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LatineResumo
Esta aula abre a quarta unidade do curso, dedicada às matrizes e às estruturas algébricas. Apresenta as sete aulas que a compõem e o fio que as une: a tabela de coeficientes de um sistema linear se converte em um objeto com operações próprias, o determinante decide quando um sistema quadrado tem uma única solução, a matriz inversa o resolve de uma só vez, as matrizes são lidas como transformações do plano, os números complexos reaparecem como uma família de matrizes, e o que é comum a todos esses cálculos se condensa nas noções de grupo, anel e corpo. Percorre o contexto histórico dessas ideias, desde Os nove capítulos sobre a arte matemática até Cayley, Galois e Noether; formula com precisão os dois problemas que lhes deram origem, a resolução dos sistemas lineares e a resolução das equações polinomiais por radicais; e indica onde voltam a ser usadas, neste curso, em particular na geometria analítica do espaço que o encerra, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever a sequência de aulas da unidade e explicar o que cada uma contribui para o estudo dos sistemas lineares, das transformações do plano e das estruturas algébricas.
- Situar em seu contexto histórico as noções de matriz, determinante e grupo, nomeando o problema que cada uma veio resolver.
- Formular como uma equação matricial um problema clássico de três incógnitas e resolvê-lo por eliminação e por determinantes.
- Explicar, com o exemplo da equação do segundo grau, por que o estudo das permutações das raízes de uma equação conduziu à noção de grupo, e identificar usos atuais das matrizes e das estruturas algébricas.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade convém medir o ponto de partida. As nove primeiras perguntas percorrem as sete aulas de conteúdo, com duas perguntas para as aulas centrais, a dos determinantes e a da matriz inversa, e a décima é um problema de modelagem, que pede para equacionar com o produto de matrizes uma situação em contexto; as mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As três últimas verificam o que a unidade supõe conhecido do curso I e da unidade sobre os números complexos na forma polar. Não há nota: serve para saber o que se domina e onde se deter.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Sejam e . Qual é o produto ?
É o produto , na ordem contrária. O produto de matrizes não é comutativo, e em as linhas são as de .É o produto elemento a elemento, que não corresponde à composição de substituições lineares. O produto de matrizes combina linhas com colunas.Combinaram-se as linhas de com as linhas de , o que dá . O elemento de usa a coluna de .Cada elemento combina uma linha de com uma coluna de : o elemento é , o é , o é e o é .Revisar: Matrizes e operações com matrizes
Pergunta 2Considere-se o sistema de equações , e . Para quais valores de ele é possível, e quantas soluções tem então?
Três equações com três incógnitas nem sempre têm solução única: aqui a matriz dos coeficientes tem posto , porque sua terceira linha é a soma das outras duas.Ser possível não implica ter solução única: com o posto comum é , menor que o número de incógnitas, e há infinitas soluções.Que uma linha de coeficientes seja combinação das outras não torna o sistema impossível; ele o é só se o termo independente não guarda a mesma relação, isto é, se .A terceira linha de coeficientes é a soma das duas primeiras, e ao escalonar resta a linha . Se , a matriz ampliada tem posto e a dos coeficientes posto , e o sistema é impossível; se , ambos os postos valem , menor que o número de incógnitas, e pelo teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispanófono, teorema de Rouché-Frobenius) há parâmetro livre.Pergunta 3Calcular o determinante da matriz de linhas , e .
Resposta correta:
Desenvolvendo pela primeira linha, . Quem obtém esqueceu o sinal alternado do segundo termo do desenvolvimento.Pergunta 4Seja uma matriz de ordem com . Quanto vale ?
Resposta correta:
A transposta tem o mesmo determinante, e multiplicar a matriz por multiplica por cada uma de suas três linhas; pela linearidade em cada linha, o determinante fica multiplicado por , e vale . Quem obtém multiplicou por uma só vez, como se tivesse uma só linha multiplicada.Pergunta 5Qual é a inversa da matriz ?
É a matriz dos cofatores sem transpor. A inversa é a adjunta, isto é, a transposta da matriz dos cofatores, dividida pelo determinante.É a matriz dos inversos dos elementos, que não é a inversa: seu produto por não é a identidade. A inversa de uma matriz não se calcula elemento a elemento.Trocaram-se os elementos da diagonal principal, mas não se mudou o sinal dos da outra diagonal; o produto por tem elementos não nulos fora da diagonal.O determinante é ; pela fórmula de ordem dois, trocam-se os elementos da diagonal principal, muda-se o sinal dos da outra e divide-se por . O produto por dá a identidade.Revisar: A matriz inversa
Pergunta 6Sejam , e matrizes quadradas da mesma ordem, com e invertíveis. Qual é a solução da equação ?
