Комплексные числа в тригонометрической форме: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел, посвящённый комплексным числам в тригонометрической форме. Он собирает определения и теоремы раздела в единую дедуктивную цепь, которая начинается с теоремы о произведении в тригонометрической форме и через формулу Муавра, корни $n$ -й степени, комплексную экспоненту и геометрию плоскости приходит к разложению многочленов на множители и к формулам Кардано и Феррари. Он показывает, чем каждое звено обязано курсу «Алгебра и геометрия I» и двум предыдущим разделам этого курса и как раздел, который идёт за ним, о матрицах и алгебраических структурах, переосмысляет те же факты. В конце даны десять задач повышенной трудности, более сложных, чем задачи для самостоятельного решения в разделе, которые сочетают несколько его уроков.

Цели обучения

Восстановить дедуктивную цепь раздела, от теоремы о произведении в тригонометрической форме до формул Кардано и Феррари, указывая, от какого результата зависит каждая теорема.
Связать результаты раздела с результатами курса I (индукция, бином Ньютона, наибольший общий делитель, многочлены) и предыдущих разделов (полярные координаты и тригонометрические формулы) и предвосхитить их матричное и структурное прочтение в разделе, который идёт за этим.
Решать задачи, требующие сочетать тригонометрическую форму, корни из единицы, комплексную экспоненту, геометрию с комплексными числами и формулы Виета.

Чего достиг раздел

Раздел начался с пробела: в уроке курса I о комплексных числах произведение двух комплексных чисел вычислялось, но не было понятно. Урок о тригонометрической форме комплексного числа записал каждое ненулевое комплексное число в виде $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , доказал, что эта запись единственна с точностью до полных оборотов, и с помощью формул суммы и разности доказал теорему, на которой держится всё остальное: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Из неё следовало, что умножение на комплексное число есть поворот с растяжением, что сопряжённое и обратное числа имеют противоположный аргумент и что главное значение аргумента произведения совпадает с суммой главных значений лишь с точностью до одного оборота.

Если произведение складывает аргументы, то степень их умножает. Урок о формуле Муавра доказал это по индукции для любого целого показателя и, сравнив формулу с биномом Ньютона, получил формулы кратных углов; с помощью леммы $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ он линеаризовал степени синуса и косинуса, с помощью геометрической суммы с комплексным знаменателем просуммировал синусы и косинусы, а с помощью степени $(1 + i)^n$ нашёл суммы биномиальных коэффициентов с чётными номерами и с нечётными номерами с чередующимися знаками. Однако если возведение в степень $n$ умножает угол на $n$ , то извлечение корня его делит: урок о корнях $n$ -й степени доказал, что всякое ненулевое комплексное число имеет ровно $n$ корней $n$ -й степени, вершин правильного многоугольника, что корни из единицы суть степени одного из них, имеют сумму нуль, раскладывают на множители $z^n - 1$ и являются первообразными в точности тогда, когда их номер взаимно прост с $n$ .

Урок о комплексной экспоненте заметил, что все эти правила суть законы действий со степенями, и с помощью рядов для $e^x$ , косинуса и синуса, принятых без доказательства, поскольку они требуют дифференциального исчисления, показал, что сумма ряда экспоненты в точке $i\theta$ равна $\cos \theta + i \sin \theta$ . Поэтому он определил $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ и $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , доказал, что экспонента переводит суммы в произведения и периодична с периодом $2\pi i$ , выразил косинус и синус через экспоненты, выяснил, какие тригонометрические тождества сохраняются при их продолжении на комплексные числа, обнаружил в них гиперболические функции и, обратив экспоненту, получил логарифм с бесконечным множеством значений и степени с комплексным показателем. В этих обозначениях урок о геометрии с комплексными числами записал повороты в виде $c + e^{i\varphi}(z - c)$ , а отражения в виде $e^{2i\alpha}\conj{z}$ , прочитал коллинеарность и перпендикулярность в частном, определил по знаку мнимой части этого частного ориентацию треугольника и доказал, что она не зависит от вершины, с которой начинают обход, что параллельные переносы и повороты её сохраняют, а отражения меняют на противоположную, охарактеризовал равносторонний треугольник с помощью кубического корня из единицы и доказал теорему об окружности Аполлония и теорему Наполеона.

