Nombres complexes sous forme polaire : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité consacrée aux nombres complexes sous forme polaire. Elle réunit ses définitions et ses théorèmes en une seule chaîne déductive, qui part du théorème du produit sous forme polaire et arrive, à travers la formule de Moivre, les racines $n$ -ièmes, l’exponentielle complexe et la géométrie du plan, à la factorisation des polynômes et aux formules de Cardano et de Ferrari. Elle indique ce que chaque maillon doit au cours Algèbre et géométrie I et aux deux unités antérieures de celui-ci, et comment l’unité qui suit, sur les matrices et les structures algébriques, réinterprète les mêmes faits. Elle se termine par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes proposés de l’unité, qui combinent plusieurs de ses leçons.

Objectifs d’apprentissage

Reconstruire la chaîne déductive de l’unité, depuis le théorème du produit sous forme polaire jusqu’aux formules de Cardano et de Ferrari, en indiquant de quel résultat dépend chaque théorème.
Relier les résultats de l’unité à ceux du cours I (récurrence, formule du binôme de Newton, plus grand commun diviseur, polynômes) et à ceux des unités antérieures (coordonnées polaires et formules trigonométriques), et anticiper leur lecture matricielle et structurelle dans l’unité qui suit.
Résoudre des problèmes qui exigent de combiner la forme polaire, les racines de l’unité, l’exponentielle complexe, la géométrie avec les nombres complexes et les relations de Viète.

L’acquis de l’unité

L’unité est partie d’un manque : dans la leçon du cours I sur les nombres complexes, le produit de deux complexes se calculait, mais ne se comprenait pas. La leçon sur la forme polaire a écrit chaque complexe non nul sous la forme $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , a démontré que cette écriture est unique à des tours complets près et, avec les formules d’addition, a démontré le théorème qui soutient tout le reste : dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent. Il en a découlé que multiplier par un complexe revient à tourner et à dilater, que le conjugué et l’inverse ont l’argument opposé et que l’argument principal d’un produit ne coïncide avec la somme des arguments principaux qu’à un tour près.

Si le produit additionne les arguments, la puissance les multiplie. La leçon sur la formule de Moivre l’a démontré par récurrence pour tout exposant entier et, en comparant la formule avec la formule du binôme de Newton, a obtenu les formules des angles multiples ; avec le lemme $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ elle a linéarisé les puissances du sinus et du cosinus, avec la somme géométrique de raison complexe elle a sommé des sinus et des cosinus, et avec la puissance $(1 + i)^n$ , les coefficients binomiaux de rang pair et ceux de rang impair avec des signes alternés. Or, si élever à la puissance $n$ multiplie l’angle par $n$ , extraire une racine le divise : la leçon sur les racines $n$ -ièmes a démontré que tout complexe non nul a exactement $n$ racines $n$ -ièmes, sommets d’un polygone régulier, et que les racines de l’unité sont les puissances d’une seule d’entre elles, ont une somme nulle, factorisent $z^n - 1$ et sont primitives exactement quand leur exposant est premier avec $n$ .

La leçon sur l’exponentielle complexe a observé que toutes ces règles sont les lois des exposants et, avec les séries de $e^x$ , du cosinus et du sinus, qu’elle a admises sans démonstration parce qu’elles exigent le calcul différentiel, a montré que la somme de la série exponentielle en $i\theta$ est $\cos \theta + i \sin \theta$ . Elle a donc défini $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ et $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , a démontré que l’exponentielle transforme les sommes en produits et est périodique de période $2\pi i$ , a exprimé le cosinus et le sinus au moyen d’exponentielles, a décidé quelles identités trigonométriques se conservent quand on les étend aux complexes, y a découvert les fonctions hyperboliques et, en inversant l’exponentielle, a obtenu un logarithme à une infinité de valeurs et des puissances à exposant complexe. Avec cette notation, la leçon sur la géométrie et les nombres complexes a écrit les rotations sous la forme $c + e^{i\varphi}(z - c)$ et les symétries axiales sous la forme $e^{2i\alpha}\conj{z}$ , a lu l’alignement et la perpendicularité dans un quotient, a défini par le signe de la partie imaginaire de ce quotient l’orientation d’un triangle et a démontré qu’elle ne dépend pas du sommet par lequel on commence, que les translations et les rotations la conservent et que les symétries la renversent, a caractérisé le triangle équilatéral par la racine cubique de l’unité et a démontré le théorème du cercle d’Apollonius et le théorème de Napoléon.

