Números complejos en forma polar: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad dedicada a los números complejos en forma polar. Reúne sus definiciones y teoremas en una sola cadena deductiva, que parte del teorema del producto en forma polar y llega, a través de la fórmula de De Moivre, de las raíces $n$ -ésimas, de la exponencial compleja y de la geometría del plano, a la factorización de los polinomios y a las fórmulas de Cardano y de Ferrari. Señala qué debe cada eslabón al curso Álgebra y Geometría I y a las dos unidades anteriores de este, y cómo la unidad siguiente, sobre las matrices y las estructuras algebraicas, reinterpreta los mismos hechos. Termina con diez desafíos, de dificultad superior a la de los problemas propuestos de la unidad, que combinan varias de sus clases.

Objetivos de aprendizaje

Reconstruir la cadena deductiva de la unidad, desde el teorema del producto en forma polar hasta las fórmulas de Cardano y de Ferrari, indicando de qué resultado depende cada teorema.
Relacionar los resultados de la unidad con los del curso I (inducción, binomio de Newton, máximo común divisor, polinomios) y con los de las unidades anteriores (coordenadas polares y fórmulas trigonométricas) y anticipar su lectura matricial y estructural en la unidad siguiente.
Resolver problemas que exigen combinar la forma polar, las raíces de la unidad, la exponencial compleja, la geometría con complejos y las relaciones de Vieta.

Lo logrado en la unidad

La unidad partió de una carencia: en la clase del curso I sobre los números complejos, el producto de dos complejos se calculaba, pero no se entendía. La clase sobre la forma polar escribió cada complejo no nulo como $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , demostró que esa escritura es única salvo vueltas completas y, con las fórmulas de suma y diferencia, probó el teorema que sostiene todo lo demás: en un producto, los módulos se multiplican y los argumentos se suman. De él se siguió que multiplicar por un complejo es girar y dilatar, que el conjugado y el inverso tienen el argumento opuesto y que el argumento principal de un producto solo coincide con la suma de los principales salvo una vuelta.

Si el producto suma argumentos, la potencia los multiplica. La clase sobre la fórmula de De Moivre lo demostró por inducción para todo exponente entero y, comparando la fórmula con el binomio de Newton, obtuvo las fórmulas de los ángulos múltiples; con el lema $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ linealizó las potencias del seno y del coseno, y con la suma geométrica de razón compleja sumó senos, cosenos y coeficientes binomiales. Ahora bien, si elevar a la potencia $n$ multiplica el ángulo por $n$ , extraer una raíz lo divide: la clase sobre las raíces $n$ -ésimas demostró que todo complejo no nulo tiene exactamente $n$ raíces $n$ -ésimas, vértices de un polígono regular, que las raíces de la unidad son las potencias de una sola, suman cero, factorizan $z^n - 1$ y son primitivas exactamente cuando su índice es coprimo con $n$ .

La clase sobre la exponencial compleja observó que todas estas reglas son las leyes de los exponentes. Definió $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ y $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , demostró que la exponencial transforma sumas en productos y es periódica de período $2\pi i$ , expresó el coseno y el seno mediante exponenciales, decidió qué identidades trigonométricas se conservan al extenderlos a los complejos, descubrió en ellos las funciones hiperbólicas y, al invertir la exponencial, obtuvo un logaritmo con infinitos valores y potencias de exponente complejo. Con esta notación, la clase sobre la geometría con números complejos escribió los giros como $c + e^{i\varphi}(z - c)$ y las reflexiones como $e^{2i\alpha}\conj{z}$ , leyó la alineación y la perpendicularidad en un cociente, definió por el signo de su parte imaginaria la orientación de un triángulo, caracterizó el triángulo equilátero con la raíz cúbica de la unidad y demostró los teoremas de Apolonio y de Napoleón.

Por último, la clase sobre las ecuaciones polinómicas reunió todo en el terreno donde los complejos nacieron. Del teorema fundamental del álgebra, que se admite sin demostración, dedujo que todo polinomio de grado $n$ es producto de $n$ factores lineales, demostró las relaciones de Vieta y resolvió las ecuaciones binómicas, trinómicas y recíprocas; la fórmula de Cardano exigió las raíces cúbicas de la clase sobre las raíces $n$ -ésimas, el discriminante clasificó las raíces de la cúbica real, el caso irreducible se resolvió con la fórmula del ángulo triple, y el método de Ferrari redujo la cuártica a una cúbica; los teoremas de Hölder y de Abel y Ruffini, que se admiten, explicaron por qué el rodeo por los complejos es inevitable en el caso irreducible y por qué no hay fórmulas semejantes a partir del grado cinco. De donde la cadena completa es la siguiente: teorema del producto, fórmula de De Moivre, raíces $n$ -ésimas, exponencial compleja, geometría del plano y ecuaciones polinómicas, de modo que cada eslabón es, en lo esencial, una lectura nueva del primero.

