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Topos Uranos
Deutsch

Komplexe Zahlen in Polarform: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die komplexen Zahlen in Polarform ab. Sie fasst deren Definitionen und Sätze in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, die vom Satz über das Produkt in Polarform ausgeht und über die Formel von de Moivre, die nn-ten Wurzeln, die komplexe Exponentialfunktion und die Geometrie der Ebene zur Faktorisierung der Polynome und zu den Formeln von Cardano und Ferrari gelangt. Sie zeigt, was jedes Glied dem Kurs Algebra und Geometrie I und den beiden früheren Einheiten dieses Kurses verdankt und wie die nächste Einheit, über Matrizen und algebraische Strukturen, dieselben Tatsachen neu deutet. Sie endet mit zehn Herausforderungen, die schwieriger sind als die Übungsaufgaben der Einheit und mehrere ihrer Lektionen verbinden.

Lernziele

  1. Die deduktive Kette der Einheit vom Satz über das Produkt in Polarform bis zu den Formeln von Cardano und Ferrari rekonstruieren und dabei angeben, von welchem Ergebnis jeder Satz abhängt.
  2. Die Ergebnisse der Einheit mit denen von Kurs I (Induktion, binomischer Lehrsatz, größter gemeinsamer Teiler, Polynome) und mit denen der früheren Einheiten (Polarkoordinaten und trigonometrische Formeln) in Beziehung setzen und ihre Deutung durch Matrizen und Strukturen in der nächsten Einheit vorwegnehmen.
  3. Aufgaben lösen, die verlangen, die Polarform, die Einheitswurzeln, die komplexe Exponentialfunktion, die Geometrie mit komplexen Zahlen und die vietaschen Formeln zu verbinden.

Was die Einheit erreicht hat

Die Einheit ging von einem Mangel aus: In der Lektion von Kurs I über die komplexen Zahlen ließ sich das Produkt zweier komplexer Zahlen berechnen, aber nicht verstehen. Die Lektion über die Polarform schrieb jede von null verschiedene komplexe Zahl als r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), bewies, dass diese Darstellung bis auf volle Drehungen eindeutig ist, und bewies mit den Additionstheoremen den Satz, der alles Übrige trägt: In einem Produkt multiplizieren sich die Beträge und addieren sich die Argumente. Aus ihm folgte, dass die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ein Drehen und Strecken ist, dass die Konjugierte und das Inverse das entgegengesetzte Argument haben und dass das Hauptargument eines Produkts nur bis auf eine volle Drehung mit der Summe der Hauptargumente übereinstimmt.

Wenn das Produkt die Argumente addiert, multipliziert die Potenz sie. Die Lektion über die Formel von de Moivre bewies dies durch Induktion für jeden ganzzahligen Exponenten und gewann, indem sie die Formel mit dem binomischen Lehrsatz verglich, die Mehrfachwinkelformeln; mit dem Lemma zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta) linearisierte sie die Potenzen von Sinus und Kosinus, mit der geometrischen Summe mit komplexem Quotienten summierte sie Sinus- und Kosinuswerte, und mit der Potenz (1+i)n(1 + i)^n die Binomialkoeffizienten mit geradem Index und die mit ungeradem Index mit wechselnden Vorzeichen. Wenn nun das Potenzieren mit nn den Winkel mit nn multipliziert, so teilt ihn das Wurzelziehen: Die Lektion über die nn-ten Wurzeln bewies, dass jede von null verschiedene komplexe Zahl genau nn nn-te Wurzeln hat, die Ecken eines regelmäßigen Vielecks, und dass die Einheitswurzeln die Potenzen einer einzigen sind, sich zu null summieren, zn−1z^n - 1 zerlegen und genau dann primitiv sind, wenn ihr Index zu nn teilerfremd ist.