Enfin, la leçon sur les équations polynomiales a tout réuni sur le terrain où les complexes sont nés. Du théorème fondamental de l’algèbre, qui est admis sans démonstration, elle a déduit que tout polynôme de degré $n$ est produit de $n$ facteurs du premier degré, a démontré les relations de Viète et a résolu les équations binômes, trinômes et réciproques ; la formule de Cardano a exigé les racines cubiques de la leçon sur les racines $n$ -ièmes, le discriminant a classé les racines de la cubique réelle, le cas irréductible a été résolu par la formule de l’angle triple, et la méthode de Ferrari a ramené l’équation du quatrième degré à une cubique ; le théorème de Hölder et celui d’Abel-Ruffini, qui sont admis, ont expliqué pourquoi le détour par les complexes est inévitable dans le cas irréductible et pourquoi il n’y a pas de formules semblables à partir du degré cinq. D’où la chaîne complète : théorème du produit, formule de Moivre, racines $n$ -ièmes, exponentielle complexe, géométrie du plan et équations polynomiales, de sorte que chaque maillon est, pour l’essentiel, une lecture nouvelle du premier.

Il convient d’énumérer avec exactitude ce que l’unité admet sans démonstration, parce que c’est peu et que c’est bien localisé. De la géométrie euclidienne, les faits réunis dans la leçon du cours I sur l’équation de la droite, dont l’unité n’a besoin que de la notion de similitude et du fait que l’égalité des angles entraîne la proportionnalité des côtés, dans le théorème des triangles semblables du produit. Du calcul différentiel, les séries de $e^x$ , du cosinus et du sinus, que la leçon sur l’exponentielle complexe utilise pour motiver la formule d’Euler et qui sont démontrées dans le cours d’Analyse I. De l’algèbre, trois résultats énoncés dans la leçon sur les équations polynomiales : le théorème fondamental de l’algèbre, dont dépend la factorisation complète, et les théorèmes de Hölder et d’Abel-Ruffini, qui ne soutiennent aucun maillon et expliquent seulement pourquoi le cas irréductible exige le détour par les complexes et pourquoi il n’y a pas de formules par radicaux à partir du degré cinq. Enfin, l’exemple de la spirale des puissances, dans la leçon sur la formule de Moivre, mentionne sans l’utiliser la propriété de la spirale logarithmique de couper sous le même angle toute droite passant par l’origine, qui se démontre elle aussi par le calcul différentiel. Tout le reste est démontré dans l’unité, dans les deux unités antérieures ou dans le cours I ; dans la chaîne, les faits euclidiens et le théorème fondamental figurent comme appuis admis, et les séries, qui ne soutiennent aucun maillon parce que l’exponentielle imaginaire est adoptée comme définition, n’y figurent pas.

La figure ci-dessous réunit les quatre tronçons de l’unité en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse : le théorème d’égalité sous forme polaire, qui est établi dans le premier maillon, et les résultats d’unités antérieures ou du cours I, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AÉgalité sous forme polaire. Deux complexes $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ et $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , avec $r_1$ et $r_2$ strictement positifs, sont égaux si et seulement si $r_1 = r_2$ et $\theta_1 - \theta_2$ est un multiple entier de $2\pi$ . Établi dans: 1. Égalité sous forme polaire.
BFormules trigonométriques. L’identité pythagoricienne, le cosinus et le sinus d’une somme et d’une différence, l’angle double, l’angle moitié et l’angle triple, la parité et la périodicité du sinus et du cosinus, leurs zéros, la caractérisation des angles coterminaux, la monotonie du cosinus sur $\icc{0}{\pi}$ et la loi des cosinus, démontrés dans les unités 1 et 2, sur les fonctions trigonométriques et sur la trigonométrie analytique. Admis sans démonstration dans cette unité.
CGéométrie euclidienne. On admet, dans l’unité du cours I sur la géométrie analytique du plan, les faits de la géométrie euclidienne : Pythagore et sa réciproque, les parallèles, le théorème de Thalès et la similitude des triangles, la somme des angles d’un triangle et le triangle isocèle. Admis sans démonstration dans cette unité.
DPrincipe de récurrence. Si une propriété est vérifiée pour le premier entier naturel et passe de chaque entier naturel à son successeur, elle est vérifiée pour tous ; démontré dans l’unité du cours I sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
EBinôme de Newton et somme géométrique. Pour tout entier naturel $n$ on a $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ , et si $q \neq 1$ , $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; démontrés dans l’unité du cours I sur les entiers naturels, ces deux calculs n’utilisent que les propriétés de l’addition et de la multiplication et valent aussi avec des nombres complexes. Admis sans démonstration dans cette unité.
FDivision euclidienne et Bézout. Tout entier s’écrit $qn + r$ avec $0 \leq r \leq n - 1$ , et si $\operatorname{pgcd}(k, n) = 1$ il existe des entiers $x$ et $y$ tels que $kx + ny = 1$ ; démontrés dans l’unité du cours I sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
GExponentielle réelle. L’exponentielle réelle est strictement positive, injective et bijective sur les réels strictement positifs, vérifie $e^a e^c = e^{a + c}$ et définit le cosinus et le sinus hyperboliques ; démontré dans l’unité du cours I sur l’exponentielle et le logarithme. Admis sans démonstration dans cette unité.
HThéorème du facteur et théorème fondamental. Si $z_0$ est racine du polynôme $P$ , alors $z - z_0$ divise $P$ , ce qui a été démontré dans l’unité du cours I sur les fonctions algébriques et vaut dans les complexes ; et tout polynôme complexe de degré $n \geq 1$ a au moins une racine complexe, ce qui est admis sans démonstration. Admis sans démonstration dans cette unité.

