A aula sobre a forma polar escreveu cada complexo não nulo como $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , demonstrou que essa escrita é única a menos de voltas completas e, com as fórmulas de adição e subtração, demonstrou o teorema que sustenta todo o resto: em um produto, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Dele se seguiu que multiplicar por um complexo é girar e dilatar, que o conjugado e o inverso têm o argumento oposto e que o argumento principal de um produto só coincide com a soma dos principais a menos de uma volta.

Se o produto soma argumentos, a potência os multiplica. A aula sobre a fórmula de De Moivre demonstrou isso por indução para todo expoente inteiro e, comparando a fórmula com o binômio de Newton, obteve as fórmulas dos arcos múltiplos; com o lema $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ linearizou as potências do seno e do cosseno, com a soma geométrica de razão complexa somou senos e cossenos, e com a potência $(1 + i)^n$ , os coeficientes binomiais de índice par e os de índice ímpar com sinais alternados. Ora, se elevar à potência $n$ multiplica o ângulo por $n$ , extrair uma raiz o divide: a aula sobre as raízes $n$ -ésimas demonstrou que todo complexo não nulo tem exatamente $n$ raízes $n$ -ésimas, vértices de um polígono regular, e que as raízes da unidade são as potências de uma só, somam zero, fatoram $z^n - 1$ e são primitivas exatamente quando seu índice é primo com $n$ .

A aula sobre a exponencial complexa observou que todas essas regras são as leis dos expoentes e, com as séries de $e^x$ , do cosseno e do seno, que admitiu sem demonstração porque exigem o cálculo diferencial, mostrou que a soma da série da exponencial em $i\theta$ é $\cos \theta + i \sin \theta$ . Por isso definiu $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ e $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , demonstrou que a exponencial transforma somas em produtos e é periódica de período $2\pi i$ , expressou o cosseno e o seno por meio de exponenciais, decidiu que identidades trigonométricas se conservam ao estendê-los aos complexos, descobriu neles as funções hiperbólicas e, ao inverter a exponencial, obteve um logaritmo com infinitos valores e potências de expoente complexo. Com essa notação, a aula sobre a geometria com números complexos escreveu as rotações como $c + e^{i\varphi}(z - c)$ e as reflexões como $e^{2i\alpha}\conj{z}$ , leu o alinhamento e a perpendicularidade em um quociente, definiu pelo sinal da parte imaginária desse quociente a orientação de um triângulo e demonstrou que ela não depende do vértice pelo qual se começa, que as translações e as rotações a conservam e que as reflexões a invertem, caracterizou o triângulo equilátero com a raiz cúbica da unidade e demonstrou o teorema da circunferência de Apolônio e o teorema de Napoleão.

Por fim, a aula sobre as equações polinomiais reuniu tudo no terreno onde os complexos nasceram. Do teorema fundamental da álgebra, que se admite sem demonstração, deduziu que todo polinômio de grau $n$ é produto de $n$ fatores lineares, demonstrou as relações de Girard e resolveu as equações binômias, trinômias e recíprocas; a fórmula de Cardano exigiu as raízes cúbicas da aula sobre as raízes $n$ -ésimas, o discriminante classificou as raízes da cúbica real, o caso irredutível foi resolvido com a fórmula do arco triplo, e o método de Ferrari reduziu a quártica a uma cúbica; o teorema de Hölder e o de Abel-Ruffini, que se admitem, explicaram por que o desvio pelos complexos é inevitável no caso irredutível e por que não há fórmulas semelhantes a partir do grau cinco. Donde a cadeia completa é esta: teorema do produto, fórmula de De Moivre, raízes $n$ -ésimas, exponencial complexa, geometria do plano e equações polinomiais, de modo que cada elo é, no essencial, uma nova leitura do primeiro.

Convém enumerar com exatidão o que a unidade admite sem demonstração, porque é pouco e está localizado. Da geometria euclidiana, os fatos reunidos na aula do curso I sobre a equação da reta, dos quais a unidade só precisa da noção de semelhança e de que a igualdade dos ângulos acarreta a proporcionalidade dos lados, no teorema dos triângulos semelhantes do produto. Do cálculo diferencial, as séries de $e^x$ , do cosseno e do seno, que a aula sobre a exponencial complexa usa para motivar a fórmula de Euler e que se demonstram no curso de Cálculo I. Da álgebra, três resultados declarados na aula sobre as equações polinomiais: o teorema fundamental da álgebra, do qual depende a fatoração completa, e os teoremas de Hölder e de Abel-Ruffini, que não sustentam nenhum elo e só explicam por que o caso irredutível exige o desvio pelos complexos e por que não há fórmulas com radicais a partir do grau cinco. Por fim, o exemplo da espiral das potências, na aula sobre a fórmula de De Moivre, menciona sem usá-la a propriedade da espiral logarítmica de cortar com o mesmo ângulo toda reta que passa pela origem, que também se demonstra com o cálculo diferencial. Todo o resto se demonstra na unidade, nas duas precedentes ou no curso I; na cadeia, os fatos euclidianos e o teorema fundamental figuram como apoios admitidos, e as séries, que não sustentam nenhum elo porque a exponencial imaginária se adota como definição, não.