Die Lektion über die komplexe Exponentialfunktion stellte fest, dass alle diese Regeln die Potenzgesetze sind, und zeigte mit den Reihen von exe^x, des Kosinus und des Sinus, die sie ohne Beweis annahm, weil sie die Differentialrechnung erfordern, dass die Summe der Exponentialreihe an der Stelle iθi\theta gleich cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta ist. Deshalb definierte sie eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta und ea+bi=eaeibe^{a + bi} = e^a e^{ib}, bewies, dass die Exponentialfunktion Summen in Produkte überführt und periodisch mit der Periode 2πi2\pi i ist, drückte Kosinus und Sinus durch Exponentiale aus, entschied, welche trigonometrischen Identitäten bei ihrer Fortsetzung ins Komplexe erhalten bleiben, entdeckte in ihnen die Hyperbelfunktionen und erhielt durch Umkehrung der Exponentialfunktion einen Logarithmus mit unendlich vielen Werten sowie Potenzen mit komplexem Exponenten. Mit dieser Schreibweise schrieb die Lektion über Geometrie mit komplexen Zahlen die Drehungen als c+eiφ(z−c)c + e^{i\varphi}(z - c) und die Spiegelungen als e2iαz‾e^{2i\alpha}\conj{z}, las Kollinearität und Orthogonalität an einem Quotienten ab, definierte durch das Vorzeichen des Imaginärteils dieses Quotienten die Orientierung eines Dreiecks und bewies, dass sie nicht von der Ecke abhängt, mit der man beginnt, dass Verschiebungen und Drehungen sie erhalten und Spiegelungen sie umkehren, charakterisierte das gleichseitige Dreieck mit der dritten Einheitswurzel und bewies den Satz vom Kreis des Apollonios und den Satz von Napoleon.

Schließlich führte die Lektion über die Polynomgleichungen alles auf dem Boden zusammen, auf dem die komplexen Zahlen entstanden sind. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der ohne Beweis angenommen wird, folgerte sie, dass jedes Polynom vom Grad nn ein Produkt von nn Linearfaktoren ist, bewies die vietaschen Formeln und löste die binomischen, die trinomischen und die reziproken Gleichungen; die Formel von Cardano erforderte die Kubikwurzeln aus der Lektion über die nn-ten Wurzeln, die Diskriminante klassifizierte die Lösungen der reellen kubischen Gleichung, der Casus irreducibilis wurde mit der Formel für den dreifachen Winkel gelöst, und das Verfahren von Ferrari reduzierte die Gleichung vierten Grades auf eine kubische Gleichung; der Satz von Hölder und der Satz von Abel-Ruffini, die angenommen werden, erklärten, warum der Umweg über die komplexen Zahlen im Casus irreducibilis unvermeidlich ist und warum es ab dem Grad fünf keine ähnlichen Formeln gibt. Daraus ergibt sich die vollständige Kette: Satz über das Produkt, Formel von de Moivre, nn-te Wurzeln, komplexe Exponentialfunktion, Geometrie der Ebene und Polynomgleichungen, sodass jedes Glied im Wesentlichen eine neue Lesart des ersten ist.

Es lohnt sich, genau aufzuzählen, was die Einheit ohne Beweis annimmt, denn es ist wenig und klar umgrenzt. Aus der euklidischen Geometrie die Tatsachen, die in der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung zusammengestellt sind, von denen die Einheit nur den Begriff der Ähnlichkeit braucht und dass gleiche Winkel proportionale Seiten nach sich ziehen, und zwar im Satz über die ähnlichen Dreiecke des Produkts. Aus der Differentialrechnung die Reihen von exe^x, des Kosinus und des Sinus, die die Lektion über die komplexe Exponentialfunktion zur Begründung der eulerschen Formel heranzieht und die im Kurs Analysis I bewiesen werden. Aus der Algebra drei Ergebnisse, die in der Lektion über die Polynomgleichungen angegeben werden: der Fundamentalsatz der Algebra, von dem die vollständige Zerlegung abhängt, sowie der Satz von Hölder und der Satz von Abel-Ruffini, die kein Glied tragen und nur erklären, warum der Casus irreducibilis den Umweg über die komplexen Zahlen erfordert und warum es ab dem Grad fünf keine Formeln mit Radikalen gibt. Schließlich erwähnt das Beispiel der Spirale der Potenzen in der Lektion über die Formel von de Moivre, ohne sie zu verwenden, die Eigenschaft der logarithmischen Spirale, jede Gerade durch den Ursprung unter demselben Winkel zu schneiden, die ebenfalls mit der Differentialrechnung bewiesen wird. Alles andere wird in der Einheit, in den beiden vorangehenden oder in Kurs I bewiesen; in der Kette erscheinen die euklidischen Tatsachen und der Fundamentalsatz als angenommene Stützen, die Reihen dagegen nicht, weil sie kein Glied tragen, da die imaginäre Exponentialfunktion als Definition gesetzt wird.