Наконец, урок о полиномиальных уравнениях в комплексных числах собрал всё воедино там, где комплексные числа родились. Из основной теоремы алгебры, которая принимается без доказательства, он вывел, что всякий многочлен степени $n$ есть произведение $n$ линейных множителей, доказал формулы Виета и решил двучленные, трёхчленные и возвратные уравнения; формула Кардано потребовала кубических корней из урока о корнях $n$ -й степени, дискриминант классифицировал корни действительного кубического уравнения, неприводимый случай был решён с помощью формулы тройного угла, а метод Феррари свёл уравнение четвёртой степени к кубическому; теоремы Гёльдера и Абеля-Руффини, которые принимаются без доказательства, объяснили, почему обходной путь через комплексные числа неизбежен в неприводимом случае и почему подобных формул нет начиная с пятой степени. Отсюда полная цепь такова: теорема о произведении, формула Муавра, корни $n$ -й степени, комплексная экспонента, геометрия плоскости и полиномиальные уравнения, так что каждое звено есть, по существу, новое прочтение первого.

Стоит точно перечислить то, что раздел принимает без доказательства, потому что этого немного и оно сосредоточено в определённых местах. Из евклидовой геометрии это факты, собранные в уроке курса I об уравнении прямой, из которых разделу нужны лишь понятие подобия и то, что равенство углов влечёт пропорциональность сторон, в теореме о подобных треугольниках произведения. Из дифференциального исчисления это ряды для $e^x$ , косинуса и синуса, которые урок о комплексной экспоненте использует, чтобы мотивировать формулу Эйлера, и которые доказываются в курсе «Математический анализ I». Из алгебры это три результата, сформулированные в уроке о полиномиальных уравнениях: основная теорема алгебры, от которой зависит полное разложение на множители, и теоремы Гёльдера и Абеля-Руффини, которые не поддерживают ни одного звена и лишь объясняют, почему неприводимый случай требует обходного пути через комплексные числа и почему нет формул в радикалах начиная с пятой степени. Наконец, пример спирали степеней в уроке о формуле Муавра упоминает, не используя его, свойство логарифмической спирали пересекать под одним и тем же углом всякую прямую, проходящую через начало координат, которое также доказывается с помощью дифференциального исчисления. Всё остальное доказывается в этом разделе, в двух предыдущих или в курсе I; в цепи евклидовы факты и основная теорема фигурируют как принимаемые без доказательства опоры, а ряды, которые не поддерживают ни одного звена, поскольку мнимая экспонента принимается за определение, не фигурируют.

Рисунок ниже собирает четыре участка раздела в единую цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова: теорема о равенстве в тригонометрической форме, которая устанавливается в первом звене, и результаты предыдущих разделов или курса I, которые изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

AРавенство в тригонометрической форме. Два комплексных числа $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ и $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , где $r_1$ и $r_2$ положительны, равны тогда и только тогда, когда $r_1 = r_2$ и разность $\theta_1 - \theta_2$ кратна $2\pi$ с целым коэффициентом. Устанавливается в: 1. Равенство в тригонометрической форме.
BТригонометрические формулы. Основное тригонометрическое тождество, косинус и синус суммы и разности, двойной угол, половинный угол и тройной угол, чётность и периодичность синуса и косинуса, их нули, характеристика углов с общей конечной стороной, монотонность косинуса на $\icc{0}{\pi}$ и теорема косинусов, доказанные в разделах 1 и 2, о тригонометрических функциях и об аналитической тригонометрии. В этом разделе принимается без доказательства.
CЕвклидова геометрия. В разделе курса I об аналитической геометрии на плоскости принимаются факты евклидовой геометрии: теорема Пифагора и обратная к ней, параллельные прямые, теорема Фалеса и подобие треугольников, сумма углов треугольника и равнобедренный треугольник. В этом разделе принимается без доказательства.
DПринцип индукции. Если свойство выполняется для первого натурального числа и переходит от каждого натурального числа к числу, большему на единицу, то оно выполняется для всех; доказан в разделе курса I о натуральных числах. В этом разделе принимается без доказательства.
EБином Ньютона и геометрическая сумма. Для всякого натурального $n$ выполняется $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ , а если $q \neq 1$ , то $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; доказанные в разделе курса I о натуральных числах, оба вычисления используют лишь свойства сложения и умножения и верны также для комплексных чисел. В этом разделе принимается без доказательства.
FДеление с остатком и соотношение Безу. Всякое целое число записывается в виде $qn + r$ , где $0 \leq r \leq n - 1$ , и если $\operatorname{\text{НОД}}(k, n) = 1$ , то существуют целые $x$ и $y$ , для которых $kx + ny = 1$ ; доказано в разделе курса I о натуральных числах. В этом разделе принимается без доказательства.
GДействительная экспонента. Действительная экспонента положительна, инъективна и биективна на множество положительных действительных чисел, удовлетворяет равенству $e^a e^c = e^{a + c}$ и определяет гиперболические косинус и синус; доказано в разделе курса I о показательной и логарифмической функциях. В этом разделе принимается без доказательства.
HТеорема о множителе и основная теорема. Если $z_0$ есть корень многочлена $P$ , то $z - z_0$ делит $P$ , что было доказано в разделе курса I об алгебраических функциях и верно для комплексных чисел; и всякий комплексный многочлен степени $n \geq 1$ имеет хотя бы один комплексный корень, что принимается без доказательства. В этом разделе принимается без доказательства.

