行列と代数的構造：導入

単元を始める前に、自分の出発点を測りましょう。短い自己評価です。採点はされず、結果はあなたのブラウザーにだけ保存されます。

1. 問 1$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ とする。積 $AB$ はどれか。

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. 問 2連立方程式 $x + y + z = 1$、$x + 2y + 3z = 2$、$2x + 3y + 4z = k$ を考える。$k$ がどのような値のとき解をもち、そのとき解はいくつあるか。

   $k = 3$ のときに限り解をもち、そのとき解は無数にあって、一つのパラメータに依存する。

   すべての $k$ について解をもち、解はただ一つである。

   $k = 3$ のときに限り解をもち、そのとき解はただ一つである。

   どの $k$ についても解をもたない。

3. 問 3行が $\left( 2, 1, 1 \right)$、$\left( 1, 3, -1 \right)$、$\left( 0, 1, 4 \right)$ である行列の行列式を計算せよ。

4. 問 4$A$ を $3$ 次の行列で $\det A = 2$ を満たすものとする。$\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$ はいくらか。

5. 問 5行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列はどれか。

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. 問 6$A$、$B$、$C$ を同じ次数の正方行列とし、$A$ と $B$ は可逆とする。方程式 $AXB = C$ の解はどれか。

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. 問 7各ベクトルを原点のまわりに反時計回りに 4 分の 1 回転させ、その後、横軸に関して対称移動する平面の変換の行列はどれか。

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. 問 8$M(z)$ を複素数 $z$ による乗法の行列とする。$\det M(3 - 4i)$ を計算せよ。

9. 問 9次の集合のうち、示された演算に関して群であるものはどれか。

   $\mathbb{Z}_7$ の零でない余り、積に関して。

   整数、積に関して。

   自然数、和に関して。

   $\mathbb{Z}_6$ の零でない余り、積に関して。

10. 問 10ある都市には中心部に $600$ 千人、周辺部に $400$ 千人の住民がいる。毎年、中心部の住民の $10$ パーセントが周辺部へ移り、周辺部の住民の $20$ パーセントが中心部へ移る。それ以外に転入も転出もない。この割合が変わらないとき、二年後に中心部の住民は何千人になるか。

11. 問 11前の単元からクラメルの公式で連立方程式 $2x + 3y = 7$、$x - y = 1$ を解き、$x$ の値を答えよ。

12. 問 12前の単元から$4$ の逆元（$9$ を法とする）を求めよ。すなわち、余り $x$（$0$ 以上 $8$ 以下）で $4x \equiv 1 \pmod{9}$ を満たすものを求めよ。

13. 問 13前の単元から$1 + i\sqrt{3}$ の極形式はどれか。

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$