La figura siguiente reúne los cuatro tramos de la unidad en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez: el teorema de igualdad en forma polar, que se establece en el primer eslabón, y los resultados de unidades anteriores o del curso I, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AIgualdad en forma polar. Dos complejos $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ y $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , con $r_1$ y $r_2$ positivos, son iguales si y solo si $r_1 = r_2$ y $\theta_1 - \theta_2$ es un múltiplo entero de $2\pi$ . Se establece en: 1. Igualdad en forma polar.
BFórmulas trigonométricas. El coseno y el seno de una suma y de una diferencia, el ángulo doble, el ángulo mitad y el ángulo triple, la paridad y la periodicidad del seno y del coseno, la monotonía del coseno en $\icc{0}{\pi}$ y el teorema del coseno, demostrados en las unidades 1 y 2, sobre las funciones trigonométricas y sobre la trigonometría analítica. Se admite sin demostración en esta unidad.
CGeometría euclídea. Se admiten, en la unidad del curso I sobre la geometría analítica del plano, los hechos de la geometría euclídea: Pitágoras y su recíproco, las paralelas, el teorema de Tales y la semejanza de triángulos, la suma de los ángulos de un triángulo y el triángulo isósceles. Se admite sin demostración en esta unidad.
DPrincipio de inducción. Si una propiedad se verifica para el primer natural y pasa de cada natural al siguiente, se verifica para todos; demostrado en la unidad del curso I sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
EBinomio de Newton y suma geométrica. Para todo natural $n$ se cumple $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ , y si $q \neq 1$ , $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; demostrados en la unidad del curso I sobre los números naturales, ambos cálculos solo usan las propiedades de la suma y del producto y valen también con números complejos. Se admite sin demostración en esta unidad.
FDivisión con resto y Bézout. Todo entero se escribe como $qn + r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ , y si $\operatorname{mcd}(k, n) = 1$ existen enteros $x$ e $y$ tales que $kx + ny = 1$ ; demostrados en la unidad del curso I sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
GExponencial real. La exponencial real es positiva, inyectiva y biyectiva sobre los reales positivos, cumple $e^a e^c = e^{a + c}$ y define el coseno y el seno hiperbólicos; demostrado en la unidad del curso I sobre la exponencial y el logaritmo. Se admite sin demostración en esta unidad.
HTeorema del factor y teorema fundamental. Si $z_0$ es raíz del polinomio $P$ , entonces $z - z_0$ divide a $P$ , lo que se demostró en la unidad del curso I sobre las funciones algebraicas y vale en los complejos; y todo polinomio complejo de grado $n \geq 1$ tiene alguna raíz compleja, lo que se admite sin demostración. Se admite sin demostración en esta unidad.