Участок 1 Тригонометрическая форма и произведение
- Записывать всякое ненулевое комплексное число в тригонометрической форме и доказывать, что эта запись единственна с точностью до полных оборотов.
- Доказывать с помощью формул суммы и разности, что при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.
- Выводить отсюда сопряжённое и обратное числа в тригонометрической форме и поведение главного значения аргумента произведения.
- Истолковывать умножение на комплексное число как поворот, скомпонованный с растяжением.
1. Равенство в тригонометрической форме. Аргументом числа $z = a + bi \neq 0$ называется всякое действительное $\theta$ , для которого $a = \abs{z} \cos \theta$ и $b = \abs{z} \sin \theta$ ; комплексное число $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , где $r > 0$ , имеет модуль $r$ и аргумент $\theta$ , и два таких выражения равны тогда и только тогда, когда у них одинаковый модуль, а аргументы отличаются на число, кратное $2\pi$ с целым коэффициентом.
  Опирается на: B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Тригонометрическая форма комплексного числа.
2. Произведение и частное в тригонометрической форме. Если $z$ имеет модуль $r$ и аргумент $\theta$ , а $w$ имеет модуль $s$ и аргумент $\varphi$ , то произведение $zw$ имеет модуль $rs$ и аргумент $\theta + \varphi$ , а частное $\frac{z}{w}$ имеет модуль $\frac{r}{s}$ и аргумент $\theta - \varphi$ .
  Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Тригонометрическая форма комплексного числа.
3. Сопряжённое и обратное. Если $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , где $r > 0$ , то сопряжённое к $z$ имеет модуль $r$ и аргумент $-\theta$ , а обратное $\frac{1}{z}$ имеет модуль $\frac{1}{r}$ и аргумент $-\theta$ .
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Главное значение аргумента произведения. Главное значение аргумента $zw$ равно $\operatorname{arg} z + \operatorname{arg} w + 2k\pi$ , где $k$ равно $-1$ , $0$ или $1$ , причём $k = 0$ в точности тогда, когда эта сумма лежит в $\ioc{-\pi}{\pi}$ .
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме). Доказывается в уроке: Тригонометрическая форма комплексного числа.
5. Подобные треугольники произведения. Если $z \neq 0$ и $w$ не является действительным, то треугольник с вершинами $0$ , $z$ и $zw$ подобен треугольнику с вершинами $0$ , $1$ и $w$ с коэффициентом $\abs{z}$ : умножать на $z$ значит поворачивать и растягивать.
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме. Опирается на: C (Евклидова геометрия), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Тригонометрическая форма комплексного числа.
Участок 2 Степени и корни
- Доказывать по индукции формулу Муавра для любого целого показателя.
- Получать из неё и из бинома Ньютона формулы кратных углов, линеаризовать степени косинуса и суммировать синусы и косинусы с помощью геометрической суммы.
- Доказывать, что всякое ненулевое комплексное число имеет ровно $n$ корней $n$ -й степени, вершин правильного многоугольника.
- Изучать корни из единицы: их степени, их сумму, разложение многочлена $z^n - 1$ и первообразные корни.
1. Формула Муавра. Для всякого действительного $\theta$ и всякого целого $n$ выполняется $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ; поэтому если $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , то степень $z^n$ имеет модуль $r^n$ и аргумент $n\theta$ .
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 3. Сопряжённое и обратное. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), D (Принцип индукции), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Формула Муавра и степени комплексных чисел.
2. Кратные углы. Косинус угла $n\theta$ есть знакочередующаяся сумма членов $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ с чётным номером $k$ , а синус угла $n\theta$ есть такая же сумма членов с нечётным номером.
  Использует: 6. Формула Муавра. Опирается на: E (Бином Ньютона и геометрическая сумма). Доказывается в уроке: Формула Муавра и степени комплексных чисел.
3. Линеаризация. Если $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , то выполняются $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ и $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ; отсюда следуют, например, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ и $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  Использует: 6. Формула Муавра. Опирается на: E (Бином Ньютона и геометрическая сумма), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Формула Муавра и степени комплексных чисел.