Die folgende Abbildung fasst die vier Abschnitte der Einheit in einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist: der Satz über die Gleichheit in Polarform, der im ersten Glied begründet wird, und die Ergebnisse früherer Einheiten oder aus Kurs I, die als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

  • AGleichheit in Polarform. Zwei komplexe Zahlen r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) und r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) mit positiven r1r_1 und r2r_2 sind genau dann gleich, wenn r1=r2r_1 = r_2 gilt und θ1−θ2\theta_1 - \theta_2 ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi ist. Begründet in: 1. Gleichheit in Polarform.
  • BTrigonometrische Formeln. Der trigonometrische Pythagoras, Kosinus und Sinus einer Summe und einer Differenz, der doppelte, der halbe und der dreifache Winkel, Symmetrie und Periodizität von Sinus und Kosinus, ihre Nullstellen, die Kennzeichnung der Winkel mit gleichem Endschenkel, die Monotonie des Kosinus auf [0,π]\icc{0}{\pi} und der Kosinussatz, bewiesen in den Einheiten 1 und 2, über die trigonometrischen Funktionen und über die analytische Trigonometrie. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • CEuklidische Geometrie. In der Einheit von Kurs I über die analytische Geometrie der Ebene werden die Tatsachen der euklidischen Geometrie angenommen: der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung, die Parallelen, der Strahlensatz und die Ähnlichkeit von Dreiecken, die Winkelsumme im Dreieck und das gleichschenklige Dreieck. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • DInduktionsprinzip. Gilt eine Eigenschaft für die erste natürliche Zahl und überträgt sie sich von jeder natürlichen Zahl auf ihren Nachfolger, so gilt sie für alle; bewiesen in der Einheit von Kurs I über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • EBinomischer Lehrsatz und geometrische Summe. Für jede natürliche Zahl nn gilt (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k, und ist q≠1q \neq 1, so gilt 1+q+⋯+qn−1=qn−1q−11 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}; beide Rechnungen, bewiesen in der Einheit von Kurs I über die natürlichen Zahlen, verwenden nur die Eigenschaften der Addition und der Multiplikation und gelten auch für komplexe Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • FDivision mit Rest und Bézout. Jede ganze Zahl lässt sich als qn+rqn + r mit 0≤r≤n−10 \leq r \leq n - 1 schreiben, und ist ggT⁡(k,n)=1\operatorname{ggT}(k, n) = 1, so gibt es ganze Zahlen xx und yy mit kx+ny=1kx + ny = 1; bewiesen in der Einheit von Kurs I über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • GReelle Exponentialfunktion. Die reelle Exponentialfunktion ist positiv, injektiv und bijektiv auf die positiven reellen Zahlen, erfüllt eaec=ea+ce^a e^c = e^{a + c} und definiert den Kosinus und den Sinus hyperbolicus; bewiesen in der Einheit von Kurs I über Exponentialfunktion und Logarithmus. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • HFaktorsatz und Fundamentalsatz. Ist z0z_0 eine Nullstelle des Polynoms PP, so ist z−z0z - z_0 ein Teiler von PP, was in der Einheit von Kurs I über die algebraischen Funktionen bewiesen wurde und im Komplexen gilt; und jedes komplexe Polynom vom Grad n≥1n \geq 1 hat eine komplexe Nullstelle, was ohne Beweis angenommen wird. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.