Tramo 1 La forma polar y el producto
- Escribir todo complejo no nulo en forma polar y demostrar que esa escritura es única salvo vueltas completas.
- Demostrar con las fórmulas de suma y diferencia que, en un producto, los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
- Deducir de ello el conjugado y el inverso en forma polar, y el comportamiento del argumento principal de un producto.
- Interpretar la multiplicación por un complejo como un giro compuesto con una dilatación.
1. Igualdad en forma polar. Un argumento de $z = a + bi \neq 0$ es todo real $\theta$ con $a = \abs{z} \cos \theta$ y $b = \abs{z} \sin \theta$ ; el complejo $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , con $r > 0$ , tiene módulo $r$ y argumento $\theta$ , y dos de estas expresiones son iguales si y solo si tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de $2\pi$ .
  Se apoya en: B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La forma polar de los números complejos.
2. Producto y cociente en forma polar. Si $z$ tiene módulo $r$ y argumento $\theta$ , y $w$ tiene módulo $s$ y argumento $\varphi$ , el producto $zw$ tiene módulo $rs$ y argumento $\theta + \varphi$ , y el cociente $\frac{z}{w}$ tiene módulo $\frac{r}{s}$ y argumento $\theta - \varphi$ .
  Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La forma polar de los números complejos.
3. Conjugado e inverso. Si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , con $r > 0$ , el conjugado de $z$ tiene módulo $r$ y argumento $-\theta$ , y el inverso $\frac{1}{z}$ tiene módulo $\frac{1}{r}$ y argumento $-\theta$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La forma polar de los números complejos.
4. Argumento principal de un producto. El argumento principal de $zw$ es $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ , con $k$ igual a $-1$ , a $0$ o a $1$ , y $k = 0$ exactamente cuando esa suma está en $\ioc{-\pi}{\pi}$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar. Se demuestra en: La forma polar de los números complejos.
5. Triángulos semejantes del producto. Si $z \neq 0$ y $w$ no es real, el triángulo de vértices $0$ , $z$ y $zw$ es semejante al de vértices $0$ , $1$ y $w$ , con razón $\abs{z}$ : multiplicar por $z$ es girar y dilatar.
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar. Se apoya en: C (Geometría euclídea), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La forma polar de los números complejos.
Tramo 2 Potencias y raíces
- Demostrar por inducción la fórmula de De Moivre para todo exponente entero.
- Obtener de ella y del binomio de Newton las fórmulas de los ángulos múltiples, linealizar las potencias del coseno y sumar senos y cosenos con una suma geométrica.
- Demostrar que todo complejo no nulo tiene exactamente $n$ raíces $n$ -ésimas, vértices de un polígono regular.
- Estudiar las raíces de la unidad: sus potencias, su suma, la factorización de $z^n - 1$ y las raíces primitivas.
1. Fórmula de De Moivre. Para todo real $\theta$ y todo entero $n$ se cumple $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ; por tanto, si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , la potencia $z^n$ tiene módulo $r^n$ y argumento $n\theta$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar, 3. Conjugado e inverso. Se apoya en: D (Principio de inducción), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La fórmula de De Moivre y las potencias de complejos.
2. Ángulos múltiples. El coseno de $n\theta$ es la suma alternada de los términos $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ de índice $k$ par, y el seno de $n\theta$ , la de los de índice impar.
  Usa: 6. Fórmula de De Moivre. Se apoya en: E (Binomio de Newton y suma geométrica). Se demuestra en: La fórmula de De Moivre y las potencias de complejos.
3. Linealización. Si $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , se cumplen $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ y $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ; de ello se siguen, por ejemplo, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ y $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  Usa: 6. Fórmula de De Moivre. Se apoya en: E (Binomio de Newton y suma geométrica), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La fórmula de De Moivre y las potencias de complejos.
4. Sumas de senos y cosenos. Si $\theta$ no es múltiplo entero de $2\pi$ , la suma de los complejos $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ , para $k$ desde $0$ hasta $n - 1$ , es el real $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ por el complejo de módulo $1$ y argumento $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ , lo que da las sumas de los cosenos y de los senos.
  Usa: 6. Fórmula de De Moivre. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), E (Binomio de Newton y suma geométrica), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La fórmula de De Moivre y las potencias de complejos.
5. Raíces enésimas. Si $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , la ecuación $z^n = w$ tiene exactamente $n$ soluciones, de módulo $\sqrt[n]{R}$ y argumentos $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ con $0 \leq k \leq n - 1$ , que para $n \geq 3$ son los vértices de un polígono regular inscrito en la circunferencia de radio $\sqrt[n]{R}$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar, 6. Fórmula de De Moivre. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), F (División con resto y Bézout), B (Fórmulas trigonométricas), C (Geometría euclídea). Se demuestra en: Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