Tronçon 1 La forme polaire et le produit
- Écrire tout complexe non nul sous forme polaire et démontrer que cette écriture est unique à des tours complets près.
- Démontrer avec les formules d’addition que, dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.
- En déduire le conjugué et l’inverse sous forme polaire, et le comportement de l’argument principal d’un produit.
- Interpréter la multiplication par un complexe comme une rotation composée avec une homothétie.
1. Égalité sous forme polaire. Un argument de $z = a + bi \neq 0$ est tout réel $\theta$ tel que $a = \abs{z} \cos \theta$ et $b = \abs{z} \sin \theta$ ; le complexe $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , avec $r > 0$ , a pour module $r$ et pour argument $\theta$ , et deux de ces expressions sont égales si et seulement si elles ont le même module et leurs arguments diffèrent d’un multiple entier de $2\pi$ .
  Repose sur: B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La forme polaire des nombres complexes.
2. Produit et quotient sous forme polaire. Si $z$ a pour module $r$ et pour argument $\theta$ , et $w$ a pour module $s$ et pour argument $\varphi$ , le produit $zw$ a pour module $rs$ et pour argument $\theta + \varphi$ , et le quotient $\frac{z}{w}$ a pour module $\frac{r}{s}$ et pour argument $\theta - \varphi$ .
  Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La forme polaire des nombres complexes.
3. Conjugué et inverse. Si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , avec $r > 0$ , le conjugué de $z$ a pour module $r$ et pour argument $-\theta$ , et l’inverse $\frac{1}{z}$ a pour module $\frac{1}{r}$ et pour argument $-\theta$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La forme polaire des nombres complexes.
4. Argument principal d’un produit. L’argument principal de $zw$ est $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ , avec $k$ égal à $-1$ , à $0$ ou à $1$ , et $k = 0$ exactement quand cette somme est dans $\ioc{-\pi}{\pi}$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire). Démontré dans: La forme polaire des nombres complexes.
5. Triangles semblables du produit. Si $z \neq 0$ et si $w$ n’est pas réel, le triangle de sommets $0$ , $z$ et $zw$ est semblable à celui de sommets $0$ , $1$ et $w$ , de rapport $\abs{z}$ : multiplier par $z$ revient à tourner et à dilater.
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire. Repose sur: C (Géométrie euclidienne), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La forme polaire des nombres complexes.
Tronçon 2 Puissances et racines
- Démontrer par récurrence la formule de Moivre pour tout exposant entier.
- En tirer, avec la formule du binôme de Newton, les formules des angles multiples, linéariser les puissances du cosinus et sommer des sinus et des cosinus par une somme géométrique.
- Démontrer que tout complexe non nul a exactement $n$ racines $n$ -ièmes, sommets d’un polygone régulier.
- Étudier les racines de l’unité : leurs puissances, leur somme, la factorisation de $z^n - 1$ et les racines primitives.
1. Formule de Moivre. Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ on a $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ; par conséquent, si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , la puissance $z^n$ a pour module $r^n$ et pour argument $n\theta$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 3. Conjugué et inverse. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), D (Principe de récurrence), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La formule de Moivre et les puissances des complexes.
2. Angles multiples. Le cosinus de $n\theta$ est la somme alternée des termes $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ de rang $k$ pair, et le sinus de $n\theta$ , celle des termes de rang impair.
  Utilise: 6. Formule de Moivre. Repose sur: E (Binôme de Newton et somme géométrique). Démontré dans: La formule de Moivre et les puissances des complexes.
3. Linéarisation. Si $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , on a $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ et $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ; il en découle, par exemple, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ et $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  Utilise: 6. Formule de Moivre. Repose sur: E (Binôme de Newton et somme géométrique), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La formule de Moivre et les puissances des complexes.