  1. Abschnitt 1 Die Polarform und das Produkt

    • Jede von null verschiedene komplexe Zahl in Polarform schreiben und beweisen, dass diese Darstellung bis auf volle Drehungen eindeutig ist.
    • Mit den Additionstheoremen beweisen, dass sich in einem Produkt die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren.
    • Daraus die Konjugierte und das Inverse in Polarform sowie das Verhalten des Hauptarguments eines Produkts herleiten.
    • Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl als Drehung verknüpft mit einer Streckung deuten.

    1. Gleichheit in Polarform. Ein Argument von z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0 ist jede reelle Zahl θ\theta mit a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta und b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta; die komplexe Zahl r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) mit r>0r > 0 hat den Betrag rr und das Argument θ\theta, und zwei solche Ausdrücke sind genau dann gleich, wenn sie denselben Betrag haben und ihre Argumente sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi unterscheiden.

      Stützt sich auf: B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Polarform der komplexen Zahlen.

    2. Produkt und Quotient in Polarform. Hat zz den Betrag rr und das Argument θ\theta und hat ww den Betrag ss und das Argument φ\varphi, so hat das Produkt zwzw den Betrag rsrs und das Argument θ+φ\theta + \varphi, und der Quotient zw\frac{z}{w} hat den Betrag rs\frac{r}{s} und das Argument θ−φ\theta - \varphi.

      Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Polarform der komplexen Zahlen.

    3. Konjugierte und Inverses. Ist z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) mit r>0r > 0, so hat die Konjugierte von zz den Betrag rr und das Argument −θ-\theta, und das Inverse 1z\frac{1}{z} hat den Betrag 1r\frac{1}{r} und das Argument −θ-\theta.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Polarform der komplexen Zahlen.

    4. Hauptargument eines Produkts. Das Hauptargument von zwzw ist Arg⁡z+Arg⁡w+2kπ\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi, wobei kk gleich −1-1, 00 oder 11 ist, und k=0k = 0 gilt genau dann, wenn diese Summe in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} liegt.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform). Bewiesen in: Die Polarform der komplexen Zahlen.

    5. Ähnliche Dreiecke des Produkts. Ist z≠0z \neq 0 und ist ww nicht reell, so ist das Dreieck mit den Ecken 00, zz und zwzw ähnlich zu dem mit den Ecken 00, 11 und ww, mit dem Verhältnis ∣z∣\abs{z}: Die Multiplikation mit zz ist ein Drehen und Strecken.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform. Stützt sich auf: C (Euklidische Geometrie), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Polarform der komplexen Zahlen.

  2. Abschnitt 2 Potenzen und Wurzeln

    • Die Formel von de Moivre für jeden ganzzahligen Exponenten durch Induktion beweisen.
    • Aus ihr und dem binomischen Lehrsatz die Mehrfachwinkelformeln gewinnen, die Potenzen des Kosinus linearisieren und Sinus- und Kosinuswerte mit einer geometrischen Summe summieren.
    • Beweisen, dass jede von null verschiedene komplexe Zahl genau nn nn-te Wurzeln hat, die Ecken eines regelmäßigen Vielecks.
    • Die Einheitswurzeln untersuchen: ihre Potenzen, ihre Summe, die Zerlegung von zn−1z^n - 1 und die primitiven Einheitswurzeln.

    1. Formel von de Moivre. Für jede reelle Zahl θ\theta und jede ganze Zahl nn gilt (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta); ist also z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), so hat die Potenz znz^n den Betrag rnr^n und das Argument nθn\theta.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 3. Konjugierte und Inverses. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), D (Induktionsprinzip), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen.

