Numeri complessi in forma polare: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità dedicata ai numeri complessi in forma polare. Riunisce le sue definizioni e i suoi teoremi in un’unica catena deduttiva, che parte dal teorema del prodotto in forma polare e arriva, attraverso la formula di De Moivre, le radici $n$ -esime, l’esponenziale complesso e la geometria del piano, alla fattorizzazione dei polinomi e alle formule di Cardano e di Ferrari. Indica che cosa ogni anello deve al corso Algebra e Geometria I e alle due unità anteriori di questo, e come l’unità che segue, sulle matrici e le strutture algebriche, reinterpreta gli stessi fatti. Termina con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi proposti dell’unità, che combinano varie sue lezioni.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena deduttiva dell’unità, dal teorema del prodotto in forma polare fino alle formule di Cardano e di Ferrari, indicando da quale risultato dipende ogni teorema.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con quelli del corso I (induzione, binomio di Newton, massimo comune divisore, polinomi) e con quelli delle unità anteriori (coordinate polari e formule trigonometriche) e anticiparne la lettura matriciale e strutturale nell’unità che segue.
Risolvere problemi che richiedono di combinare la forma polare, le radici dell’unità, l’esponenziale complesso, la geometria con i numeri complessi e le formule di Viète.

Ciò che l’unità ha ottenuto

L’unità è partita da una mancanza: nella lezione del corso I sui numeri complessi, il prodotto di due complessi si calcolava, ma non si capiva. La lezione sulla forma polare ha scritto ogni complesso non nullo come $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , ha dimostrato che questa scrittura è unica a meno di giri completi e, con le formule di addizione e sottrazione, ha dimostrato il teorema che sostiene tutto il resto: in un prodotto, i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. Ne è seguito che moltiplicare per un complesso significa ruotare e dilatare, che il coniugato e l’inverso hanno l’argomento opposto e che l’argomento principale di un prodotto coincide con la somma degli argomenti principali solo a meno di un giro.

Se il prodotto somma gli argomenti, la potenza li moltiplica. La lezione sulla formula di De Moivre lo ha dimostrato per induzione per ogni esponente intero e, confrontando la formula con il binomio di Newton, ha ottenuto le formule degli angoli multipli; con il lemma $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ ha linearizzato le potenze del seno e del coseno, con la somma geometrica di ragione complessa ha sommato seni e coseni, e con la potenza $(1 + i)^n$ , i coefficienti binomiali di indice pari e quelli di indice dispari a segni alterni. Ora, se elevare alla potenza $n$ moltiplica l’angolo per $n$ , estrarre una radice lo divide: la lezione sulle radici $n$ -esime ha dimostrato che ogni complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$ -esime, vertici di un poligono regolare, e che le radici dell’unità sono le potenze di una sola, hanno somma zero, fattorizzano $z^n - 1$ e sono primitive esattamente quando il loro indice è coprimo con $n$ .

La lezione sull’esponenziale complesso ha osservato che tutte queste regole sono le leggi degli esponenti e, con le serie di $e^x$ , del coseno e del seno, che ha ammesso senza dimostrazione perché richiedono il calcolo differenziale, ha mostrato che la somma della serie esponenziale in $i\theta$ è $\cos \theta + i \sin \theta$ . Ha quindi definito $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ e $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , ha dimostrato che l’esponenziale trasforma somme in prodotti ed è periodico di periodo $2\pi i$ , ha espresso il coseno e il seno mediante esponenziali, ha stabilito quali identità trigonometriche si conservano estendendoli ai complessi, vi ha scoperto le funzioni iperboliche e, invertendo l’esponenziale, ha ottenuto un logaritmo con infiniti valori e potenze a esponente complesso. Con questa notazione, la lezione sulla geometria con i numeri complessi ha scritto le rotazioni come $c + e^{i\varphi}(z - c)$ e le simmetrie assiali come $e^{2i\alpha}\conj{z}$ , ha letto l’allineamento e la perpendicolarità in un quoziente, ha definito con il segno della parte immaginaria di quel quoziente l’orientamento di un triangolo e ha dimostrato che non dipende dal vertice da cui si comincia, che le traslazioni e le rotazioni lo conservano e che le simmetrie assiali lo invertono, ha caratterizzato il triangolo equilatero con la radice cubica dell’unità e ha dimostrato il teorema della circonferenza di Apollonio e il teorema di Napoleone.

