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Topos Uranos
Português

A matriz inversa

Resumo

Esta aula estuda a matriz inversa, que faz com as matrizes quadradas o que o inverso faz com os números não nulos. Demonstra que a inversa, quando existe, é única; que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante não é nulo, e que nesse caso a inversa é a matriz adjunta, formada pelos cofatores, dividida pelo determinante; daí obtém a fórmula da inversa de ordem dois. Demonstra as propriedades da inversa do produto, da transposta e das potências, traduz cada operação elementar sobre linhas no produto por uma matriz elementar e deduz disso o método de Gauss-Jordan, que obtém a inversa transformando a matriz (A,I)\left( A, I \right) em (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right). Por último, resolve as equações matriciais e reúne em um só teorema as condições equivalentes à invertibilidade, que relacionam a inversa com o determinante, com o posto e com os sistemas de equações lineares; delas deduz que basta verificar um dos dois produtos da definição, e com as matrizes elementares demonstra que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir a matriz inversa, demonstrar sua unicidade e decidir se uma matriz é invertível por meio de seu determinante.
  2. Calcular a inversa por meio da matriz adjunta, em particular com a fórmula de ordem dois, e por meio do método de Gauss-Jordan, justificando ambos os procedimentos.
  3. Aplicar as propriedades da inversa do produto, da transposta e das potências, e resolver equações matriciais respeitando a ordem dos fatores.
  4. Relacionar a invertibilidade de uma matriz com o posto, com as matrizes elementares e com a existência e unicidade das soluções dos sistemas lineares, e demonstrar com as matrizes elementares que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.

A matriz inversa

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os conjuntos numéricos viu-se que todo número aa não nulo tem um inverso a−1a^{-1}, que permite resolver a equação ax=bax = b multiplicando seus dois membros por a−1a^{-1}. Na aula sobre matrizes e operações com matrizes, um sistema de equações lineares foi escrito como uma única equação AX=BAX = B, e a matriz identidade II revelou-se o neutro do produto. Se isto é assim, a pergunta natural é se existe uma matriz que desempenhe, em relação a AA, o papel do inverso, de modo que o sistema se resolva com uma única multiplicação. Ora, o produto de matrizes não é comutativo, de modo que a definição deve exigir as duas igualdades; e para que ABAB e BABA tenham o mesmo tamanho que II, a matriz AA deve ser quadrada.

Uma matriz quadrada AA de ordem nn é invertível quando existe uma matriz BB de ordem nn tal que AB=BA=IAB = BA = I, onde II é a identidade de ordem nn. Uma matriz BB com essa propriedade chama-se inversa de AA.

Por exemplo, as duas matrizes abaixo são inversas uma da outra, como se verifica multiplicando-as nas duas ordens:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Nem toda matriz não nula é invertível, e nisto as matrizes se separam dos números. Uma matriz com uma linha nula não o é, porque o produto dessa linha por qualquer coluna é 00, de modo que ABAB tem uma linha nula para toda BB e não pode ser a identidade. Tampouco o é uma matriz AA para a qual exista CC não nula com AC=0AC = 0, um dos divisores de zero da aula sobre as matrizes: se AA tivesse inversa BB, ter-se-ia C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0; e tampouco o é CC, porque se tivesse inversa BB ter-se-ia A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Por exemplo, a matriz de linhas 1,11, 1 e 1,11, 1 multiplicada pela de linhas 1,−11, -1 e −1,1-1, 1 dá a matriz nula, e nenhuma das duas é invertível.

LemaUnicidade da inversa

Uma matriz quadrada tem no máximo uma inversa: se AB=BA=IAB = BA = I e AD=DA=IAD = DA = I, então B=DB = D.

A demonstração é a da unicidade do oposto e do inverso da aula do curso I sobre os conjuntos numéricos, com a ressalva de que não se pode usar a comutatividade; em seu lugar usa-se uma igualdade de cada lado, com a associatividade do produto de matrizes e o caráter neutro da identidade, demonstrados na aula sobre as matrizes. A figura escreve cada produto como uma fila de fatores e assinala os dois que se agrupam.

Demonstração

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Partimos das duas hipóteses: BB e DD cumprem, cada uma, as duas igualdades da definição.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Como II é o neutro do produto, B=BIB = BI; substituímos II por ADAD, que é a igualdade de DD pela direita.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Pela associatividade agrupamos de outro modo, e usamos a igualdade de BB pela esquerda, BA=IBA = I. Os dois fatores que se agrupam mudam, mas a ordem das três matrizes não.

A única inversa de AA, quando existe, é denotada por A−1A^{-1}. Não se deve escrevê-la como uma fração 1A\frac{1}{A}, nem o produto BA−1BA^{-1} como um quociente BA\frac{B}{A}: como BA−1BA^{-1} e A−1BA^{-1}B são, em geral, distintas, essa escrita não indicaria por qual lado se multiplica. Arthur Cayley, que em 1858 fundou o cálculo com matrizes, já definiu a inversa por meio da matriz adjunta da seção “Determinante e invertibilidade”.