4. Суммы синусов и косинусов. Если $\theta$ не кратно $2\pi$ с целым коэффициентом, то сумма комплексных чисел $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ при $k$ от $0$ до $n - 1$ равна произведению действительного числа $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ на комплексное число с модулем $1$ и аргументом $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ , что даёт суммы косинусов и синусов.
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 6. Формула Муавра. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), E (Бином Ньютона и геометрическая сумма), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Формула Муавра и степени комплексных чисел.
5. Корни n-й степени. Если $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , то уравнение $z^n = w$ имеет ровно $n$ решений с модулем $\sqrt[n]{R}$ и аргументами $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ , где $0 \leq k \leq n - 1$ , которые при $n \geq 3$ являются вершинами правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{R}$ .
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 6. Формула Муавра. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), F (Деление с остатком и соотношение Безу), B (Тригонометрические формулы), D (Принцип индукции). Доказывается в уроке: Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
6. Корни из единицы как степени. Корни $n$ -й степени из единицы суть степени $\omega_k = \omega^k$ числа $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ; они перемножаются сложением номеров по модулю $n$ , обратное к каждому из них есть сопряжённое к нему, а умножение на один из них их переставляет.
  Использует: 3. Сопряжённое и обратное, 6. Формула Муавра, 10. Корни n-й степени. Опирается на: F (Деление с остатком и соотношение Безу). Доказывается в уроке: Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
7. Сумма степеней корней. Если $n \geq 2$ , то сумма степеней с показателем $m$ всех $n$ корней $n$ -й степени из единицы равна $n$ , если $n$ делит $m$ , и $0$ в противном случае; в частности, сумма корней равна нулю.
  Использует: 11. Корни из единицы как степени. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), E (Бином Ньютона и геометрическая сумма). Доказывается в уроке: Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
8. Разложение многочлена z в степени n минус 1. Для всякого натурального $n$ многочлен $z^n - 1$ есть произведение $n$ множителей $z - \omega_k$ , где $0 \leq k \leq n - 1$ .
  Использует: 10. Корни n-й степени. Опирается на: H (Теорема о множителе и основная теорема). Доказывается в уроке: Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
9. Первообразные корни. Корень $\omega_k$ , где $1 \leq k \leq n$ , является первообразным, то есть его степени дают все корни $n$ -й степени из единицы, тогда и только тогда, когда $\operatorname{\text{НОД}}(k, n) = 1$ .
  Использует: 11. Корни из единицы как степени, 12. Сумма степеней корней. Опирается на: F (Деление с остатком и соотношение Безу). Доказывается в уроке: Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
10. Разложение над полем действительных чисел многочлена x в степени n минус 1. Каждая пара сопряжённых недействительных корней $\omega_k$ и $\omega_{n - k}$ даёт неприводимый множитель $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ , так что $x^n - 1$ есть произведение $x - 1$ , $x + 1$ при чётном $n$ и этих квадратичных множителей.
  Использует: 3. Сопряжённое и обратное, 11. Корни из единицы как степени, 13. Разложение многочлена z в степени n минус 1. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
Участок 3 Комплексная экспонента и геометрия
- Определять $e^{i\theta}$ по формуле Эйлера и $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ и узнавать в прежних правилах законы действий со степенями.
- Доказывать, что экспонента переводит суммы в произведения и периодична с периодом $2\pi i$ .
- Выражать косинус и синус через экспоненты, связывать их с гиперболическими функциями и находить логарифмы комплексного числа.
- Записывать повороты и отражения плоскости с помощью комплексных чисел, читать коллинеарность и перпендикулярность в частном, определять ориентацию треугольника и доказывать её инвариантность, а также характеризовать равносторонний треугольник.
1. Мнимая экспонента. Комплексное число $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ имеет модуль $1$ , и выполняются $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ и $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ , причём последнее есть сопряжённое к нему; кроме того, $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ тогда и только тогда, когда разность $\alpha - \beta$ кратна $2\pi$ с целым коэффициентом.
