Español
English
Português
中文 (中国)
हिन्दी
Русский
Français
Deutsch
Ελληνικά
Italiano
日本語
한국어
Latineملخص
يفسّر درسنا هذا كل مصفوفة ذات صفين وعمودين بوصفها تحويلًا للمستوى، هو التحويل الذي ينقل كل متجه ، مكتوبًا عمودًا، إلى المتجه . ويبرهن أن هذه التحويلات هي بالضبط التحويلات الخطية، وأن كلًّا منها يتعيّن بصورتي متجهي الأساس، وهما عمودا مصفوفته. وبهذا المبدأ يستخرج مصفوفات الدورانات، والإسقاطات والانعكاسات على مستقيمات تمر بالأصل، والتحاكيات، والقصوص. ويبرهن أن تركيب التحويلات يكافئ ضرب مصفوفاتها، ومن ذلك ينتج جمع زاويتي دورانين، وكون انعكاسين مركّبين يعطيان دورانًا بضعف الزاوية بين مستقيميهما، وكون الانعكاسات لا تتبادل عمومًا. ويفسّر المحدد بأنه المعامل الذي يضرب به التحويل المساحات، بإشارة سالبة حين يعكس التوجيه، ويميّز التحويلات التقابلية بأنها ذات المحدد غير المنعدم. ويختم بإعادة كتابة دوران المحاور في المعادلة العامة من الدرجة الثانية بالمصفوفات.
أهداف التعلم
- التعرف على المصفوفة بوصفها تحويلًا خطيًا للمستوى، وإيجاد مصفوفة تحويل انطلاقًا من صورتي متجهي الأساس.
- كتابة مصفوفات الدورانات والإسقاطات والانعكاسات والتحاكيات والقصوص واستنتاجها، ووصف أثر مصفوفة معطاة وصفًا هندسيًا.
- البرهنة على أن تركيب التحويلات يقابله جداء المصفوفات، وتطبيق ذلك على تركيب الدورانات والانعكاسات.
- تفسير المحدد بوصفه معاملًا للمساحة وللتوجيه، والحكم متى يكون التحويل قابلًا للقلب، والتعبير بالمصفوفات عن دوران المحاور في معادلة من الدرجة الثانية.
المصفوفات بوصفها تحويلات
في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمتجهات في المستوى عُرِّف المتجه بأنه زوج مرتب من الأعداد الحقيقية، وفي الدرس الخاص بـالمصفوفات والعمليات على المصفوفات عُرِّف جداء مصفوفة في أخرى، صفًّا في عمود. فإذا كُتب الزوج عمودًا، أي مصفوفةً ذات صفين وعمود واحد، أمكن لمصفوفة ذات صفين وعمودين أن تضربه، والنتيجة عمود آخر ذو مُدخلتين، أي متجه آخر. وهكذا تحرّك كل مصفوفة نقاط المستوى، ويكتسب جبر المصفوفات معنى هندسيًا. وفيما يلي نطابق الزوج مع العمود ذي المُدخلتين و، ونسمّي و متجهي الأساس، بحيث يُكتب كل متجه على الصورة .
تحويل المستوى دالة تُقرن بكل متجه من المستوى متجهًا آخر من المستوى. وإذا كانت مصفوفة ذات صفين وعمودين، فإن التحويل ذا المصفوفة هو الذي يُقرن بكل الجداء .
مثلًا، المصفوفة ذات المُدخلات و و و تنقل النقطة إلى النقطة : فهي تمطّ المستوى إلى الضعف في الاتجاه الأفقي وإلى ثلاثة أمثاله في الاتجاه الرأسي. وللتحويلات ذات المصفوفة خاصية تميّزها من سائر دوال المستوى، ويُعبَّر عنها بالتعريف الآتي.
يكون التحويل للمستوى خطيًا إذا حفظ جمع المتجهات وضرب المتجه في عدد: لكل و من المستوى ولكل عدد حقيقي تتحقق المساواتان الآتيتان.
كل تحويل ذي مصفوفة خطي، وأعمدة مصفوفته هي صور متجهي الأساس: الأول صورة والثاني صورة . وبالعكس، كل تحويل خطي للمستوى هو تحويل مصفوفة وحيدة، هي المصفوفة التي عموداها و.
تُستعمل خاصية توزيع جداء المصفوفات وتوافقه مع الضرب في عدد، وقد بُرهن عليهما في الدرس الخاص بالمصفوفات والعمليات على المصفوفات. ويتتبع الرسم التحويل ذا المصفوفة التي عموداها و.
البرهان
لتكن مصفوفة و تحويلها. خاصية التوزيع والتوافق مع الضرب في عدد يعطيان شرطي الخطية؛ وفي الرسم، ينتقل متوازي الأضلاع الذي يكوّنه و إلى متوازي الأضلاع الذي تكوّنه صورتاهما.
نحسب صورة : عند الضرب صفًّا في عمود، لا يُعتدّ من كل صف من صفوف إلا بالمُدخلة الأولى.
وبالمثل، في صورة لا يُعتدّ إلا بالمُدخلة الثانية من كل صف.
ليكن الآن تحويلًا خطيًا ما، ولتكن المصفوفة التي عموداها و. نكتب ونطبّق الخطية؛ وبالحسابين المذكورين أعلاه، و. وفي الرسم، تنتقل شبكة المستوى إلى شبكة من متوازيات الأضلاع.
لو حققت مصفوفة أخرى أيضًا لكل ، لكان عمودا ، وهما و، منطبقين على عمودي ؛ فالمصفوفة وحيدة.
تردّ المبرهنة دراسة التحويل الخطي إلى دراسة متجهين: فلمعرفة المصفوفة يكفي أن نعرف إلى أين يذهب و، ولمعرفة ما تفعله المصفوفة يكفي أن نقرأ عموديها. وتنتج من الخطية فوق ذلك عدة خواص هندسية. فالأصل يبقى ثابتًا، لأن ؛ ولذلك فالانسحابات، التي تحرّك الأصل، ليست خطية. والمستقيم ذو المعادلة المتجهية ، الذي دُرس في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بالمتجهات، ينتقل إلى مجموعة النقاط ، وهي مستقيم إذا لم يكن منعدمًا ونقطة واحدة إذا كان منعدمًا. وبالمثل، تنتقل القطعة المستقيمة إلى قطعة مستقيمة أو إلى نقطة، وتنتقل المستقيمات المتوازية إلى مستقيمات متوازية أو إلى نقاط، وينتقل المربع ذو الرؤوس و و و، الذي سنسمّيه المربع الواحدي، إلى متوازي الأضلاع، وربما كان مسطّحًا، الذي يكوّنه عمودا المصفوفة.
جارٍ تحميل المحتوى…