As inversas foram colocadas nos lados contrários. Como o produto não é comutativo, para eliminar , que está à esquerda de , é preciso multiplicar por à esquerda.Multiplicou-se tudo pela esquerda. Multiplicar por à esquerda de não elimina , que está à direita de .O quociente de matrizes não está definido, porque não indicaria por qual lado se multiplica; a equação se resolve com as inversas, cada uma em seu lado.Multiplica-se por à esquerda, o lado em que está , e por à direita, o lado em que está ; pela associatividade, .Revisar: A matriz inversa
Pergunta 7Qual é a matriz da transformação do plano que gira cada vetor um quarto de volta no sentido anti-horário em torno da origem e depois o reflete no eixo das abscissas?
É , a composição na ordem contrária: refletir primeiro e girar depois. Na matriz de uma composição, a transformação que se aplica primeiro é o fator da direita.É só a rotação de um quarto de volta; falta compô-la com a reflexão.É a rotação de um quarto de volta no sentido horário. Tem determinante , e a composição de uma rotação com uma reflexão inverte a orientação, de modo que seu determinante é .A composição da reflexão , de linhas e , depois da rotação , de linhas e , tem matriz : o fator que se aplica primeiro vai à direita. Suas colunas são as imagens de , que vai para e depois para , e de , que vai para e não muda mais.Pergunta 8Seja a matriz da multiplicação pelo complexo . Calcular .
Resposta correta:
A matriz de tem linhas e , e seu determinante é ; aqui, . Quem obtém calculou , esquecendo o sinal do elemento , e quem obtém tomou o módulo em vez de seu quadrado.Revisar: Os números complexos como matrizes
Pergunta 9Qual destes conjuntos, com a operação indicada, é um grupo?
O produto de inteiros é associativo e tem neutro , mas não tem inverso, porque nenhum inteiro satisfaz .A soma de naturais é associativa, mas não tem neutro, porque os naturais começam em , e também não há opostos.O conjunto não é fechado: em , que não pertence a ele. Os divisores de zero impedem que os restos não nulos formem um grupo.Como é primo, é um corpo: o produto de dois restos não nulos não é nulo, é associativo, tem neutro e cada resto não nulo tem inverso.Pergunta 10Uma cidade tem mil habitantes no centro e mil na periferia. A cada ano, por cento dos habitantes do centro se mudam para a periferia e por cento dos da periferia se mudam para o centro; ninguém mais chega nem sai. Se as proporções se mantiverem, quantos milhares de habitantes terá o centro ao fim de dois anos?
Resposta correta:
Com o vetor das populações do centro e da periferia ao fim de anos, a cada ano se multiplica pela matriz de transição de linhas , e , , cuja coluna reparte os habitantes da zona ; pela associatividade do produto, . O primeiro ano dá e , e o segundo, e , com o total de conservado. Quem obtém calculou um só ano; quem obtém usou a transposta de , cujas colunas não somam , de modo que o total não se conserva.Revisar: Matrizes e operações com matrizes
Pergunta 11De unidades anterioresResolver pela regra de Cramer o sistema , , e dar o valor de .
Resposta correta:
O determinante do sistema é , e o que se obtém ao substituir a coluna de pelos termos independentes é ; donde , e também . Quem obtém calculou um dos dois determinantes com o produto das diagonais na ordem contrária.Revisar: Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares
Pergunta 12De unidades anterioresAchar o inverso de módulo , isto é, o resto entre e tal que .
Resposta correta:
Como , o inverso existe, e . Quem responde buscou o inverso nos racionais, e não um resto módulo .Revisar: Congruências e aritmética modular
Pergunta 13De unidades anterioresQual é a forma polar de ?
Trocaram-se o cosseno e o seno: corresponderia à parte real, mas a parte real é .Tomou-se o quadrado do módulo, , sem extrair a raiz.É o complexo , do segundo quadrante; tem a parte real positiva e está no primeiro.O módulo é , e o argumento é o ângulo do primeiro quadrante cujo cosseno é e cujo seno é , isto é, .Revisar: A forma polar dos números complexos
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