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 3. Сопряжённое и обратное, 6. Формула Муавра. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Комплексная экспонента и формула Эйлера.
2. Экспонента суммы. Если $z = a + bi$ и $e^z = e^a e^{ib}$ , то модуль $e^z$ равен $e^a$ , число $b$ есть один из его аргументов и $e^z$ никогда не равно нулю; и для всех комплексных $z$ и $w$ выполняется $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 16. Мнимая экспонента. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), G (Действительная экспонента). Доказывается в уроке: Комплексная экспонента и формула Эйлера.
3. Периодичность экспоненты. Равенство $e^z = 1$ выполняется тогда и только тогда, когда $z = 2k\pi i$ для некоторого целого $k$ ; поэтому $e^z = e^w$ тогда и только тогда, когда разность $z - w$ кратна $2\pi i$ с целым коэффициентом.
  Использует: 17. Экспонента суммы. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), G (Действительная экспонента). Доказывается в уроке: Комплексная экспонента и формула Эйлера.
4. Формулы Эйлера. Выполняются $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ и $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; с их помощью определяются косинус и синус комплексного числа, которые сохраняют формулы сложения, двойного угла и понижения степени, но не формулы половинного угла с двойным знаком, и получаются $\cos(ix) = \cosh x$ и $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  Использует: 16. Мнимая экспонента, 17. Экспонента суммы. Опирается на: B (Тригонометрические формулы), G (Действительная экспонента). Доказывается в уроке: Комплексная экспонента и формула Эйлера.
5. Логарифмы комплексного числа. Если $z \neq 0$ , то решения уравнения $e^w = z$ суть $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{arg} z + 2k\pi \right)$ , где $k$ целое; и значения $z^{\frac{1}{n}}$ , определённые с их помощью, суть в точности $n$ корней $n$ -й степени из $z$ .
  Использует: 10. Корни n-й степени, 11. Корни из единицы как степени, 17. Экспонента суммы, 18. Периодичность экспоненты. Опирается на: A (Равенство в тригонометрической форме), G (Действительная экспонента). Доказывается в уроке: Комплексная экспонента и формула Эйлера.
6. Поворот вокруг точки. Преобразование $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ оставляет неподвижной точку $c$ , сохраняет расстояния и поворачивает на угол $\varphi$ отрезок, соединяющий каждую точку с $c$ : это поворот с центром $c$ на угол $\varphi$ .
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 16. Мнимая экспонента. Доказывается в уроке: Геометрия с комплексными числами.
7. Отражения и их композиция. Отражение относительно прямой, проходящей через начало координат под углом $\alpha$ , есть движение $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ , а композиция отражений с углами $\alpha$ и $\beta$ есть поворот с центром в начале координат на угол $2(\beta - \alpha)$ .
  Использует: 3. Сопряжённое и обратное, 16. Мнимая экспонента, 21. Поворот вокруг точки. Доказывается в уроке: Геометрия с комплексными числами.
8. Коллинеарность и ориентация. Если $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , то ориентированный угол от отрезка с концами $z_1$ и $z_2$ к отрезку с концами $z_1$ и $z_3$ есть аргумент числа $q$ ; точки коллинеарны тогда и только тогда, когда $q$ действительно, а отрезки перпендикулярны тогда и только тогда, когда $q$ чисто мнимое. Если точки не коллинеарны, то треугольник $z_1 z_2 z_3$ ориентирован положительно, когда $\operatorname{Im} q > 0$ ; ориентация не зависит от начальной вершины, меняется на противоположную при перестановке двух вершин и при отражении и сохраняется при поворотах.
  Использует: 2. Произведение и частное в тригонометрической форме, 16. Мнимая экспонента, 21. Поворот вокруг точки, 22. Отражения и их композиция. Доказывается в уроке: Геометрия с комплексными числами.
9. Равносторонний треугольник. Если $z_1 \neq z_2$ , то точки $z_1$ , $z_2$ и $z_3$ являются, в этом порядке, вершинами положительно ориентированного равностороннего треугольника тогда и только тогда, когда $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , где $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; доказательство сводит условие к $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ при $\operatorname{Im} q > 0$ , то есть к $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  Использует: 16. Мнимая экспонента, 12. Сумма степеней корней, 23. Коллинеарность и ориентация. Доказывается в уроке: Геометрия с комплексными числами.
Участок 4 Полиномиальные уравнения