    2. Mehrfache Winkel. Der Kosinus von nθn\theta ist die alternierende Summe der Terme (nk)cos⁡n−kθsin⁡kθ\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta mit geradem Index kk, und der Sinus von nθn\theta die der Terme mit ungeradem Index.

      Verwendet: 6. Formel von de Moivre. Stützt sich auf: E (Binomischer Lehrsatz und geometrische Summe). Bewiesen in: Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen.

    3. Linearisierung. Ist z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, so gelten zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta) und zn−z−n=2isin⁡(nθ)z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta); daraus folgen zum Beispiel cos⁡3θ=cos⁡3θ+3cos⁡θ4\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4} und cos⁡4θ=cos⁡4θ+4cos⁡2θ+38\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}.

      Verwendet: 6. Formel von de Moivre. Stützt sich auf: E (Binomischer Lehrsatz und geometrische Summe), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen.

    4. Summen von Sinus- und Kosinuswerten. Ist θ\theta kein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi, so ist die Summe der komplexen Zahlen cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)\cos(k\theta) + i \sin(k\theta) für kk von 00 bis n−1n - 1 die reelle Zahl sin⁡nθ2sin⁡θ2\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} mal die komplexe Zahl vom Betrag 11 mit dem Argument (n−1)θ2\frac{(n - 1)\theta}{2}, was die Summen der Kosinus- und der Sinuswerte liefert.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 6. Formel von de Moivre. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), E (Binomischer Lehrsatz und geometrische Summe), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen.

    5. n-te Wurzeln. Ist w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)≠0w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0, so hat die Gleichung zn=wz^n = w genau nn Lösungen, vom Betrag Rn\sqrt[n]{R} und mit den Argumenten φ+2kπn\frac{\varphi + 2k\pi}{n} mit 0≤k≤n−10 \leq k \leq n - 1, die für n≥3n \geq 3 die Ecken eines regelmäßigen Vielecks sind, das dem Kreis vom Radius Rn\sqrt[n]{R} einbeschrieben ist.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 6. Formel von de Moivre. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), F (Division mit Rest und Bézout), B (Trigonometrische Formeln), D (Induktionsprinzip). Bewiesen in: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.

    6. Einheitswurzeln als Potenzen. Die nn-ten Einheitswurzeln sind die Potenzen ωk=ωk\omega_k = \omega^k von ω=cos⁡2πn+isin⁡2πn\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}; man multipliziert sie, indem man die Indizes modulo nn addiert, das Inverse jeder von ihnen ist ihre Konjugierte, und die Multiplikation mit einer von ihnen permutiert sie.

      Verwendet: 3. Konjugierte und Inverses, 6. Formel von de Moivre, 10. n-te Wurzeln. Stützt sich auf: F (Division mit Rest und Bézout). Bewiesen in: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.

    7. Summe der Potenzen der Einheitswurzeln. Ist n≥2n \geq 2, so ist die Summe der mm-ten Potenzen der nn nn-ten Einheitswurzeln gleich nn, wenn nn ein Teiler von mm ist, und sonst gleich 00; insbesondere summieren sich die Einheitswurzeln zu null.

      Verwendet: 11. Einheitswurzeln als Potenzen. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), E (Binomischer Lehrsatz und geometrische Summe). Bewiesen in: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.

    8. Faktorisierung von z hoch n minus 1. Für jede natürliche Zahl nn ist das Polynom zn−1z^n - 1 das Produkt der nn Faktoren z−ωkz - \omega_k mit 0≤k≤n−10 \leq k \leq n - 1.

      Verwendet: 10. n-te Wurzeln. Stützt sich auf: H (Faktorsatz und Fundamentalsatz). Bewiesen in: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.

