Matrices y estructuras algebraicas: introducción

Antes de comenzar la unidad, mide tu punto de partida. Es una autoevaluación breve: no se califica y su resultado se guarda solo en tu navegador.

1. Pregunta 1Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. ¿Cuál es el producto $AB$?

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. Pregunta 2Considérese el sistema de ecuaciones $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$ y $2x + 3y + 4z = k$. ¿Para qué valores de $k$ es compatible, y cuántas soluciones tiene entonces?

   Solo para $k = 3$, y entonces tiene infinitas soluciones, que dependen de un parámetro.

   Para todo $k$, con una única solución.

   Solo para $k = 3$, y entonces tiene una única solución.

   Para ningún $k$.

3. Pregunta 3Calcular el determinante de la matriz de filas $\left( 2, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 3, -1 \right)$ y $\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. Pregunta 4Sea $A$ una matriz de orden $3$ con $\det A = 2$. ¿Cuánto vale $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$?

5. Pregunta 5¿Cuál es la inversa de la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$?

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. Pregunta 6Sean $A$, $B$ y $C$ matrices cuadradas del mismo orden, con $A$ y $B$ invertibles. ¿Cuál es la solución de la ecuación $AXB = C$?

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. Pregunta 7¿Cuál es la matriz de la transformación del plano que gira cada vector un cuarto de vuelta en sentido antihorario alrededor del origen y después lo refleja en el eje de abscisas?

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Pregunta 8Sea $M(z)$ la matriz de la multiplicación por el complejo $z$. Calcular $\det M(3 - 4i)$.

9. Pregunta 9¿Cuál de estos conjuntos, con la operación indicada, es un grupo?

   Los restos no nulos de $\mathbb{Z}_7$, con el producto.

   Los enteros, con el producto.

   Los naturales, con la suma.

   Los restos no nulos de $\mathbb{Z}_6$, con el producto.

10. Pregunta 10Una ciudad tiene $600$ mil habitantes en su centro y $400$ mil en su periferia. Cada año, el $10$ por ciento de los habitantes del centro se muda a la periferia y el $20$ por ciento de los de la periferia se muda al centro; nadie más llega ni se va. Si las proporciones se mantienen, ¿cuántos miles de habitantes tendrá el centro al cabo de dos años?

11. Pregunta 11De unidades anterioresResolver por la regla de Cramer el sistema $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$, y dar el valor de $x$.

12. Pregunta 12De unidades anterioresHallar el inverso de $4$ módulo $9$, es decir, el resto $x$ entre $0$ y $8$ tal que $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. Pregunta 13De unidades anteriores¿Cuál es la forma polar de $1 + i\sqrt{3}$?

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$