4. Sommes de sinus et de cosinus. Si $\theta$ n’est pas un multiple entier de $2\pi$ , la somme des complexes $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ , pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$ , est le réel $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ multiplié par le complexe de module $1$ et d’argument $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ , ce qui donne les sommes des cosinus et des sinus.
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 6. Formule de Moivre. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), E (Binôme de Newton et somme géométrique), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: La formule de Moivre et les puissances des complexes.
5. Racines n-ièmes. Si $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , l’équation $z^n = w$ a exactement $n$ solutions, de module $\sqrt[n]{R}$ et d’arguments $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ avec $0 \leq k \leq n - 1$ , qui pour $n \geq 3$ sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon $\sqrt[n]{R}$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 6. Formule de Moivre. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), F (Division euclidienne et Bézout), B (Formules trigonométriques), D (Principe de récurrence). Démontré dans: Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
6. Racines de l’unité comme puissances. Les racines $n$ -ièmes de l’unité sont les puissances $\omega_k = \omega^k$ de $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ; elles se multiplient en additionnant les exposants modulo $n$ , l’inverse de chacune est son conjugué, et la multiplication par l’une d’elles les permute.
  Utilise: 3. Conjugué et inverse, 6. Formule de Moivre, 10. Racines n-ièmes. Repose sur: F (Division euclidienne et Bézout). Démontré dans: Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
7. Somme des puissances des racines. Si $n \geq 2$ , la somme des puissances $m$ -ièmes des $n$ racines $n$ -ièmes de l’unité vaut $n$ si $n$ divise $m$ , et $0$ dans le cas contraire ; en particulier, la somme des racines est nulle.
  Utilise: 11. Racines de l’unité comme puissances. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), E (Binôme de Newton et somme géométrique). Démontré dans: Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
8. Factorisation de z puissance n moins 1. Pour tout entier naturel $n$ , le polynôme $z^n - 1$ est le produit des $n$ facteurs $z - \omega_k$ , avec $0 \leq k \leq n - 1$ .
  Utilise: 10. Racines n-ièmes. Repose sur: H (Théorème du facteur et théorème fondamental). Démontré dans: Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
9. Racines primitives. La racine $\omega_k$ , avec $1 \leq k \leq n$ , est primitive, c’est-à-dire que ses puissances donnent toutes les racines $n$ -ièmes de l’unité, si et seulement si $\operatorname{pgcd}(k, n) = 1$ .
  Utilise: 11. Racines de l’unité comme puissances, 12. Somme des puissances des racines. Repose sur: F (Division euclidienne et Bézout). Démontré dans: Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
10. Factorisation réelle de x puissance n moins 1. Chaque paire de racines conjuguées non réelles $\omega_k$ et $\omega_{n - k}$ donne le facteur irréductible $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ , de sorte que $x^n - 1$ est le produit de $x - 1$ , de $x + 1$ si $n$ est pair, et de ces facteurs du second degré.
  Utilise: 3. Conjugué et inverse, 11. Racines de l’unité comme puissances, 13. Factorisation de z puissance n moins 1. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
Tronçon 3 L’exponentielle complexe et la géométrie
- Définir $e^{i\theta}$ par la formule d’Euler et $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ , et reconnaître dans les règles établies plus haut les lois des exposants.
- Démontrer que l’exponentielle transforme les sommes en produits et est périodique de période $2\pi i$ .
- Exprimer le cosinus et le sinus au moyen d’exponentielles, les relier aux fonctions hyperboliques et obtenir les logarithmes d’un complexe.
- Écrire les rotations et les symétries axiales du plan avec des complexes, lire l’alignement et la perpendicularité dans un quotient, définir l’orientation d’un triangle et démontrer son invariance, et caractériser le triangle équilatéral.