    9. Primitive Einheitswurzeln. Die Einheitswurzel ωk\omega_k mit 1≤k≤n1 \leq k \leq n ist genau dann primitiv, das heißt, ihre Potenzen liefern alle nn-ten Einheitswurzeln, wenn ggT⁡(k,n)=1\operatorname{ggT}(k, n) = 1 gilt.

      Verwendet: 11. Einheitswurzeln als Potenzen, 12. Summe der Potenzen der Einheitswurzeln. Stützt sich auf: F (Division mit Rest und Bézout). Bewiesen in: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.

    10. Reelle Faktorisierung von x hoch n minus 1. Jedes Paar konjugierter nicht reeller Einheitswurzeln ωk\omega_k und ωn−k\omega_{n - k} liefert den irreduziblen Faktor x2−2xcos⁡2kπn+1x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1, sodass xn−1x^n - 1 das Produkt von x−1x - 1, von x+1x + 1, falls nn gerade ist, und dieser quadratischen Faktoren ist.

      Verwendet: 3. Konjugierte und Inverses, 11. Einheitswurzeln als Potenzen, 13. Faktorisierung von z hoch n minus 1. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.

  3. Abschnitt 3 Die komplexe Exponentialfunktion und die Geometrie

    • eiθe^{i\theta} mit der eulerschen Formel und ea+bi=eaeibe^{a + bi} = e^a e^{ib} definieren und in den bisherigen Regeln die Potenzgesetze erkennen.
    • Beweisen, dass die Exponentialfunktion Summen in Produkte überführt und periodisch mit der Periode 2πi2\pi i ist.
    • Kosinus und Sinus durch Exponentiale ausdrücken, sie mit den Hyperbelfunktionen in Beziehung setzen und die Logarithmen einer komplexen Zahl bestimmen.
    • Die Drehungen und die Spiegelungen der Ebene mit komplexen Zahlen schreiben, Kollinearität und Orthogonalität an einem Quotienten ablesen, die Orientierung eines Dreiecks definieren und ihre Invarianz beweisen und das gleichseitige Dreieck charakterisieren.

    1. Imaginäre Exponentialfunktion. Die komplexe Zahl eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta hat den Betrag 11, und es gelten eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} und (eiθ)−1=e−iθ\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}, was ihre Konjugierte ist; außerdem gilt eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} genau dann, wenn α−β\alpha - \beta ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi ist.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 3. Konjugierte und Inverses, 6. Formel von de Moivre. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel.

    2. Exponential einer Summe. Ist z=a+biz = a + bi und ez=eaeibe^z = e^a e^{ib}, so ist der Betrag von eze^z gleich eae^a, bb ist eines seiner Argumente, und eze^z ist nie null; und für alle komplexen Zahlen zz und ww gilt ez+w=ezewe^{z + w} = e^z e^w.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 16. Imaginäre Exponentialfunktion. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), G (Reelle Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel.

    3. Periodizität der Exponentialfunktion. Es gilt ez=1e^z = 1 genau dann, wenn z=2kπiz = 2k\pi i für eine ganze Zahl kk gilt; folglich gilt ez=ewe^z = e^w genau dann, wenn z−wz - w ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi2\pi i ist.

      Verwendet: 17. Exponential einer Summe. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), G (Reelle Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel.

    4. Eulersche Formeln. Es gelten cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} und sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}; mit ihnen werden Kosinus und Sinus einer komplexen Zahl definiert, die die Additionstheoreme, die Formeln für den doppelten Winkel und die Potenzreduktion behalten, nicht aber die Formeln für den halben Winkel mit doppeltem Vorzeichen, und man erhält cos⁡(ix)=cosh⁡x\cos(ix) = \cosh x und sin⁡(ix)=isinh⁡x\sin(ix) = i \sinh x.

      Verwendet: 16. Imaginäre Exponentialfunktion, 17. Exponential einer Summe. Stützt sich auf: B (Trigonometrische Formeln), G (Reelle Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel.