Infine, la lezione sulle equazioni polinomiali ha riunito tutto sul terreno dove i complessi sono nati. Dal teorema fondamentale dell’algebra, che si ammette senza dimostrazione, ha dedotto che ogni polinomio di grado $n$ è prodotto di $n$ fattori lineari, ha dimostrato le formule di Viète e ha risolto le equazioni binomie, trinomie e reciproche; la formula di Cardano ha richiesto le radici cubiche della lezione sulle radici $n$ -esime, il discriminante ha classificato le radici della cubica reale, il caso irriducibile è stato risolto con la formula dell’angolo triplo, e il metodo di Ferrari ha ricondotto la quartica a una cubica; il teorema di Hölder e quello di Abel-Ruffini, che si ammettono, hanno spiegato perché la deviazione attraverso i complessi è inevitabile nel caso irriducibile e perché non esistono formule simili a partire dal grado cinque. Ne risulta la catena completa: teorema del prodotto, formula di De Moivre, radici $n$ -esime, esponenziale complesso, geometria del piano ed equazioni polinomiali, cosicché ogni anello è, nell’essenziale, una nuova lettura del primo.

Conviene elencare con esattezza ciò che l’unità ammette senza dimostrazione, perché è poco ed è circoscritto. Dalla geometria euclidea, i fatti raccolti nella lezione del corso I sull’equazione della retta, dei quali l’unità ha bisogno solo della nozione di similitudine e del fatto che l’uguaglianza degli angoli comporta la proporzionalità dei lati, nel teorema dei triangoli simili del prodotto. Dal calcolo differenziale, le serie di $e^x$ , del coseno e del seno, che la lezione sull’esponenziale complesso usa per motivare la formula di Eulero e che si dimostrano nel corso di Analisi I. Dall’algebra, tre risultati enunciati nella lezione sulle equazioni polinomiali: il teorema fondamentale dell’algebra, da cui dipende la fattorizzazione completa, e i teoremi di Hölder e di Abel-Ruffini, che non sostengono alcun anello e spiegano solo perché il caso irriducibile richiede la deviazione attraverso i complessi e perché non esistono formule per radicali a partire dal grado cinque. Infine, l’esempio della spirale delle potenze, nella lezione sulla formula di De Moivre, menziona senza usarla la proprietà della spirale logaritmica di tagliare con lo stesso angolo ogni retta passante per l’origine, che si dimostra anch’essa con il calcolo differenziale. Tutto il resto si dimostra nell’unità, nelle due anteriori o nel corso I; nella catena, i fatti euclidei e il teorema fondamentale figurano come sostegni ammessi, e le serie, che non sostengono alcun anello perché l’esponenziale immaginario si adotta come definizione, no.

La figura seguente riunisce i quattro tratti dell’unità in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte: il teorema di uguaglianza in forma polare, che si stabilisce nel primo anello, e i risultati di unità anteriori o del corso I, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AUguaglianza in forma polare. Due complessi $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ e $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , con $r_1$ e $r_2$ positivi, sono uguali se e solo se $r_1 = r_2$ e $\theta_1 - \theta_2$ è un multiplo intero di $2\pi$ . Stabilito in: 1. Uguaglianza in forma polare.