A figura abaixo reúne os quatro trechos da unidade em uma única cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes: o teorema de igualdade em forma polar, que se estabelece no primeiro elo, e os resultados de unidades precedentes ou do curso I, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AIgualdade em forma polar. Dois complexos $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ e $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , com $r_1$ e $r_2$ positivos, são iguais se e somente se $r_1 = r_2$ e $\theta_1 - \theta_2$ é um múltiplo inteiro de $2\pi$ . Estabelecido em: 1. Igualdade em forma polar.
BFórmulas trigonométricas. A identidade pitagórica, o cosseno e o seno de uma soma e de uma diferença, o arco duplo, o arco metade e o arco triplo, a paridade e a periodicidade do seno e do cosseno, seus zeros, a caracterização dos ângulos côngruos, a monotonia do cosseno em $\icc{0}{\pi}$ e a lei dos cossenos, demonstrados nas unidades 1 e 2, sobre as funções trigonométricas e sobre a trigonometria analítica. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CGeometria euclidiana. Admitem-se, na unidade do curso I sobre a geometria analítica do plano, os fatos da geometria euclidiana: Pitágoras e sua recíproca, as paralelas, o teorema de Tales e a semelhança de triângulos, a soma dos ângulos de um triângulo e o triângulo isósceles. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DPrincípio de indução. Se uma propriedade vale para o primeiro natural e passa de cada natural ao seu sucessor, vale para todos; demonstrado na unidade do curso I sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
EBinômio de Newton e soma geométrica. Para todo natural $n$ vale $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ , e se $q \neq 1$ , $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; demonstrados na unidade do curso I sobre os números naturais, ambos os cálculos só usam as propriedades da soma e do produto e valem também com números complexos. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FDivisão com resto e Bézout. Todo inteiro se escreve como $qn + r$ com $0 \leq r \leq n - 1$ , e se $\operatorname{mdc}(k, n) = 1$ existem inteiros $x$ e $y$ tais que $kx + ny = 1$ ; demonstrados na unidade do curso I sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GExponencial real. A exponencial real é positiva, injetora e bijetora sobre os reais positivos, cumpre $e^a e^c = e^{a + c}$ e define o cosseno e o seno hiperbólicos; demonstrado na unidade do curso I sobre a exponencial e o logaritmo. Admitido sem demonstração nesta unidade.
HTeorema do fator e teorema fundamental. Se $z_0$ é raiz do polinômio $P$ , então $z - z_0$ divide $P$ , o que se demonstrou na unidade do curso I sobre as funções algébricas e vale nos complexos; e todo polinômio complexo de grau $n \geq 1$ tem alguma raiz complexa, o que se admite sem demonstração. Admitido sem demonstração nesta unidade.

Trecho 1 A forma polar e o produto
- Escrever todo complexo não nulo em forma polar e demonstrar que essa escrita é única a menos de voltas completas.
- Demonstrar com as fórmulas de adição e subtração que, em um produto, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam.
- Deduzir disso o conjugado e o inverso em forma polar, e o comportamento do argumento principal de um produto.
- Interpretar a multiplicação por um complexo como uma rotação composta com uma dilatação.
1. Igualdade em forma polar. Um argumento de $z = a + bi \neq 0$ é todo real $\theta$ com $a = \abs{z} \cos \theta$ e $b = \abs{z} \sin \theta$ ; o complexo $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , com $r > 0$ , tem módulo $r$ e argumento $\theta$ , e duas dessas expressões são iguais se e somente se têm o mesmo módulo e seus argumentos diferem por um múltiplo inteiro de $2\pi$ .
  Apoia-se em: B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A forma polar dos números complexos.
2. Produto e quociente em forma polar. Se $z$ tem módulo $r$ e argumento $\theta$ , e $w$ tem módulo $s$ e argumento $\varphi$ , o produto $zw$ tem módulo $rs$ e argumento $\theta + \varphi$ , e o quociente $\frac{z}{w}$ tem módulo $\frac{r}{s}$ e argumento $\theta - \varphi$ .
  Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A forma polar dos números complexos.
3. Conjugado e inverso. Se $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , com $r > 0$ , o conjugado de $z$ tem módulo $r$ e argumento $-\theta$ , e o inverso $\frac{1}{z}$ tem módulo $\frac{1}{r}$ e argumento $-\theta$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A forma polar dos números complexos.
4. Argumento principal de um produto. O argumento principal de $zw$ é $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ , com $k$ igual a $-1$ , a $0$ ou a $1$ , e $k = 0$ exatamente quando essa soma está em $\ioc{-\pi}{\pi}$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar). Demonstrado em: A forma polar dos números complexos.
5. Triângulos semelhantes do produto. Se $z \neq 0$ e $w$ não é real, o triângulo de vértices $0$ , $z$ e $zw$ é semelhante ao de vértices $0$ , $1$ e $w$ , com razão $\abs{z}$ : multiplicar por $z$ é girar e dilatar.
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar. Apoia-se em: C (Geometria euclidiana), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A forma polar dos números complexos.
Trecho 2 Potências e raízes
- Demonstrar por indução a fórmula de De Moivre para todo expoente inteiro.
- Obter dela e do binômio de Newton as fórmulas dos arcos múltiplos, linearizar as potências do cosseno e somar senos e cossenos com uma soma geométrica.
- Demonstrar que todo complexo não nulo tem exatamente $n$ raízes $n$ -ésimas, vértices de um polígono regular.
- Estudar as raízes da unidade: suas potências, sua soma, a fatoração de $z^n - 1$ e as raízes primitivas.
1. Fórmula de De Moivre. Para todo real $\theta$ e todo inteiro $n$ vale $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ; portanto, se $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , a potência $z^n$ tem módulo $r^n$ e argumento $n\theta$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 3. Conjugado e inverso. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), D (Princípio de indução), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A fórmula de De Moivre e as potências de complexos.
2. Arcos múltiplos. O cosseno de $n\theta$ é a soma alternada dos termos $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ de índice $k$ par, e o seno de $n\theta$ , a dos de índice ímpar.
  Usa: 6. Fórmula de De Moivre. Apoia-se em: E (Binômio de Newton e soma geométrica). Demonstrado em: A fórmula de De Moivre e as potências de complexos.
3. Linearização. Se $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , valem $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ e $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ; disso se seguem, por exemplo, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ e $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  Usa: 6. Fórmula de De Moivre. Apoia-se em: E (Binômio de Newton e soma geométrica), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A fórmula de De Moivre e as potências de complexos.
4. Somas de senos e cossenos. Se $\theta$ não é múltiplo inteiro de $2\pi$ , a soma dos complexos $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ , para $k$ desde $0$ até $n - 1$ , é o real $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ vezes o complexo de módulo $1$ e argumento $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ , o que dá as somas dos cossenos e dos senos.
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 6. Fórmula de De Moivre. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), E (Binômio de Newton e soma geométrica), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A fórmula de De Moivre e as potências de complexos.
5. Raízes enésimas. Se $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , a equação $z^n = w$ tem exatamente $n$ soluções, de módulo $\sqrt[n]{R}$ e argumentos $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ com $0 \leq k \leq n - 1$ , que para $n \geq 3$ são os vértices de um polígono regular inscrito na circunferência de raio $\sqrt[n]{R}$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 6. Fórmula de De Moivre. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), F (Divisão com resto e Bézout), B (Fórmulas trigonométricas), D (Princípio de indução). Demonstrado em: Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
6. Raízes da unidade como potências. As raízes $n$ -ésimas da unidade são as potências $\omega_k = \omega^k$ de $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ; multiplicam-se somando os índices módulo $n$ , o inverso de cada uma é seu conjugado, e multiplicar por uma delas as permuta.
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 6. Fórmula de De Moivre, 10. Raízes enésimas. Apoia-se em: F (Divisão com resto e Bézout). Demonstrado em: Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
7. Soma das potências das raízes. Se $n \geq 2$ , a soma das potências $m$ -ésimas das $n$ raízes $n$ -ésimas da unidade vale $n$ se $n$ divide $m$ , e $0$ caso contrário; em particular, as raízes somam zero.
  Usa: 11. Raízes da unidade como potências. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), E (Binômio de Newton e soma geométrica). Demonstrado em: Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
8. Fatoração de z elevado a n menos 1. Para todo natural $n$ , o polinômio $z^n - 1$ é o produto dos $n$ fatores $z - \omega_k$ , com $0 \leq k \leq n - 1$ .