6. Raíces de la unidad como potencias. Las raíces $n$ -ésimas de la unidad son las potencias $\omega_k = \omega^k$ de $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ; se multiplican sumando los índices módulo $n$ , el inverso de cada una es su conjugado, y multiplicar por una de ellas las permuta.
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 6. Fórmula de De Moivre, 10. Raíces enésimas. Se apoya en: F (División con resto y Bézout). Se demuestra en: Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
7. Suma de las potencias de las raíces. Si $n \geq 2$ , la suma de las potencias $m$ -ésimas de las $n$ raíces $n$ -ésimas de la unidad vale $n$ si $n$ divide a $m$ , y $0$ en caso contrario; en particular, las raíces suman cero.
  Usa: 11. Raíces de la unidad como potencias. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), E (Binomio de Newton y suma geométrica). Se demuestra en: Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
8. Factorización de z a la n menos 1. Para todo natural $n$ , el polinomio $z^n - 1$ es el producto de los $n$ factores $z - \omega_k$ , con $0 \leq k \leq n - 1$ .
  Usa: 10. Raíces enésimas. Se apoya en: H (Teorema del factor y teorema fundamental). Se demuestra en: Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
9. Raíces primitivas. La raíz $\omega_k$ , con $1 \leq k \leq n$ , es primitiva, es decir, sus potencias dan todas las raíces $n$ -ésimas de la unidad, si y solo si $\operatorname{mcd}(k, n) = 1$ .
  Usa: 11. Raíces de la unidad como potencias, 12. Suma de las potencias de las raíces. Se apoya en: F (División con resto y Bézout). Se demuestra en: Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
10. Factorización real de x a la n menos 1. Cada par de raíces conjugadas no reales $\omega_k$ y $\omega_{n - k}$ da el factor irreducible $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ , de modo que $x^n - 1$ es el producto de $x - 1$ , de $x + 1$ si $n$ es par, y de esos factores cuadráticos.
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 11. Raíces de la unidad como potencias, 13. Factorización de z a la n menos 1. Se demuestra en: Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
Tramo 3 La exponencial compleja y la geometría
- Definir $e^{i\theta}$ con la fórmula de Euler y $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , y reconocer en las reglas anteriores las leyes de los exponentes.
- Demostrar que la exponencial transforma sumas en productos y es periódica de período $2\pi i$ .
- Expresar el coseno y el seno mediante exponenciales, enlazarlos con las funciones hiperbólicas y obtener los logaritmos de un complejo.
- Escribir los giros y las reflexiones del plano con complejos, leer la alineación y la perpendicularidad en un cociente, definir la orientación de un triángulo y caracterizar el triángulo equilátero.
1. Exponencial imaginaria. El complejo $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ tiene módulo $1$ , y se cumplen $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ y $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ , que es su conjugado; además, $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ si y solo si $\alpha - \beta$ es múltiplo entero de $2\pi$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar, 3. Conjugado e inverso, 6. Fórmula de De Moivre. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: La exponencial compleja y la fórmula de Euler.
2. Exponencial de una suma. Si $z = a + bi$ y $e^z = e^a e^{ib}$ , el módulo de $e^z$ es $e^a$ , $b$ es uno de sus argumentos y $e^z$ nunca es nulo; y para todos los complejos $z$ y $w$ se cumple $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar, 16. Exponencial imaginaria. Se apoya en: G (Exponencial real). Se demuestra en: La exponencial compleja y la fórmula de Euler.
3. Periodicidad de la exponencial. Se cumple $e^z = 1$ si y solo si $z = 2k\pi i$ para algún entero $k$ ; por tanto, $e^z = e^w$ si y solo si $z - w$ es un múltiplo entero de $2\pi i$ .
  Usa: 17. Exponencial de una suma. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), G (Exponencial real). Se demuestra en: La exponencial compleja y la fórmula de Euler.
4. Fórmulas de Euler. Se cumplen $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ y $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; con ellas se definen el coseno y el seno de un complejo, que conservan las fórmulas de adición, del ángulo doble y de reducción de potencias, pero no las del ángulo mitad con doble signo, y se obtienen $\cos(ix) = \cosh x$ y $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  Usa: 16. Exponencial imaginaria, 17. Exponencial de una suma. Se apoya en: G (Exponencial real). Se demuestra en: La exponencial compleja y la fórmula de Euler.
5. Logaritmos de un complejo. Si $z \neq 0$ , las soluciones de $e^w = z$ son $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ , con $k$ entero; y los valores de $z^{\frac{1}{n}}$ definidos con ellos son exactamente las $n$ raíces $n$ -ésimas de $z$ .
  Usa: 10. Raíces enésimas, 17. Exponencial de una suma, 18. Periodicidad de la exponencial. Se apoya en: A (Igualdad en forma polar), G (Exponencial real). Se demuestra en: La exponencial compleja y la fórmula de Euler.
6. Giro alrededor de un punto. La transformación $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ deja fijo $c$ , conserva las distancias y gira un ángulo $\varphi$ el segmento que une cada punto con $c$ : es el giro de centro $c$ y ángulo $\varphi$ .
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar, 16. Exponencial imaginaria. Se demuestra en: Geometría con números complejos.
7. Reflexiones y su composición. La reflexión en la recta que pasa por el origen con ángulo $\alpha$ es la isometría $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ , y la composición de las reflexiones de ángulos $\alpha$ y $\beta$ es el giro de centro en el origen y ángulo $2(\beta - \alpha)$ .
