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Topos Uranos
Français

Les matrices comme transformations du plan

Résumé

Cette leçon interprète chaque matrice à deux lignes et deux colonnes comme une transformation du plan, celle qui envoie chaque v⃗\vec{v}, écrit en colonne, sur le vecteur Av⃗A\vec{v}. Elle démontre que ces transformations sont exactement les transformations linéaires et que chacune est déterminée par les images des deux vecteurs de la base canonique, qui sont les colonnes de sa matrice. Avec ce principe, elle obtient les matrices des rotations, des projections sur les droites passant par l’origine et des symétries par rapport à ces droites, des homothéties et des cisaillements. Elle démontre que composer des transformations revient à multiplier leurs matrices, d’où découlent l’addition des angles de deux rotations, le fait que la composée de deux symétries axiales est une rotation d’angle double de l’angle entre leurs axes, et le fait que les symétries axiales ne commutent pas en général. Elle interprète le déterminant comme le facteur par lequel la transformation multiplie les aires, avec un signe négatif lorsqu’elle renverse l’orientation, et caractérise les transformations bijectives comme celles de déterminant non nul. Elle se termine en récrivant sous forme matricielle la rotation des axes de l’équation générale du second degré.

Objectifs d’apprentissage

  1. Reconnaître une matrice comme transformation linéaire du plan et obtenir la matrice d’une transformation au moyen des images des vecteurs de la base canonique.
  2. Écrire et établir les matrices des rotations, projections, symétries axiales, homothéties et cisaillements, et décrire géométriquement l’effet d’une matrice donnée.
  3. Démontrer que la composition des transformations correspond au produit des matrices et l’appliquer à la composition de rotations et de symétries axiales.
  4. Interpréter le déterminant comme facteur d’aire et d’orientation, décider quand une transformation est inversible et exprimer avec des matrices la rotation des axes d’une équation du second degré.

Les matrices comme transformations

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les vecteurs du plan, un vecteur a été défini comme un couple de nombres réels, et dans la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices on a défini le produit d’une matrice par une autre, ligne par colonne. Si le couple (x,y)(x, y) s’écrit en colonne, c’est-à-dire comme une matrice à deux lignes et une colonne, une matrice AA à deux lignes et deux colonnes peut le multiplier, et le résultat est une autre colonne à deux coefficients, c’est-à-dire un autre vecteur. Ainsi, chaque matrice déplace les points du plan, et l’algèbre des matrices acquiert une signification géométrique. Désormais, nous identifions le couple (x,y)(x, y) à la colonne de coefficients xx et yy, et nous appelons e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) et e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) les vecteurs de la base canonique, de sorte que tout vecteur s’écrit v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2.

Une transformation du plan est une fonction qui associe à chaque vecteur du plan un autre vecteur du plan. Si AA est une matrice à deux lignes et deux colonnes, la transformation de matrice AA est celle qui associe à chaque v⃗\vec{v} le produit Av⃗A\vec{v}.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

Par exemple, la matrice de coefficients 22, 00, 00 et 33 envoie le point (x,y)(x, y) sur le point (2x,3y)(2x, 3y) : elle étire le plan du double dans la direction horizontale et du triple dans la direction verticale. Les transformations de matrice ont une propriété qui les distingue des autres fonctions du plan, et qu’exprime la définition ci-dessous.

Une transformation TT du plan est linéaire si elle conserve la somme des vecteurs et le produit d’un vecteur par un nombre : pour tous u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} du plan et tout nombre réel tt, les deux égalités ci-dessous sont vérifiées.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
ThéorèmeLes colonnes de la matrice

Toute transformation de matrice est linéaire, et les colonnes de sa matrice sont les images des vecteurs de la base canonique : la première est l’image de e⃗1\vec{e}_1 et la seconde celle de e⃗2\vec{e}_2. Dans l’autre sens, toute transformation linéaire du plan est la transformation d’une unique matrice, à savoir celle qui a pour colonnes T(e⃗1)T(\vec{e}_1) et T(e⃗2)T(\vec{e}_2).

Nous utilisons la distributivité du produit matriciel et sa compatibilité avec la multiplication par un nombre, démontrées dans la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices. La figure suit la transformation de matrice AA de colonnes (2,1)(2, 1) et (−1,1)(-1, 1).

Démonstration

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    Soit AA une matrice et TT sa transformation. La distributivité et la compatibilité avec la multiplication par un nombre donnent les deux conditions de la linéarité ; sur la figure, le parallélogramme formé par u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est envoyé sur celui que forment leurs images.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    Nous calculons l’image de e⃗1\vec{e}_1 : en multipliant ligne par colonne, seul compte, dans chaque ligne de AA, le premier coefficient.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    De même, dans l’image de e⃗2\vec{e}_2, seul compte le second coefficient de chaque ligne.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    Soit maintenant TT une transformation linéaire quelconque, et soit AA la matrice dont les colonnes sont T(e⃗1)T(\vec{e}_1) et T(e⃗2)T(\vec{e}_2). Nous écrivons v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 et appliquons la linéarité ; par les deux étapes ci-dessus, T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 et T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2. Sur la figure, le quadrillage du plan est envoyé sur un quadrillage de parallélogrammes.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    Si une autre matrice BB vérifiait aussi T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} pour tout v⃗\vec{v}, les colonnes de BB, qui sont Be⃗1B\vec{e}_1 et Be⃗2B\vec{e}_2, coïncideraient avec celles de AA ; la matrice est unique.

Le théorème ramène l’étude d’une transformation linéaire à celle de deux vecteurs : pour connaître la matrice, il suffit de savoir où vont e⃗1\vec{e}_1 et e⃗2\vec{e}_2, et pour savoir ce que fait une matrice, il suffit de lire ses colonnes. De la linéarité découlent en outre plusieurs propriétés géométriques. L’origine reste fixe, car A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0} ; c’est pourquoi les translations, qui déplacent l’origine, ne sont pas linéaires. La droite d’équation vectorielle p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}, étudiée dans la leçon du cours I sur les vecteurs, est envoyée sur l’ensemble des points Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}, qui est une droite si Ad⃗A\vec{d} n’est pas nul et un seul point s’il l’est. De même, un segment est envoyé sur un segment ou sur un point, des droites parallèles sur des droites parallèles ou sur des points, et le carré de sommets 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 et e⃗2\vec{e}_2, que nous appellerons carré unité, est envoyé sur le parallélogramme, peut-être aplati, que forment les deux colonnes de la matrice.