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Topos Uranos
中文 (中国)

作为平面变换的矩阵

摘要

本课把每个两行两列的矩阵解释为平面的一个变换，即把每个 v⃗\vec{v}（写成列）变为向量 Av⃗A\vec{v} 的变换。本课证明这些变换恰好就是线性变换，并且每个线性变换由两个基本向量的像决定，而这两个像正是其矩阵的列。借助这一原理，本课求出旋转、对过原点的直线的投影与反射、位似以及剪切的矩阵。本课证明复合变换等价于矩阵相乘，由此得出两个旋转的角相加、两个反射复合而成的是转角为两条直线夹角两倍的旋转，以及反射一般不可交换。本课把行列式解释为变换使面积放大的倍数，变换改变定向时带负号，并把双射的变换刻画为行列式不为零的变换。最后，本课用矩阵重写二元二次方程的一般式中的坐标轴的旋转。

学习目标

  1. 把矩阵看作平面的线性变换，并由基本向量的像求出一个变换的矩阵。
  2. 写出并推导旋转、投影、反射、位似和剪切的矩阵，并从几何上描述给定矩阵的作用。
  3. 证明变换的复合对应于矩阵的乘积，并把它应用于旋转的复合与反射的复合。
  4. 把行列式解释为面积与定向的因子，判断变换何时可逆，并用矩阵表示二次方程的坐标轴的旋转。

作为变换的矩阵

在课程 代数与几何 I 中关于平面向量的课里，向量被定义为实数的有序对；在关于矩阵及其运算的课里，定义了一个矩阵与另一个矩阵的乘积，即行乘列。如果把数对 (x,y)(x, y) 写成一列，也就是写成两行一列的矩阵，那么两行两列的矩阵 AA 就可以与它相乘，结果是另一个有两个元素的列，也就是另一个向量。这样，每个矩阵都使平面上的点移动，矩阵的代数也就获得了几何意义。以下我们把数对 (x,y)(x, y) 与元素为 xx 和 yy 的列等同起来，并把 e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) 和 e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) 称为基本向量，于是每个向量都可写成 v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2。

平面变换是一个函数，它给平面上的每个向量对应平面上的另一个向量。若 AA 是两行两列的矩阵，则以矩阵给出的变换（其矩阵为 AA）是给每个 v⃗\vec{v} 对应乘积 Av⃗A\vec{v} 的变换。
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

例如，元素为 22、00、00 和 33 的矩阵把点 (x,y)(x, y) 变为点 (2x,3y)(2x, 3y)：它把平面在水平方向拉伸为原来的两倍，在竖直方向拉伸为原来的三倍。以矩阵给出的变换有一个性质，使它们区别于平面上的其他函数，这一性质用下面的定义来表述。

平面的变换 TT 称为线性的，如果它保持向量的加法和向量与数的乘法：对平面上所有的 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 以及每个实数 tt，下面两个等式都成立。
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
定理矩阵的列

每个以矩阵给出的变换都是线性的，并且其矩阵的列是基本向量的像：第一列是 e⃗1\vec{e}_1 的像，第二列是 e⃗2\vec{e}_2 的像。反过来，平面的每个线性变换都是唯一一个矩阵给出的变换，即以 T(e⃗1)T(\vec{e}_1) 和 T(e⃗2)T(\vec{e}_2) 为列的矩阵。

要用到矩阵乘法的分配律以及它与数乘的相容性，它们已在关于矩阵及其运算的课中证明。图中追踪的是矩阵 AA（列为 (2,1)(2, 1) 和 (−1,1)(-1, 1)）给出的变换。

证明

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    设 AA 是一个矩阵，TT 是它给出的变换。分配律和与数乘的相容性给出线性的两个条件；图中，由 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 构成的平行四边形变为由它们的像构成的平行四边形。

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    计算 e⃗1\vec{e}_1 的像：按行乘列相乘时，AA 的每一行只有第一个元素起作用。

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    同样，在 e⃗2\vec{e}_2 的像中，每一行只有第二个元素起作用。

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    现在设 TT 是任意一个线性变换，并设 AA 是以 T(e⃗1)T(\vec{e}_1) 和 T(e⃗2)T(\vec{e}_2) 为列的矩阵。写出 v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 并利用线性；由上面两个计算，T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 且 T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2。图中，平面的网格变为由平行四边形构成的网格。

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    如果另一个矩阵 BB 也满足 T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v}（对每个 v⃗\vec{v}），那么 BB 的列，即 Be⃗1B\vec{e}_1 和 Be⃗2B\vec{e}_2，将与 AA 的列重合；所以矩阵是唯一的。

这条定理把对一个线性变换的研究归结为对两个向量的研究：要知道矩阵，只需知道 e⃗1\vec{e}_1 和 e⃗2\vec{e}_2 变到哪里；要知道一个矩阵做什么，只需读出它的列。此外，由线性还可推出若干几何性质。原点保持不动，因为 A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}；因此，移动原点的平移不是线性的。向量方程为 p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d} 的直线（已在课程 I 中关于向量的课里研究过）变为点集 Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}，当 Ad⃗A\vec{d} 不为零时它是一条直线，为零时它是一个点。同样，一条线段变为一条线段或一个点，平行直线变为平行直线或点，而顶点为 0⃗\vec{0}、e⃗1\vec{e}_1、e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 和 e⃗2\vec{e}_2 的正方形（我们称之为单位正方形）变为由矩阵的两列构成的平行四边形，这个平行四边形可能是压扁的。