BFormule trigonometriche. L’identità pitagorica, il coseno e il seno di una somma e di una differenza, l’angolo doppio, l’angolo metà e l’angolo triplo, la parità e la periodicità del seno e del coseno, i loro zeri, la caratterizzazione degli angoli coterminali, la monotonia del coseno in $\icc{0}{\pi}$ e il teorema del coseno, dimostrati nelle unità 1 e 2, sulle funzioni trigonometriche e sulla trigonometria analitica. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CGeometria euclidea. Si ammettono, nell’unità del corso I sulla geometria analitica del piano, i fatti della geometria euclidea: Pitagora e il suo inverso, le parallele, il teorema di Talete e la similitudine dei triangoli, la somma degli angoli di un triangolo e il triangolo isoscele. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DPrincipio di induzione. Se una proprietà vale per il primo naturale e passa da ogni naturale al suo successore, vale per tutti; dimostrato nell’unità del corso I sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
EBinomio di Newton e somma geometrica. Per ogni naturale $n$ vale $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ , e se $q \neq 1$ , $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; dimostrati nell’unità del corso I sui numeri naturali, entrambi i calcoli usano solo le proprietà della somma e del prodotto e valgono anche con i numeri complessi. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FDivisione con resto e Bézout. Ogni intero si scrive come $qn + r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ , e se $\operatorname{MCD}(k, n) = 1$ esistono interi $x$ e $y$ tali che $kx + ny = 1$ ; dimostrati nell’unità del corso I sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GEsponenziale reale. L’esponenziale reale è positivo, iniettivo e biiettivo sui reali positivi, soddisfa $e^a e^c = e^{a + c}$ e definisce il coseno e il seno iperbolici; dimostrato nell’unità del corso I sull’esponenziale e il logaritmo. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
HTeorema del fattore e teorema fondamentale. Se $z_0$ è radice del polinomio $P$ , allora $z - z_0$ divide $P$ , il che si è dimostrato nell’unità del corso I sulle funzioni algebriche e vale nei complessi; e ogni polinomio complesso di grado $n \geq 1$ ha qualche radice complessa, il che si ammette senza dimostrazione. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.

Tratto 1 La forma polare e il prodotto
- Scrivere ogni complesso non nullo in forma polare e dimostrare che questa scrittura è unica a meno di giri completi.
- Dimostrare con le formule di addizione e sottrazione che, in un prodotto, i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano.
- Dedurne il coniugato e l’inverso in forma polare, e il comportamento dell’argomento principale di un prodotto.
- Interpretare la moltiplicazione per un complesso come una rotazione composta con una dilatazione.
1. Uguaglianza in forma polare. Un argomento di $z = a + bi \neq 0$ è ogni reale $\theta$ con $a = \abs{z} \cos \theta$ e $b = \abs{z} \sin \theta$ ; il complesso $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , con $r > 0$ , ha modulo $r$ e argomento $\theta$ , e due di queste espressioni sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e i loro argomenti differiscono per un multiplo intero di $2\pi$ .
  Si appoggia su: B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La forma polare dei numeri complessi.
2. Prodotto e quoziente in forma polare. Se $z$ ha modulo $r$ e argomento $\theta$ , e $w$ ha modulo $s$ e argomento $\varphi$ , il prodotto $zw$ ha modulo $rs$ e argomento $\theta + \varphi$ , e il quoziente $\frac{z}{w}$ ha modulo $\frac{r}{s}$ e argomento $\theta - \varphi$ .
  Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La forma polare dei numeri complessi.
3. Coniugato e inverso. Se $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , con $r > 0$ , il coniugato di $z$ ha modulo $r$ e argomento $-\theta$ , e l’inverso $\frac{1}{z}$ ha modulo $\frac{1}{r}$ e argomento $-\theta$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La forma polare dei numeri complessi.
4. Argomento principale di un prodotto. L’argomento principale di $zw$ è $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ , con $k$ uguale a $-1$ , a $0$ o a $1$ , e $k = 0$ esattamente quando quella somma sta in $\ioc{-\pi}{\pi}$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare). Dimostrato in: La forma polare dei numeri complessi.
5. Triangoli simili del prodotto. Se $z \neq 0$ e $w$ non è reale, il triangolo di vertici $0$ , $z$ e $zw$ è simile a quello di vertici $0$ , $1$ e $w$ , con rapporto $\abs{z}$ : moltiplicare per $z$ significa ruotare e dilatare.
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare. Si appoggia su: C (Geometria euclidea), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La forma polare dei numeri complessi.
Tratto 2 Potenze e radici
- Dimostrare per induzione la formula di De Moivre per ogni esponente intero.
- Ricavarne, con il binomio di Newton, le formule degli angoli multipli, linearizzare le potenze del coseno e sommare seni e coseni con una somma geometrica.
- Dimostrare che ogni complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$ -esime, vertici di un poligono regolare.
- Studiare le radici dell’unità: le loro potenze, la loro somma, la fattorizzazione di $z^n - 1$ e le radici primitive.