1. Exponentielle imaginaire. Le complexe $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ a pour module $1$ , et on a $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ et $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ , qui est son conjugué ; de plus, $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ si et seulement si $\alpha - \beta$ est un multiple entier de $2\pi$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 3. Conjugué et inverse, 6. Formule de Moivre. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), B (Formules trigonométriques). Démontré dans: L’exponentielle complexe et la formule d’Euler.
2. Exponentielle d’une somme. Si $z = a + bi$ et $e^z = e^a e^{ib}$ , le module de $e^z$ est $e^a$ , $b$ est l’un de ses arguments et $e^z$ n’est jamais nul ; et pour tous complexes $z$ et $w$ on a $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 16. Exponentielle imaginaire. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), G (Exponentielle réelle). Démontré dans: L’exponentielle complexe et la formule d’Euler.
3. Périodicité de l’exponentielle. On a $e^z = 1$ si et seulement si $z = 2k\pi i$ pour un certain entier $k$ ; par conséquent, $e^z = e^w$ si et seulement si $z - w$ est un multiple entier de $2\pi i$ .
  Utilise: 17. Exponentielle d’une somme. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), G (Exponentielle réelle). Démontré dans: L’exponentielle complexe et la formule d’Euler.
4. Formules d’Euler. On a $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; elles servent à définir le cosinus et le sinus d’un complexe, qui conservent les formules d’addition, de l’angle double et de linéarisation, mais non celles de l’angle moitié à double signe, et on obtient $\cos(ix) = \cosh x$ et $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  Utilise: 16. Exponentielle imaginaire, 17. Exponentielle d’une somme. Repose sur: B (Formules trigonométriques), G (Exponentielle réelle). Démontré dans: L’exponentielle complexe et la formule d’Euler.
5. Logarithmes d’un complexe. Si $z \neq 0$ , les solutions de $e^w = z$ sont $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ , avec $k$ entier ; et les valeurs de $z^{\frac{1}{n}}$ définies à partir d’eux sont exactement les $n$ racines $n$ -ièmes de $z$ .
  Utilise: 10. Racines n-ièmes, 11. Racines de l’unité comme puissances, 17. Exponentielle d’une somme, 18. Périodicité de l’exponentielle. Repose sur: A (Égalité sous forme polaire), G (Exponentielle réelle). Démontré dans: L’exponentielle complexe et la formule d’Euler.
6. Rotation autour d’un point. La transformation $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ laisse fixe $c$ , conserve les distances et fait tourner d’un angle $\varphi$ le segment qui joint chaque point à $c$ : c’est la rotation de centre $c$ et d’angle $\varphi$ .
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 16. Exponentielle imaginaire. Démontré dans: Géométrie et nombres complexes.
7. Symétries axiales et leur composée. La symétrie d’axe la droite qui passe par l’origine avec l’angle $\alpha$ est l’isométrie $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ , et la composée des symétries d’angles $\alpha$ et $\beta$ est la rotation de centre l’origine et d’angle $2(\beta - \alpha)$ .
  Utilise: 3. Conjugué et inverse, 16. Exponentielle imaginaire, 21. Rotation autour d’un point. Démontré dans: Géométrie et nombres complexes.
8. Alignement et orientation. Si $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , l’angle orienté du segment de $z_1$ à $z_2$ à celui de $z_1$ à $z_3$ est un argument de $q$ ; les points sont alignés si et seulement si $q$ est réel, et les segments sont perpendiculaires si et seulement si $q$ est imaginaire pur. S’ils ne sont pas alignés, le triangle $z_1 z_2 z_3$ est orienté positivement quand $\operatorname{Im} q > 0$ ; l’orientation ne dépend pas du sommet initial, elle se renverse quand on échange deux sommets et quand on applique une symétrie axiale, et elle est conservée par les rotations.
  Utilise: 2. Produit et quotient sous forme polaire, 16. Exponentielle imaginaire, 21. Rotation autour d’un point, 22. Symétries axiales et leur composée. Démontré dans: Géométrie et nombres complexes.
9. Triangle équilatéral. Si $z_1 \neq z_2$ , les points $z_1$ , $z_2$ et $z_3$ sont, dans cet ordre, les sommets d’un triangle équilatéral orienté positivement si et seulement si $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , avec $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; la démonstration ramène la condition à $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ avec $\operatorname{Im} q > 0$ , c’est-à-dire à $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  Utilise: 16. Exponentielle imaginaire, 12. Somme des puissances des racines, 23. Alignement et orientation. Démontré dans: Géométrie et nombres complexes.