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 16. Exponencial imaginaria, 21. Giro alrededor de un punto. Se demuestra en: Geometría con números complejos.
8. Alineación y orientación. Si $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , el ángulo orientado del segmento de $z_1$ a $z_2$ al de $z_1$ a $z_3$ es un argumento de $q$ ; los puntos están alineados si y solo si $q$ es real, y los segmentos son perpendiculares si y solo si $q$ es imaginario puro. Si no están alineados, el triángulo $z_1 z_2 z_3$ está orientado positivamente cuando $\operatorname{Im} q > 0$ ; la orientación no depende del vértice inicial, se invierte al intercambiar dos vértices y al aplicar una reflexión, y se conserva por los giros.
  Usa: 2. Producto y cociente en forma polar, 16. Exponencial imaginaria, 21. Giro alrededor de un punto, 22. Reflexiones y su composición. Se demuestra en: Geometría con números complejos.
9. Triángulo equilátero. Si $z_1 \neq z_2$ , los puntos $z_1$ , $z_2$ y $z_3$ son, en ese orden, los vértices de un triángulo equilátero orientado positivamente si y solo si $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , con $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; la demostración reduce la condición a $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ con $\operatorname{Im} q > 0$ , es decir, a $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  Usa: 16. Exponencial imaginaria, 12. Suma de las potencias de las raíces, 23. Alineación y orientación. Se demuestra en: Geometría con números complejos.
Tramo 4 Las ecuaciones polinómicas
- Deducir del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio complejo de grado $n$ es producto de $n$ factores lineales.
- Demostrar las relaciones de Vieta entre las raíces y los coeficientes.
- Resolver la cúbica con la fórmula de Cardano, clasificar sus raíces reales con el discriminante y resolver el caso irreducible con el ángulo triple.
- Reducir la cuártica a una cúbica con el método de Ferrari.
1. Factorización en los complejos. Todo polinomio complejo de grado $n \geq 1$ y coeficiente principal $a_n$ es $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ , y tiene exactamente $n$ raíces contadas con su multiplicidad.
  Se apoya en: D (Principio de inducción), H (Teorema del factor y teorema fundamental). Se demuestra en: Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
2. Relaciones de Vieta. Las funciones simétricas elementales de las raíces cumplen $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ; en particular, la suma de las raíces es $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ y su producto es $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  Usa: 25. Factorización en los complejos. Se apoya en: D (Principio de inducción). Se demuestra en: Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
3. Fórmula de Cardano. El cambio $x = t - \frac{b}{3a}$ reduce la cúbica a $t^3 + pt + q = 0$ ; si $u$ es una raíz cúbica de una raíz $U$ de la resolvente $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ y $v = -\frac{p}{3u}$ , sus raíces son $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ y $\omega^2 u + \omega v$ .
  Usa: 10. Raíces enésimas, 11. Raíces de la unidad como potencias, 12. Suma de las potencias de las raíces, 26. Relaciones de Vieta. Se apoya en: E (Binomio de Newton y suma geométrica). Se demuestra en: Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
4. Discriminante de la cúbica. Si $p$ y $q$ son reales y $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , la cúbica $t^3 + pt + q = 0$ tiene una raíz real y dos conjugadas no reales si $\Delta < 0$ , raíces reales con alguna múltiple si $\Delta = 0$ , y tres raíces reales distintas si $\Delta > 0$ .
  Usa: 3. Conjugado e inverso, 11. Raíces de la unidad como potencias, 27. Fórmula de Cardano. Se demuestra en: Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
5. Solución trigonométrica. Si $\Delta > 0$ , con $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ y $c = \frac{3q}{pm}$ en $\ioo{-1}{1}$ , las tres raíces reales son $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ , para $k = 0, 1, 2$ .
  Usa: 28. Discriminante de la cúbica. Se apoya en: B (Fórmulas trigonométricas). Se demuestra en: Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
6. Método de Ferrari. El cambio $x = y - \frac{b}{4a}$ reduce la cuártica a $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ; si $q \neq 0$ y $m$ es raíz de su resolvente cúbica, con $s^2 = 2m$ , la cuártica es el producto de dos factores de segundo grado cuyas raíces son las suyas.
  Usa: 10. Raíces enésimas, 25. Factorización en los complejos. Se apoya en: E (Binomio de Newton y suma geométrica). Se demuestra en: Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.

Hacia las matrices y las estructuras algebraicas. La cadena termina donde los complejos se vuelven estructura: el producto por $e^{i\varphi}$ será una matriz de giro, el módulo al cuadrado un determinante, y las raíces de la unidad, que se multiplican como se suman los restos de la división entre $n$ , el primer ejemplo de grupo cíclico.

En el resto de esta clase

La unidad dentro del curso
Evaluación de salida
Desafíos
Una suma de senos del heptágono
La suma de los cuadrados de las cotangentes
Las cuartas potencias de las distancias a los vértices
Los valores de las potencias de uno
Potencias y transformaciones de las raíces de una cúbica
Tres giros de un tercio de vuelta
Una suma de inversos sobre las raíces de la unidad
La cúbica del heptágono
Una suma binomial con potencias de menos tres
Un producto sobre las raíces de la unidad