Matrici e strutture algebriche: introduzione

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1. Domanda 1Siano $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Qual è il prodotto $AB$?

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. Domanda 2Si consideri il sistema di equazioni $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$ e $2x + 3y + 4z = k$. Per quali valori di $k$ è compatibile, e quante soluzioni ha allora?

   Solo per $k = 3$, e allora ha infinite soluzioni, che dipendono da un parametro.

   Per ogni $k$, con un’unica soluzione.

   Solo per $k = 3$, e allora ha un’unica soluzione.

   Per nessun $k$.

3. Domanda 3Calcolare il determinante della matrice di righe $\left( 2, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 3, -1 \right)$ e $\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. Domanda 4Sia $A$ una matrice di ordine $3$ con $\det A = 2$. Quanto vale $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$?

5. Domanda 5Qual è l’inversa della matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$?

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. Domanda 6Siano $A$, $B$ e $C$ matrici quadrate dello stesso ordine, con $A$ e $B$ invertibili. Qual è la soluzione dell’equazione $AXB = C$?

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. Domanda 7Qual è la matrice della trasformazione del piano che ruota ogni vettore di un quarto di giro in senso antiorario attorno all’origine e poi lo riflette rispetto all’asse delle ascisse?

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Domanda 8Sia $M(z)$ la matrice della moltiplicazione per il numero complesso $z$. Calcolare $\det M(3 - 4i)$.

9. Domanda 9Quale di questi insiemi, con l’operazione indicata, è un gruppo?

   I resti non nulli di $\mathbb{Z}_7$, con il prodotto.

   Gli interi, con il prodotto.

   I naturali, con la somma.

   I resti non nulli di $\mathbb{Z}_6$, con il prodotto.

10. Domanda 10Una città ha $600$ mila abitanti nel centro e $400$ mila in periferia. Ogni anno il $10$ per cento degli abitanti del centro si trasferisce in periferia e il $20$ per cento di quelli della periferia si trasferisce in centro; nessun altro arriva o se ne va. Se le proporzioni si mantengono, quante migliaia di abitanti avrà il centro dopo due anni?

11. Domanda 11Dalle unità precedentiRisolvere con la regola di Cramer il sistema $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$, e dare il valore di $x$.

12. Domanda 12Dalle unità precedentiTrovare l’inverso di $4$ modulo $9$, cioè il resto $x$ tra $0$ e $8$ tale che $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. Domanda 13Dalle unità precedentiQual è la forma polare di $1 + i\sqrt{3}$?

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$