Matrices y operaciones con matrices

Matrices

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre las ecuaciones de primer grado y los sistemas lineales, el método de Gauss se siguió en una tabla que reunía los coeficientes de cada ecuación: las incógnitas no intervenían en el cálculo, y todo el trabajo se hacía con los números de la tabla. Esa observación es antigua; los Nueve capítulos sobre el arte matemático, un tratado chino compilado hace unos dos mil años, ya resolvían sistemas disponiendo los coeficientes en columnas. La palabra matriz fue introducida por James Joseph Sylvester en 1850, y Arthur Cayley publicó en 1858 la primera teoría de las operaciones con matrices, que es la que estudia esta clase.

Sean $m$ y $n$ naturales. Una matriz de tamaño $m \times n$ es una tabla de $mn$ números dispuestos en $m$ filas y $n$ columnas. El número situado en la fila $i$ y la columna $j$ se llama entrada $(i, j)$ de la matriz; si la matriz se designa con una mayúscula, como $A$, la entrada se designa con la minúscula correspondiente y dos subíndices, $a_{ij}$, el primero de los cuales indica siempre la fila. Se escribe también $A = (a_{ij})$. Una matriz $2 \times 3$ tiene, por ejemplo, la forma siguiente:

Las entradas serán números reales, salvo que se diga otra cosa; todo lo que sigue vale sin cambios para matrices de números complejos, porque las demostraciones solo usan las propiedades de la suma y del producto de números, que $\mathbb{C}$ comparte con $\mathbb{R}$. Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo tamaño y las mismas entradas en las mismas posiciones: una igualdad entre matrices $m \times n$ equivale a $mn$ igualdades entre números.

Tipos de matrices

Algunas formas se presentan con tanta frecuencia que tienen nombre propio.

• Una matriz fila es una matriz $1 \times n$, y una matriz columna, una matriz $m \times 1$. Los vectores del plano de la clase del curso I sobre los vectores en el plano pueden escribirse como matrices columna $2 \times 1$.
• La matriz nula de un tamaño dado tiene todas sus entradas iguales a $0$; se designa también con $0$, y el contexto indica su tamaño.
• Una matriz es cuadrada si tiene tantas filas como columnas; una matriz $n \times n$ se llama también matriz de orden $n$. Sus entradas $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ forman la diagonal principal.
• Una matriz cuadrada es diagonal si todas sus entradas fuera de la diagonal principal son nulas. La matriz identidad de orden $n$, que se escribe $I_n$, o $I$ cuando el orden es claro, es la matriz diagonal cuyas entradas diagonales valen $1$.
• Una matriz cuadrada es triangular superior si son nulas todas las entradas situadas por debajo de la diagonal principal, es decir, si $a_{ij} = 0$ siempre que $i > j$; es triangular inferior si son nulas las situadas por encima.
• Una matriz cuadrada es simétrica si $a_{ij} = a_{ji}$ para todos los índices: la diagonal principal es un eje de simetría de la tabla.

Por ejemplo, de las cuatro matrices siguientes, la primera es la identidad de orden $3$, la segunda es diagonal, la tercera es triangular superior y la cuarta es simétrica.