1. Formula di De Moivre. Per ogni reale $\theta$ e ogni intero $n$ vale $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ; quindi, se $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , la potenza $z^n$ ha modulo $r^n$ e argomento $n\theta$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 3. Coniugato e inverso. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), D (Principio di induzione), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La formula di De Moivre e le potenze dei complessi.
2. Angoli multipli. Il coseno di $n\theta$ è la somma a segni alterni dei termini $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ di indice $k$ pari, e il seno di $n\theta$ , quella dei termini di indice dispari.
  Usa: 6. Formula di De Moivre. Si appoggia su: E (Binomio di Newton e somma geometrica). Dimostrato in: La formula di De Moivre e le potenze dei complessi.
3. Linearizzazione. Se $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , valgono $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ e $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ; ne seguono, per esempio, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ e $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  Usa: 6. Formula di De Moivre. Si appoggia su: E (Binomio di Newton e somma geometrica), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La formula di De Moivre e le potenze dei complessi.
4. Somme di seni e coseni. Se $\theta$ non è un multiplo intero di $2\pi$ , la somma dei complessi $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ , per $k$ da $0$ a $n - 1$ , è il reale $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ per il complesso di modulo $1$ e argomento $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ , il che dà le somme dei coseni e dei seni.
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 6. Formula di De Moivre. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), E (Binomio di Newton e somma geometrica), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: La formula di De Moivre e le potenze dei complessi.
5. Radici ennesime. Se $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , l’equazione $z^n = w$ ha esattamente $n$ soluzioni, di modulo $\sqrt[n]{R}$ e argomenti $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ con $0 \leq k \leq n - 1$ , che per $n \geq 3$ sono i vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza di raggio $\sqrt[n]{R}$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 6. Formula di De Moivre. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), F (Divisione con resto e Bézout), B (Formule trigonometriche), D (Principio di induzione). Dimostrato in: Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
6. Radici dell’unità come potenze. Le radici $n$ -esime dell’unità sono le potenze $\omega_k = \omega^k$ di $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ; si moltiplicano sommando gli indici modulo $n$ , l’inversa di ciascuna è la sua coniugata, e moltiplicare per una di esse le permuta.
  Usa: 3. Coniugato e inverso, 6. Formula di De Moivre, 10. Radici ennesime. Si appoggia su: F (Divisione con resto e Bézout). Dimostrato in: Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
7. Somma delle potenze delle radici. Se $n \geq 2$ , la somma delle potenze $m$ -esime delle $n$ radici $n$ -esime dell’unità vale $n$ se $n$ divide $m$ , e $0$ altrimenti; in particolare, le radici hanno somma zero.
  Usa: 11. Radici dell’unità come potenze. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), E (Binomio di Newton e somma geometrica). Dimostrato in: Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
8. Fattorizzazione di z alla n meno 1. Per ogni naturale $n$ , il polinomio $z^n - 1$ è il prodotto degli $n$ fattori $z - \omega_k$ , con $0 \leq k \leq n - 1$ .
  Usa: 10. Radici ennesime. Si appoggia su: H (Teorema del fattore e teorema fondamentale). Dimostrato in: Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
9. Radici primitive. La radice $\omega_k$ , con $1 \leq k \leq n$ , è primitiva, cioè le sue potenze danno tutte le radici $n$ -esime dell’unità, se e solo se $\operatorname{MCD}(k, n) = 1$ .
  Usa: 11. Radici dell’unità come potenze, 12. Somma delle potenze delle radici. Si appoggia su: F (Divisione con resto e Bézout). Dimostrato in: Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
10. Fattorizzazione reale di x alla n meno 1. Ogni coppia di radici coniugate non reali $\omega_k$ e $\omega_{n - k}$ dà il fattore irriducibile $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ , cosicché $x^n - 1$ è il prodotto di $x - 1$ , di $x + 1$ se $n$ è pari, e di quei fattori quadratici.
  Usa: 3. Coniugato e inverso, 11. Radici dell’unità come potenze, 13. Fattorizzazione di z alla n meno 1. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
Tratto 3 L’esponenziale complesso e la geometria
- Definire $e^{i\theta}$ con la formula di Eulero e $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , e riconoscere nelle regole già viste le leggi degli esponenti.
