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LatineZusammenfassung
Diese Lektion eröffnet die vierte Einheit des Kurses, die den Matrizen und den algebraischen Strukturen gewidmet ist. Sie stellt die sieben Lektionen vor, aus denen die Einheit besteht, und den Faden, der sie verbindet: Die Koeffiziententabelle eines linearen Gleichungssystems wird zu einem Objekt mit eigenen Operationen, die Determinante entscheidet, wann ein quadratisches Gleichungssystem genau eine Lösung hat, die inverse Matrix löst es in einem Zug, die Matrizen werden als Abbildungen der Ebene gelesen, die komplexen Zahlen erscheinen wieder als eine Familie von Matrizen, und das Gemeinsame all dieser Rechnungen verdichtet sich in den Begriffen Gruppe, Ring und Körper. Sie verfolgt den historischen Hintergrund dieser Ideen, von den Neun Kapiteln der Rechenkunst bis zu Cayley, Galois und Noether; sie formuliert genau die beiden Probleme, aus denen sie entstanden, die Lösung der linearen Gleichungssysteme und die Auflösung der Polynomgleichungen durch Radikale; und sie zeigt, wo sie wieder verwendet werden: in diesem Kurs, vor allem in der analytischen Geometrie des Raumes, mit der er schließt, in anderen Kursen der Website sowie in Wissenschaft und Technik.
Lernziele
- Die Abfolge der Lektionen der Einheit beschreiben und erklären, was jede von ihnen zum Studium der linearen Gleichungssysteme, der Abbildungen der Ebene und der algebraischen Strukturen beiträgt.
- Die Begriffe Matrix, Determinante und Gruppe in ihren historischen Zusammenhang einordnen und das Problem nennen, das jeder von ihnen lösen sollte.
- Ein klassisches Problem mit drei Unbekannten als Matrixgleichung aufstellen und es durch Elimination und mit Determinanten lösen.
- Am Beispiel der quadratischen Gleichung erklären, warum das Studium der Permutationen der Lösungen einer Gleichung zum Begriff der Gruppe führte, und heutige Anwendungen der Matrizen und der algebraischen Strukturen erkennen.
Eingangstest
Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu messen. Die ersten neun Fragen gehen die sieben inhaltlichen Lektionen durch, mit zwei Fragen für die zentralen Lektionen, die über die Determinanten und die über die inverse Matrix, und die zehnte ist ein Modellierungsproblem, das verlangt, eine Situation aus einem Sachzusammenhang mit dem Matrizenprodukt aufzustellen; dieselben Fertigkeiten werden am Ende in der Lektion zur Synthese erneut gemessen. Die letzten drei prüfen, was die Einheit aus Kurs I und aus der Einheit über die komplexen Zahlen in Polarform als bekannt voraussetzt. Es gibt keine Benotung: Es geht darum, zu erkennen, was man beherrscht und wo man verweilen sollte.
Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.
Frage 1Es seien und . Was ist das Produkt ?
Das ist das Produkt in umgekehrter Reihenfolge. Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ, und in sind die Zeilen die von .Das ist das eintragsweise Produkt, das nicht der Hintereinanderausführung linearer Substitutionen entspricht. Das Matrizenprodukt verbindet Zeilen mit Spalten.Hier wurden die Zeilen von mit den Zeilen von verbunden, was ergibt. Der Eintrag von verwendet die Spalte von .Jeder Eintrag verbindet eine Zeile von mit einer Spalte von : Der Eintrag ist , der Eintrag ist , der Eintrag ist und der Eintrag ist .Wiederholen: Matrizen und Matrizenoperationen
Frage 2Gegeben sei das Gleichungssystem , und . Für welche Werte von ist es lösbar, und wie viele Lösungen hat es dann?