    5. Logarithmen einer komplexen Zahl. Ist z≠0z \neq 0, so sind die Lösungen von ew=ze^w = z die Zahlen w=ln⁡∣z∣+i(Arg⁡z+2kπ)w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right) mit ganzzahligem kk; und die damit definierten Werte von z1nz^{\frac{1}{n}} sind genau die nn nn-ten Wurzeln von zz.

      Verwendet: 10. n-te Wurzeln, 11. Einheitswurzeln als Potenzen, 17. Exponential einer Summe, 18. Periodizität der Exponentialfunktion. Stützt sich auf: A (Gleichheit in Polarform), G (Reelle Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel.

    6. Drehung um einen Punkt. Die Abbildung R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) lässt cc fest, erhält die Abstände und dreht um den Winkel φ\varphi die Strecke, die jeden Punkt mit cc verbindet: Sie ist die Drehung um cc mit dem Winkel φ\varphi.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 16. Imaginäre Exponentialfunktion. Bewiesen in: Geometrie mit komplexen Zahlen.

    7. Spiegelungen und ihre Verkettung. Die Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung mit dem Winkel α\alpha ist die Isometrie S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}, und die Verkettung der Spiegelungen mit den Winkeln α\alpha und β\beta ist die Drehung um den Ursprung mit dem Winkel 2(β−α)2(\beta - \alpha).

      Verwendet: 3. Konjugierte und Inverses, 16. Imaginäre Exponentialfunktion, 21. Drehung um einen Punkt. Bewiesen in: Geometrie mit komplexen Zahlen.

    8. Kollinearität und Orientierung. Ist q=z3−z1z2−z1q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}, so ist der orientierte Winkel von der Strecke von z1z_1 nach z2z_2 zu der von z1z_1 nach z3z_3 ein Argument von qq; die Punkte sind genau dann kollinear, wenn qq reell ist, und die Strecken stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn qq rein imaginär ist. Sind sie nicht kollinear, so ist das Dreieck z1z2z3z_1 z_2 z_3 positiv orientiert, wenn Im⁡q>0\operatorname{Im} q > 0 gilt; die Orientierung hängt nicht von der Anfangsecke ab, kehrt sich beim Vertauschen zweier Ecken und beim Anwenden einer Spiegelung um und bleibt bei Drehungen erhalten.

      Verwendet: 2. Produkt und Quotient in Polarform, 16. Imaginäre Exponentialfunktion, 21. Drehung um einen Punkt, 22. Spiegelungen und ihre Verkettung. Bewiesen in: Geometrie mit komplexen Zahlen.

    9. Gleichseitiges Dreieck. Ist z1≠z2z_1 \neq z_2, so sind die Punkte z1z_1, z2z_2 und z3z_3 in dieser Reihenfolge genau dann die Ecken eines positiv orientierten gleichseitigen Dreiecks, wenn z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0 mit ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} gilt; der Beweis reduziert die Bedingung auf ∣q∣=∣q−1∣=1\abs{q} = \abs{q - 1} = 1 mit Im⁡q>0\operatorname{Im} q > 0, das heißt auf q=eiπ3q = e^{\frac{i\pi}{3}}.

      Verwendet: 16. Imaginäre Exponentialfunktion, 12. Summe der Potenzen der Einheitswurzeln, 23. Kollinearität und Orientierung. Bewiesen in: Geometrie mit komplexen Zahlen.

  4. Abschnitt 4 Die Polynomgleichungen

    • Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgern, dass jedes komplexe Polynom vom Grad nn ein Produkt von nn Linearfaktoren ist.
    • Die vietaschen Formeln zwischen den Nullstellen und den Koeffizienten beweisen.
    • Die kubische Gleichung mit der Formel von Cardano lösen, ihre reellen Lösungen mit der Diskriminante klassifizieren und den Casus irreducibilis mit dem dreifachen Winkel lösen.
    • Die Gleichung vierten Grades mit dem Verfahren von Ferrari auf eine kubische Gleichung reduzieren.