- Dimostrare che l’esponenziale trasforma somme in prodotti ed è periodico di periodo $2\pi i$ .
- Esprimere il coseno e il seno mediante esponenziali, collegarli alle funzioni iperboliche e ottenere i logaritmi di un complesso.
- Scrivere le rotazioni e le simmetrie assiali del piano con i complessi, leggere l’allineamento e la perpendicolarità in un quoziente, definire l’orientamento di un triangolo e dimostrarne l’invarianza, e caratterizzare il triangolo equilatero.
1. Esponenziale immaginario. Il complesso $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ ha modulo $1$ , e valgono $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ e $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ , che è il suo coniugato; inoltre, $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ se e solo se $\alpha - \beta$ è multiplo intero di $2\pi$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 3. Coniugato e inverso, 6. Formula di De Moivre. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: L’esponenziale complesso e la formula di Eulero.
2. Esponenziale di una somma. Se $z = a + bi$ e $e^z = e^a e^{ib}$ , il modulo di $e^z$ è $e^a$ , $b$ è uno dei suoi argomenti e $e^z$ non è mai nullo; e per tutti i complessi $z$ e $w$ vale $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 16. Esponenziale immaginario. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), G (Esponenziale reale). Dimostrato in: L’esponenziale complesso e la formula di Eulero.
3. Periodicità dell’esponenziale. Vale $e^z = 1$ se e solo se $z = 2k\pi i$ per qualche intero $k$ ; quindi, $e^z = e^w$ se e solo se $z - w$ è un multiplo intero di $2\pi i$ .
  Usa: 17. Esponenziale di una somma. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), G (Esponenziale reale). Dimostrato in: L’esponenziale complesso e la formula di Eulero.
4. Formule di Eulero. Valgono $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ e $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; con esse si definiscono il coseno e il seno di un complesso, che conservano le formule di addizione, dell’angolo doppio e di riduzione delle potenze, ma non quelle dell’angolo metà con doppio segno, e si ottengono $\cos(ix) = \cosh x$ e $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  Usa: 16. Esponenziale immaginario, 17. Esponenziale di una somma. Si appoggia su: B (Formule trigonometriche), G (Esponenziale reale). Dimostrato in: L’esponenziale complesso e la formula di Eulero.
5. Logaritmi di un complesso. Se $z \neq 0$ , le soluzioni di $e^w = z$ sono $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ , con $k$ intero; e i valori di $z^{\frac{1}{n}}$ definiti con essi sono esattamente le $n$ radici $n$ -esime di $z$ .
  Usa: 10. Radici ennesime, 11. Radici dell’unità come potenze, 17. Esponenziale di una somma, 18. Periodicità dell’esponenziale. Si appoggia su: A (Uguaglianza in forma polare), G (Esponenziale reale). Dimostrato in: L’esponenziale complesso e la formula di Eulero.
6. Rotazione attorno a un punto. La trasformazione $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ lascia fisso $c$ , conserva le distanze e ruota di un angolo $\varphi$ il segmento che unisce ogni punto con $c$ : è la rotazione di centro $c$ e angolo $\varphi$ .
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 16. Esponenziale immaginario. Dimostrato in: Geometria con i numeri complessi.
7. Simmetrie assiali e loro composizione. La simmetria assiale rispetto alla retta passante per l’origine con angolo $\alpha$ è l’isometria $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ , e la composizione delle simmetrie di angoli $\alpha$ e $\beta$ è la rotazione di centro l’origine e angolo $2(\beta - \alpha)$ .
  Usa: 3. Coniugato e inverso, 16. Esponenziale immaginario, 21. Rotazione attorno a un punto. Dimostrato in: Geometria con i numeri complessi.
8. Allineamento e orientamento. Se $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , l’angolo orientato dal segmento da $z_1$ a $z_2$ a quello da $z_1$ a $z_3$ è un argomento di $q$ ; i punti sono allineati se e solo se $q$ è reale, e i segmenti sono perpendicolari se e solo se $q$ è immaginario puro. Se non sono allineati, il triangolo $z_1 z_2 z_3$ è orientato positivamente quando $\operatorname{Im} q > 0$ ; l’orientamento non dipende dal vertice iniziale, si inverte scambiando due vertici e applicando una simmetria assiale, e si conserva con le rotazioni.