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten haben nicht immer eine eindeutige Lösung: Hier hat die Koeffizientenmatrix den Rang , weil ihre dritte Zeile die Summe der beiden anderen ist.Lösbarkeit bedeutet nicht Eindeutigkeit: Für ist der gemeinsame Rang , kleiner als die Anzahl der Unbekannten, und es gibt unendlich viele Lösungen.Dass eine Koeffizientenzeile eine Kombination der anderen ist, macht das System nicht unlösbar; unlösbar ist es nur, wenn der konstante Term nicht dieselbe Beziehung erfüllt, das heißt, wenn .Die dritte Koeffizientenzeile ist die Summe der beiden ersten, und beim Umformen auf Zeilenstufenform bleibt die Zeile . Ist , so hat die erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang und die Koeffizientenmatrix den Rang , und das System ist unlösbar; ist , so sind beide Ränge gleich , kleiner als die Anzahl der Unbekannten, und nach dem Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt) gibt es freien Parameter.Wiederholen: Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren
Frage 3Man berechne die Determinante der Matrix mit den Zeilen , und .
Richtige Antwort:
Die Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt . Wer erhält, hat das wechselnde Vorzeichen des zweiten Terms der Entwicklung vergessen.Wiederholen: Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel
Frage 4Es sei eine Matrix der Ordnung mit . Welchen Wert hat ?
Richtige Antwort:
Die Transponierte hat dieselbe Determinante, und die Multiplikation der Matrix mit multipliziert jede ihrer drei Zeilen mit ; wegen der Linearität in jeder Zeile wird die Determinante mit multipliziert und ist gleich . Wer erhält, hat nur einmal mit multipliziert, als ob in nur eine einzige Zeile multipliziert wäre.Wiederholen: Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel
Frage 5Was ist die Inverse der Matrix ?
Das ist die Kofaktormatrix ohne Transponieren. Die Inverse ist die Adjunkte, das heißt die Transponierte der Kofaktormatrix, dividiert durch die Determinante.Das ist die Matrix der Kehrwerte der Einträge, die nicht die Inverse ist: Ihr Produkt mit ist nicht die Einheitsmatrix. Die Inverse einer Matrix wird nicht eintragsweise berechnet.Die Einträge der Hauptdiagonale wurden vertauscht, aber das Vorzeichen der Einträge der anderen Diagonale wurde nicht geändert; das Produkt mit hat von null verschiedene Einträge außerhalb der Diagonale.Die Determinante ist ; nach der Formel für die Ordnung zwei vertauscht man die Einträge der Hauptdiagonale, ändert das Vorzeichen der Einträge der anderen und dividiert durch . Das Produkt mit ergibt die Einheitsmatrix.Wiederholen: Die inverse Matrix
Frage 6Es seien , und quadratische Matrizen derselben Ordnung, wobei und invertierbar sind. Was ist die Lösung der Gleichung ?
Die Inversen wurden jeweils auf die falsche Seite gestellt. Da das Produkt nicht kommutativ ist, muss man, um zu beseitigen, das links von steht, von links mit multiplizieren.Hier wurde alles von links multipliziert. Die Multiplikation mit links von beseitigt nicht , das rechts von steht.Der Quotient von Matrizen ist nicht definiert, weil er nicht angäbe, von welcher Seite multipliziert wird; die Gleichung wird mit den Inversen gelöst, jede auf ihrer Seite.Man multipliziert von links mit , der Seite, auf der steht, und von rechts mit , der Seite, auf der steht; wegen der Assoziativität gilt .Wiederholen: Die inverse Matrix
Frage 7Welche Matrix hat die Abbildung der Ebene, die jeden Vektor um eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung dreht und ihn danach an der waagerechten Achse spiegelt?
Das ist , die Verkettung in umgekehrter Reihenfolge: erst spiegeln und danach drehen. In der Matrix einer Verkettung ist die zuerst angewandte Abbildung der rechte Faktor.Das ist nur die Vierteldrehung; es fehlt, sie mit der Spiegelung zu verketten.Das ist die Vierteldrehung im Uhrzeigersinn. Sie hat die Determinante , und die Verkettung einer Drehung mit einer Spiegelung kehrt die Orientierung um, so dass ihre Determinante ist.Die Verkettung der Spiegelung mit den Zeilen und nach der Drehung mit den Zeilen und hat die Matrix : Der zuerst angewandte Faktor steht rechts. Ihre Spalten sind die Bilder von , das nach und danach nach geht, und von , das nach geht und dann unverändert bleibt.Wiederholen: Matrizen als Abbildungen der Ebene
Frage 8Es sei die Matrix der Multiplikation mit der komplexen Zahl . Man berechne .