- Выводить из основной теоремы алгебры, что всякий комплексный многочлен степени $n$ есть произведение $n$ линейных множителей.
- Доказывать формулы Виета, связывающие корни и коэффициенты.
- Решать кубическое уравнение по формуле Кардано, классифицировать его действительные корни с помощью дискриминанта и решать неприводимый случай с помощью тройного угла.
- Сводить уравнение четвёртой степени к кубическому методом Феррари.
1. Разложение над полем комплексных чисел. Всякий комплексный многочлен степени $n \geq 1$ со старшим коэффициентом $a_n$ равен $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ и имеет ровно $n$ корней с учётом кратности.
  Опирается на: D (Принцип индукции), H (Теорема о множителе и основная теорема). Доказывается в уроке: Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.
2. Формулы Виета. Элементарные симметрические многочлены от корней удовлетворяют равенству $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ; в частности, сумма корней равна $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ , а их произведение равно $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  Использует: 25. Разложение над полем комплексных чисел. Опирается на: D (Принцип индукции). Доказывается в уроке: Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.
3. Формула Кардано. Замена $x = t - \frac{b}{3a}$ сводит кубическое уравнение к $t^3 + pt + q = 0$ ; если $u$ есть кубический корень из корня $U$ резольвенты $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ и $v = -\frac{p}{3u}$ , то корни уравнения суть $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ и $\omega^2 u + \omega v$ .
  Использует: 10. Корни n-й степени, 11. Корни из единицы как степени, 12. Сумма степеней корней, 26. Формулы Виета. Опирается на: E (Бином Ньютона и геометрическая сумма). Доказывается в уроке: Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.
4. Дискриминант кубического уравнения. Если $p$ и $q$ действительны и $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , то кубическое уравнение $t^3 + pt + q = 0$ имеет один действительный корень и два сопряжённых недействительных при $\Delta < 0$ , действительные корни, среди которых есть кратный, при $\Delta = 0$ , и три различных действительных корня при $\Delta > 0$ .
  Использует: 3. Сопряжённое и обратное, 11. Корни из единицы как степени, 27. Формула Кардано. Доказывается в уроке: Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.
5. Тригонометрическое решение. Если $\Delta > 0$ , то при $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ и $c = \frac{3q}{pm}$ , лежащем в $\ioo{-1}{1}$ , три действительных корня равны $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ при $k = 0, 1, 2$ .
  Использует: 25. Разложение над полем комплексных чисел, 28. Дискриминант кубического уравнения. Опирается на: B (Тригонометрические формулы). Доказывается в уроке: Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.
6. Метод Феррари. Замена $x = y - \frac{b}{4a}$ сводит уравнение четвёртой степени к $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ; если $q \neq 0$ и $m$ есть корень его кубической резольвенты, причём $s^2 = 2m$ , то левая часть уравнения есть произведение двух множителей второй степени, корни которых суть его корни.
  Использует: 10. Корни n-й степени, 25. Разложение над полем комплексных чисел, 27. Формула Кардано. Опирается на: E (Бином Ньютона и геометрическая сумма). Доказывается в уроке: Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.

К матрицам и алгебраическим структурам. Цепь заканчивается там, где комплексные числа становятся структурой: умножение на $e^{i\varphi}$ станет матрицей поворота, квадрат модуля станет определителем, а корни из единицы, которые перемножаются так, как складываются остатки от деления на $n$ , станут первым примером циклической группы.

Далее в этом уроке

Раздел внутри курса
Итоговая проверка
Задачи повышенной трудности
Сумма синусов семиугольника
Сумма квадратов котангенсов
Четвёртые степени расстояний до вершин
Значения степеней единицы
Степени и преобразования корней кубического уравнения
Три поворота на треть оборота
Сумма обратных величин по корням из единицы
Кубическое уравнение семиугольника
Биномиальная сумма со степенями минус трёх
Произведение по корням из единицы

Продолжите чтение с бесплатным аккаунтом

Создайте бесплатный аккаунт, чтобы прочитать этот урок полностью и первые уроки каждого курса, а также сохранять свой прогресс.

Создать аккаунт Войти

Получите доступ ко всему курсу

Продолжение этого урока доступно по подписке. Подписка открывает доступ ко всем урокам каждого курса, с задачами и доказательствами.