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Topos Uranos
Français

La matrice inverse

Résumé

Cette leçon étudie la matrice inverse, qui fait pour les matrices carrées ce que l’inverse fait pour les nombres non nuls. Elle démontre que l’inverse, lorsqu’elle existe, est unique ; qu’une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et que dans ce cas l’inverse est la matrice complémentaire, formée par les cofacteurs, divisée par le déterminant ; elle en tire la formule de l’inverse d’ordre deux. Elle démontre les propriétés de l’inverse du produit, de la transposée et des puissances, traduit chaque opération élémentaire sur les lignes en un produit par une matrice élémentaire et en déduit la méthode de Gauss-Jordan, qui obtient l’inverse en transformant la matrice (A,I)\left( A, I \right) en (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right). Enfin, elle résout les équations matricielles et réunit en un seul théorème les conditions équivalentes à l’inversibilité, qui relient l’inverse au déterminant, au rang et aux systèmes d’équations linéaires ; elle en déduit qu’il suffit de vérifier l’un des deux produits de la définition, et, avec les matrices élémentaires, elle démontre que le déterminant d’un produit est le produit des déterminants.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir la matrice inverse, démontrer son unicité et décider si une matrice est inversible au moyen de son déterminant.
  2. Calculer l’inverse au moyen de la matrice complémentaire, en particulier avec la formule d’ordre deux, et au moyen de la méthode de Gauss-Jordan, en justifiant les deux procédés.
  3. Appliquer les propriétés de l’inverse du produit, de la transposée et des puissances, et résoudre des équations matricielles en respectant l’ordre des facteurs.
  4. Relier l’inversibilité d’une matrice au rang, aux matrices élémentaires et à l’existence et l’unicité des solutions des systèmes linéaires, et démontrer avec les matrices élémentaires que le déterminant d’un produit est le produit des déterminants.

La matrice inverse

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les ensembles de nombres, nous avons vu que tout nombre aa non nul a un inverse a−1a^{-1}, qui permet de résoudre l’équation ax=bax = b en multipliant ses deux membres par a−1a^{-1}. Dans la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices, un système d’équations linéaires a été écrit comme une seule équation AX=BAX = B, et la matrice identité II s’est révélée être l’élément neutre du produit. S’il en est ainsi, la question naturelle est de savoir s’il existe une matrice qui joue, par rapport à AA, le rôle de l’inverse, de sorte que le système se résolve par une seule multiplication. Or le produit matriciel n’est pas commutatif, de sorte que la définition doit exiger les deux égalités ; et pour que ABAB et BABA aient la même taille que II, la matrice AA doit être carrée.

Une matrice carrée AA d’ordre nn est inversible lorsqu’il existe une matrice BB d’ordre nn telle que AB=BA=IAB = BA = I, où II est l’identité d’ordre nn. Une matrice BB ayant cette propriété est appelée inverse de AA.

Par exemple, les deux matrices ci-dessous sont inverses l’une de l’autre, comme le montre leur produit calculé dans les deux ordres :

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Une matrice non nulle n’est pas toujours inversible, et en cela les matrices se distinguent des nombres. Une matrice ayant une ligne nulle ne l’est pas, car le produit de cette ligne par n’importe quelle colonne vaut 00, de sorte que ABAB a une ligne nulle pour toute BB et ne peut pas être l’identité. Ne l’est pas non plus une matrice AA pour laquelle il existe CC non nulle telle que AC=0AC = 0, l’un des diviseurs de zéro de la leçon sur les matrices : si AA avait une inverse BB, nous aurions C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0 ; et CC ne l’est pas davantage, car si elle avait une inverse BB nous aurions A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Par exemple, la matrice de lignes 1,11, 1 et 1,11, 1 multipliée par celle de lignes 1,−11, -1 et −1,1-1, 1 donne la matrice nulle, et aucune des deux n’est inversible.

LemmeUnicité de l’inverse

Une matrice carrée a au plus une inverse : si AB=BA=IAB = BA = I et AD=DA=IAD = DA = I, alors B=DB = D.

La démonstration est celle de l’unicité de l’opposé et de l’inverse dans la leçon du cours I sur les ensembles de nombres, à ceci près que la commutativité ne peut pas être utilisée ; à sa place sert une égalité de chaque côté, avec l’associativité du produit matriciel et le caractère neutre de l’identité, démontrés dans la leçon sur les matrices. La figure écrit chaque produit comme une rangée de facteurs et signale les deux qui sont regroupés.

Démonstration

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Nous partons des deux hypothèses : BB et DD vérifient, chacune, les deux égalités de la définition.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Comme II est l’élément neutre du produit, B=BIB = BI ; nous remplaçons II par ADAD, qui est l’égalité de DD à droite.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Par associativité, nous regroupons autrement, et nous utilisons l’égalité de BB à gauche, BA=IBA = I. Les deux facteurs regroupés changent, mais l’ordre des trois matrices, non.

L’unique inverse de AA, lorsqu’elle existe, est notée A−1A^{-1}. Il ne faut pas l’écrire comme une fraction 1A\frac{1}{A}, ni le produit BA−1BA^{-1} comme un quotient BA\frac{B}{A} : comme BA−1BA^{-1} et A−1BA^{-1}B sont, en général, distinctes, cette écriture n’indiquerait pas de quel côté se fait la multiplication. Arthur Cayley, qui fonda en 1858 le calcul matriciel, définissait déjà l’inverse au moyen de la matrice complémentaire de la section « Déterminant et inversibilité ».