  Usa: 10. Raízes enésimas. Apoia-se em: H (Teorema do fator e teorema fundamental). Demonstrado em: Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
9. Raízes primitivas. A raiz $\omega_k$ , com $1 \leq k \leq n$ , é primitiva, isto é, suas potências dão todas as raízes $n$ -ésimas da unidade, se e somente se $\operatorname{mdc}(k, n) = 1$ .
  Usa: 11. Raízes da unidade como potências, 12. Soma das potências das raízes. Apoia-se em: F (Divisão com resto e Bézout). Demonstrado em: Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
10. Fatoração real de x elevado a n menos 1. Cada par de raízes conjugadas não reais $\omega_k$ e $\omega_{n - k}$ dá o fator irredutível $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ , de modo que $x^n - 1$ é o produto de $x - 1$ , de $x + 1$ se $n$ é par, e desses fatores quadráticos.
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 11. Raízes da unidade como potências, 13. Fatoração de z elevado a n menos 1. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
Trecho 3 A exponencial complexa e a geometria
- Definir $e^{i\theta}$ com a fórmula de Euler e $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , e reconhecer nas regras precedentes as leis dos expoentes.
- Demonstrar que a exponencial transforma somas em produtos e é periódica de período $2\pi i$ .
- Expressar o cosseno e o seno por meio de exponenciais, relacioná-los com as funções hiperbólicas e obter os logaritmos de um complexo.
- Escrever as rotações e as reflexões do plano com complexos, ler o alinhamento e a perpendicularidade em um quociente, definir a orientação de um triângulo e demonstrar sua invariância, e caracterizar o triângulo equilátero.
1. Exponencial imaginária. O complexo $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ tem módulo $1$ , e valem $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ e $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ , que é seu conjugado; além disso, $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ se e somente se $\alpha - \beta$ é múltiplo inteiro de $2\pi$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 3. Conjugado e inverso, 6. Fórmula de De Moivre. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: A exponencial complexa e a fórmula de Euler.
2. Exponencial de uma soma. Se $z = a + bi$ e $e^z = e^a e^{ib}$ , o módulo de $e^z$ é $e^a$ , $b$ é um de seus argumentos e $e^z$ nunca é nulo; e para todos os complexos $z$ e $w$ vale $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 16. Exponencial imaginária. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), G (Exponencial real). Demonstrado em: A exponencial complexa e a fórmula de Euler.
3. Periodicidade da exponencial. Vale $e^z = 1$ se e somente se $z = 2k\pi i$ para algum inteiro $k$ ; portanto, $e^z = e^w$ se e somente se $z - w$ é um múltiplo inteiro de $2\pi i$ .
  Usa: 17. Exponencial de uma soma. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), G (Exponencial real). Demonstrado em: A exponencial complexa e a fórmula de Euler.
4. Fórmulas de Euler. Valem $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ e $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; com elas se definem o cosseno e o seno de um complexo, que conservam as fórmulas de adição, do arco duplo e de redução de potências, mas não as do arco metade com duplo sinal, e se obtêm $\cos(ix) = \cosh x$ e $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  Usa: 16. Exponencial imaginária, 17. Exponencial de uma soma. Apoia-se em: B (Fórmulas trigonométricas), G (Exponencial real). Demonstrado em: A exponencial complexa e a fórmula de Euler.
5. Logaritmos de um complexo. Se $z \neq 0$ , as soluções de $e^w = z$ são $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ , com $k$ inteiro; e os valores de $z^{\frac{1}{n}}$ definidos com eles são exatamente as $n$ raízes $n$ -ésimas de $z$ .
  Usa: 10. Raízes enésimas, 11. Raízes da unidade como potências, 17. Exponencial de uma soma, 18. Periodicidade da exponencial. Apoia-se em: A (Igualdade em forma polar), G (Exponencial real). Demonstrado em: A exponencial complexa e a fórmula de Euler.
6. Rotação em torno de um ponto. A transformação $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ deixa fixo $c$ , conserva as distâncias e gira de um ângulo $\varphi$ o segmento que une cada ponto a $c$ : é a rotação de centro $c$ e ângulo $\varphi$ .
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 16. Exponencial imaginária. Demonstrado em: Geometria com números complexos.
7. Reflexões e sua composição. A reflexão na reta que passa pela origem com ângulo $\alpha$ é a isometria $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ , e a composição das reflexões de ângulos $\alpha$ e $\beta$ é a rotação de centro na origem e ângulo $2(\beta - \alpha)$ .
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 16. Exponencial imaginária, 21. Rotação em torno de um ponto. Demonstrado em: Geometria com números complexos.