  Usa: 2. Prodotto e quoziente in forma polare, 16. Esponenziale immaginario, 21. Rotazione attorno a un punto, 22. Simmetrie assiali e loro composizione. Dimostrato in: Geometria con i numeri complessi.
9. Triangolo equilatero. Se $z_1 \neq z_2$ , i punti $z_1$ , $z_2$ e $z_3$ sono, in quest’ordine, i vertici di un triangolo equilatero orientato positivamente se e solo se $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , con $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; la dimostrazione riconduce la condizione a $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ con $\operatorname{Im} q > 0$ , cioè a $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  Usa: 16. Esponenziale immaginario, 12. Somma delle potenze delle radici, 23. Allineamento e orientamento. Dimostrato in: Geometria con i numeri complessi.
Tratto 4 Le equazioni polinomiali
- Dedurre dal teorema fondamentale dell’algebra che ogni polinomio complesso di grado $n$ è prodotto di $n$ fattori lineari.
- Dimostrare le formule di Viète tra le radici e i coefficienti.
- Risolvere la cubica con la formula di Cardano, classificarne le radici reali con il discriminante e risolvere il caso irriducibile con l’angolo triplo.
- Ricondurre la quartica a una cubica con il metodo di Ferrari.
1. Fattorizzazione nei complessi. Ogni polinomio complesso di grado $n \geq 1$ e coefficiente direttivo $a_n$ è $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ , e ha esattamente $n$ radici contate con la loro molteplicità.
  Si appoggia su: D (Principio di induzione), H (Teorema del fattore e teorema fondamentale). Dimostrato in: Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.
2. Formule di Viète. Le funzioni simmetriche elementari delle radici soddisfano $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ; in particolare, la somma delle radici è $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ e il loro prodotto è $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  Usa: 25. Fattorizzazione nei complessi. Si appoggia su: D (Principio di induzione). Dimostrato in: Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.
3. Formula di Cardano. Il cambio di variabile $x = t - \frac{b}{3a}$ riconduce la cubica a $t^3 + pt + q = 0$ ; se $u$ è una radice cubica di una radice $U$ della risolvente $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ e $v = -\frac{p}{3u}$ , le sue radici sono $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ e $\omega^2 u + \omega v$ .
  Usa: 10. Radici ennesime, 11. Radici dell’unità come potenze, 12. Somma delle potenze delle radici, 26. Formule di Viète. Si appoggia su: E (Binomio di Newton e somma geometrica). Dimostrato in: Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.
4. Discriminante della cubica. Se $p$ e $q$ sono reali e $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , la cubica $t^3 + pt + q = 0$ ha una radice reale e due coniugate non reali se $\Delta < 0$ , radici reali di cui almeno una multipla se $\Delta = 0$ , e tre radici reali distinte se $\Delta > 0$ .
  Usa: 3. Coniugato e inverso, 11. Radici dell’unità come potenze, 27. Formula di Cardano. Dimostrato in: Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.
5. Soluzione trigonometrica. Se $\Delta > 0$ , con $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ e $c = \frac{3q}{pm}$ in $\ioo{-1}{1}$ , le tre radici reali sono $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ , per $k = 0, 1, 2$ .
  Usa: 25. Fattorizzazione nei complessi, 28. Discriminante della cubica. Si appoggia su: B (Formule trigonometriche). Dimostrato in: Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.
6. Metodo di Ferrari. Il cambio di variabile $x = y - \frac{b}{4a}$ riconduce la quartica a $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ; se $q \neq 0$ e $m$ è radice della sua risolvente cubica, con $s^2 = 2m$ , la quartica è il prodotto di due fattori di secondo grado le cui radici sono le sue.
  Usa: 10. Radici ennesime, 25. Fattorizzazione nei complessi, 27. Formula di Cardano. Si appoggia su: E (Binomio di Newton e somma geometrica). Dimostrato in: Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.

Verso le matrici e le strutture algebriche. La catena termina dove i complessi diventano struttura: il prodotto per $e^{i\varphi}$ sarà una matrice di rotazione, il modulo al quadrato un determinante, e le radici dell’unità, che si moltiplicano come si sommano i resti della divisione per $n$ , il primo esempio di gruppo ciclico.