Tronçon 4 Les équations polynomiales
- Déduire du théorème fondamental de l’algèbre que tout polynôme complexe de degré $n$ est produit de $n$ facteurs du premier degré.
- Démontrer les relations de Viète entre les racines et les coefficients.
- Résoudre la cubique par la formule de Cardano, classer ses racines réelles au moyen du discriminant et résoudre le cas irréductible par l’angle triple.
- Ramener l’équation du quatrième degré à une cubique par la méthode de Ferrari.
1. Factorisation dans les complexes. Tout polynôme complexe de degré $n \geq 1$ et de coefficient dominant $a_n$ est égal à $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ , et il a exactement $n$ racines comptées avec leur multiplicité.
  Repose sur: D (Principe de récurrence), H (Théorème du facteur et théorème fondamental). Démontré dans: Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.
2. Relations de Viète. Les fonctions symétriques élémentaires des racines vérifient $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ; en particulier, la somme des racines est $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ et leur produit est $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  Utilise: 25. Factorisation dans les complexes. Repose sur: D (Principe de récurrence). Démontré dans: Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.
3. Formule de Cardano. Le changement de variable $x = t - \frac{b}{3a}$ ramène la cubique à $t^3 + pt + q = 0$ ; si $u$ est une racine cubique d’une racine $U$ de la résolvante $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ et si $v = -\frac{p}{3u}$ , ses racines sont $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ et $\omega^2 u + \omega v$ .
  Utilise: 10. Racines n-ièmes, 11. Racines de l’unité comme puissances, 12. Somme des puissances des racines, 26. Relations de Viète. Repose sur: E (Binôme de Newton et somme géométrique). Démontré dans: Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.
4. Discriminant de la cubique. Si $p$ et $q$ sont réels et si $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , la cubique $t^3 + pt + q = 0$ a une racine réelle et deux racines conjuguées non réelles si $\Delta < 0$ , des racines réelles dont l’une au moins est multiple si $\Delta = 0$ , et trois racines réelles distinctes si $\Delta > 0$ .
  Utilise: 3. Conjugué et inverse, 11. Racines de l’unité comme puissances, 27. Formule de Cardano. Démontré dans: Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.
5. Résolution trigonométrique. Si $\Delta > 0$ , avec $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ et $c = \frac{3q}{pm}$ dans $\ioo{-1}{1}$ , les trois racines réelles sont $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ , pour $k = 0, 1, 2$ .
  Utilise: 25. Factorisation dans les complexes, 28. Discriminant de la cubique. Repose sur: B (Formules trigonométriques). Démontré dans: Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.
6. Méthode de Ferrari. Le changement de variable $x = y - \frac{b}{4a}$ ramène l’équation du quatrième degré à $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ; si $q \neq 0$ et si $m$ est racine de sa résolvante cubique, avec $s^2 = 2m$ , le polynôme du quatrième degré est le produit de deux facteurs du second degré dont les racines sont les siennes.
  Utilise: 10. Racines n-ièmes, 25. Factorisation dans les complexes, 27. Formule de Cardano. Repose sur: E (Binôme de Newton et somme géométrique). Démontré dans: Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.

Vers les matrices et les structures algébriques. La chaîne se termine là où les complexes deviennent structure : le produit par $e^{i\varphi}$ sera une matrice de rotation, le carré du module un déterminant, et les racines de l’unité, qui se multiplient comme s’additionnent les restes de la division par $n$ , le premier exemple de groupe cyclique.

Dans la suite de cette leçon

L’unité dans le cours
Évaluation de sortie
Défis
Une somme de sinus de l’heptagone
La somme des carrés des cotangentes
Les puissances quatrièmes des distances aux sommets
Les valeurs des puissances de un
Puissances et transformations des racines d’une cubique
Trois rotations d’un tiers de tour
Une somme d’inverses sur les racines de l’unité
La cubique de l’heptagone
Une somme binomiale avec des puissances de moins trois
Un produit sur les racines de l’unité