Richtige Antwort:
Die Matrix von hat die Zeilen und , und ihre Determinante ist ; hier . Wer erhält, hat berechnet und das Vorzeichen des Eintrags vergessen, und wer erhält, hat den Betrag statt seines Quadrats genommen.Wiederholen: Komplexe Zahlen als Matrizen
Frage 9Welche dieser Mengen ist mit der angegebenen Verknüpfung eine Gruppe?
Die Multiplikation ganzer Zahlen ist assoziativ und hat das neutrale Element , aber hat kein Inverses, weil keine ganze Zahl die Gleichung erfüllt.Die Addition natürlicher Zahlen ist assoziativ, hat aber kein neutrales Element, weil die natürlichen Zahlen mit beginnen, und es gibt auch keine Gegenzahlen.Die Menge ist nicht abgeschlossen: Es gilt in , und die Null gehört nicht zu ihr. Die Nullteiler verhindern, dass die von null verschiedenen Reste eine Gruppe bilden.Da eine Primzahl ist, ist ein Körper: Das Produkt zweier von null verschiedener Reste ist nicht null, die Multiplikation ist assoziativ, hat das neutrale Element , und jeder von null verschiedene Rest hat ein Inverses.Wiederholen: Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper
Frage 10Eine Stadt hat Tausend Einwohner im Zentrum und Tausend am Stadtrand. Jedes Jahr ziehen Prozent der Einwohner des Zentrums an den Stadtrand und Prozent derer des Stadtrands ins Zentrum; sonst zieht niemand zu oder weg. Wie viele Tausend Einwohner wird das Zentrum nach zwei Jahren haben, wenn die Prozentsätze gleich bleiben?
Richtige Antwort:
Mit dem Vektor der Bevölkerungen des Zentrums und des Stadtrands nach Jahren multipliziert man jedes Jahr mit der Übergangsmatrix mit den Zeilen , und , , deren Spalte angibt, wohin die Einwohner der Zone gehen; wegen der Assoziativität des Produkts gilt . Das erste Jahr ergibt und und das zweite und , wobei die Gesamtzahl erhalten bleibt. Wer erhält, hat nur ein Jahr berechnet; wer erhält, hat die Transponierte von verwendet, deren Spalten sich nicht zu summieren, so dass die Gesamtzahl nicht erhalten bleibt.Wiederholen: Matrizen und Matrizenoperationen
Frage 11Aus früheren EinheitenMan löse das Gleichungssystem , mit der cramerschen Regel und gebe den Wert von an.
Richtige Antwort:
Die Determinante des Systems ist , und diejenige, die man erhält, wenn man die Spalte von durch die konstanten Terme ersetzt, ist ; daraus folgt und ebenso . Wer erhält, hat eine der beiden Determinanten mit den Produkten der Diagonalen in umgekehrter Reihenfolge berechnet.Wiederholen: Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
Frage 12Aus früheren EinheitenMan bestimme das Inverse von modulo , das heißt den Rest zwischen und mit .
Richtige Antwort:
Da gilt, existiert das Inverse, und es ist . Wer antwortet, hat das Inverse in den rationalen Zahlen gesucht und nicht einen Rest modulo .Wiederholen: Kongruenzen und modulare Arithmetik
Frage 13Aus früheren EinheitenWas ist die Polarform von ?
Kosinus und Sinus wurden vertauscht: entspräche dem Realteil, aber der Realteil ist .Hier wurde das Quadrat des Betrags, , genommen, ohne die Wurzel zu ziehen.Das ist die komplexe Zahl im zweiten Quadranten; hat einen positiven Realteil und liegt im ersten.Der Betrag ist , und das Argument ist der Winkel im ersten Quadranten, dessen Kosinus und dessen Sinus ist, also .Wiederholen: Die Polarform der komplexen Zahlen
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