    1. Zerlegung im Komplexen. Jedes komplexe Polynom vom Grad n≥1n \geq 1 mit dem Leitkoeffizienten ana_n ist gleich an(z−z1)⋯(z−zn)a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n) und hat genau nn Nullstellen, mit ihrer Vielfachheit gezählt.

      Stützt sich auf: D (Induktionsprinzip), H (Faktorsatz und Fundamentalsatz). Bewiesen in: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.

    2. Vietasche Formeln. Die elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen erfüllen σk=(−1)kan−kan\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}; insbesondere ist die Summe der Nullstellen −an−1an-\frac{a_{n - 1}}{a_n} und ihr Produkt (−1)na0an(-1)^n \frac{a_0}{a_n}.

      Verwendet: 25. Zerlegung im Komplexen. Stützt sich auf: D (Induktionsprinzip). Bewiesen in: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.

    3. Formel von Cardano. Die Substitution x=t−b3ax = t - \frac{b}{3a} führt die kubische Gleichung in t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0 über; ist uu eine Kubikwurzel einer Lösung UU der Resolvente s2+qs−p327=0s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0 und ist v=−p3uv = -\frac{p}{3u}, so sind ihre Lösungen u+vu + v, ωu+ω2v\omega u + \omega^2 v und ω2u+ωv\omega^2 u + \omega v.

      Verwendet: 10. n-te Wurzeln, 11. Einheitswurzeln als Potenzen, 12. Summe der Potenzen der Einheitswurzeln, 26. Vietasche Formeln. Stützt sich auf: E (Binomischer Lehrsatz und geometrische Summe). Bewiesen in: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.

    4. Diskriminante der kubischen Gleichung. Sind pp und qq reell und ist Δ=−(4p3+27q2)\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right), so hat die kubische Gleichung t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0 eine reelle und zwei konjugierte nicht reelle Lösungen, falls Δ<0\Delta < 0, reelle Lösungen, darunter eine mehrfache, falls Δ=0\Delta = 0, und drei verschiedene reelle Lösungen, falls Δ>0\Delta > 0.

      Verwendet: 3. Konjugierte und Inverses, 11. Einheitswurzeln als Potenzen, 27. Formel von Cardano. Bewiesen in: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.

    5. Trigonometrische Lösung. Ist Δ>0\Delta > 0, so sind mit m=2−p3m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} und c=3qpmc = \frac{3q}{pm} in (−1,1)\ioo{-1}{1} die drei reellen Lösungen mcos⁡arccos⁡c+2kπ3m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3} für k=0,1,2k = 0, 1, 2.

      Verwendet: 25. Zerlegung im Komplexen, 28. Diskriminante der kubischen Gleichung. Stützt sich auf: B (Trigonometrische Formeln). Bewiesen in: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.

    6. Verfahren von Ferrari. Die Substitution x=y−b4ax = y - \frac{b}{4a} führt die Gleichung vierten Grades in y4+py2+qy+r=0y^4 + py^2 + qy + r = 0 über; ist q≠0q \neq 0 und ist mm eine Lösung ihrer kubischen Resolvente, mit s2=2ms^2 = 2m, so ist das Polynom vierten Grades das Produkt zweier Faktoren zweiten Grades, deren Nullstellen seine eigenen sind.

      Verwendet: 10. n-te Wurzeln, 25. Zerlegung im Komplexen, 27. Formel von Cardano. Stützt sich auf: E (Binomischer Lehrsatz und geometrische Summe). Bewiesen in: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.

Auf dem Weg zu den Matrizen und den algebraischen Strukturen. Die Kette endet dort, wo die komplexen Zahlen zur Struktur werden: Das Produkt mit eiφe^{i\varphi} wird eine Drehmatrix sein, das Betragsquadrat eine Determinante, und die Einheitswurzeln, die sich multiplizieren, wie sich die Reste der Division durch nn addieren, das erste Beispiel einer zyklischen Gruppe.