8. Alinhamento e orientação. Se $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , o ângulo orientado do segmento de $z_1$ a $z_2$ ao de $z_1$ a $z_3$ é um argumento de $q$ ; os pontos são colineares se e somente se $q$ é real, e os segmentos são perpendiculares se e somente se $q$ é imaginário puro. Se não são colineares, o triângulo $z_1 z_2 z_3$ está orientado positivamente quando $\operatorname{Im} q > 0$ ; a orientação não depende do vértice inicial, inverte-se ao trocar dois vértices e ao aplicar uma reflexão, e conserva-se pelas rotações.
  Usa: 2. Produto e quociente em forma polar, 16. Exponencial imaginária, 21. Rotação em torno de um ponto, 22. Reflexões e sua composição. Demonstrado em: Geometria com números complexos.
9. Triângulo equilátero. Se $z_1 \neq z_2$ , os pontos $z_1$ , $z_2$ e $z_3$ são, nessa ordem, os vértices de um triângulo equilátero orientado positivamente se e somente se $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , com $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; a demonstração reduz a condição a $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ com $\operatorname{Im} q > 0$ , isto é, a $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  Usa: 16. Exponencial imaginária, 12. Soma das potências das raízes, 23. Alinhamento e orientação. Demonstrado em: Geometria com números complexos.
Trecho 4 As equações polinomiais
- Deduzir do teorema fundamental da álgebra que todo polinômio complexo de grau $n$ é produto de $n$ fatores lineares.
- Demonstrar as relações de Girard entre as raízes e os coeficientes.
- Resolver a cúbica com a fórmula de Cardano, classificar suas raízes reais com o discriminante e resolver o caso irredutível com o arco triplo.
- Reduzir a quártica a uma cúbica com o método de Ferrari.
1. Fatoração nos complexos. Todo polinômio complexo de grau $n \geq 1$ e coeficiente dominante $a_n$ é $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ , e tem exatamente $n$ raízes contadas com sua multiplicidade.
  Apoia-se em: D (Princípio de indução), H (Teorema do fator e teorema fundamental). Demonstrado em: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.
2. Relações de Girard. As funções simétricas elementares das raízes cumprem $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ; em particular, a soma das raízes é $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ e seu produto é $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  Usa: 25. Fatoração nos complexos. Apoia-se em: D (Princípio de indução). Demonstrado em: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.
3. Fórmula de Cardano. A mudança $x = t - \frac{b}{3a}$ reduz a cúbica a $t^3 + pt + q = 0$ ; se $u$ é uma raiz cúbica de uma raiz $U$ da resolvente $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ e $v = -\frac{p}{3u}$ , suas raízes são $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ e $\omega^2 u + \omega v$ .
  Usa: 10. Raízes enésimas, 11. Raízes da unidade como potências, 12. Soma das potências das raízes, 26. Relações de Girard. Apoia-se em: E (Binômio de Newton e soma geométrica). Demonstrado em: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.
4. Discriminante da cúbica. Se $p$ e $q$ são reais e $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , a cúbica $t^3 + pt + q = 0$ tem uma raiz real e duas conjugadas não reais se $\Delta < 0$ , raízes reais com alguma múltipla se $\Delta = 0$ , e três raízes reais distintas se $\Delta > 0$ .
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 11. Raízes da unidade como potências, 27. Fórmula de Cardano. Demonstrado em: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.
5. Solução trigonométrica. Se $\Delta > 0$ , com $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ e $c = \frac{3q}{pm}$ em $\ioo{-1}{1}$ , as três raízes reais são $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ , para $k = 0, 1, 2$ .
  Usa: 25. Fatoração nos complexos, 28. Discriminante da cúbica. Apoia-se em: B (Fórmulas trigonométricas). Demonstrado em: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.
6. Método de Ferrari. A mudança $x = y - \frac{b}{4a}$ reduz a quártica a $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ; se $q \neq 0$ e $m$ é raiz de sua resolvente cúbica, com $s^2 = 2m$ , a quártica é o produto de dois fatores de segundo grau cujas raízes são as suas.
  Usa: 10. Raízes enésimas, 25. Fatoração nos complexos, 27. Fórmula de Cardano. Apoia-se em: E (Binômio de Newton e soma geométrica). Demonstrado em: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.

Rumo às matrizes e às estruturas algébricas. A cadeia termina onde os complexos se tornam estrutura: o produto por $e^{i\varphi}$ será uma matriz de rotação, o módulo ao quadrado um determinante, e as raízes da unidade, que se multiplicam como se somam os restos da divisão por $n$ , o primeiro exemplo de grupo cíclico.