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Topos Uranos
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평면 변환으로서의 행렬

요약

이 수업에서는 2행 2열의 각 행렬을 평면의 변환으로 해석한다. 즉, 각 v⃗\vec{v}(열로 쓴 것)를 벡터 Av⃗A\vec{v}로 옮기는 변환이다. 이러한 변환이 정확히 일차변환이며, 각 일차변환은 두 기본벡터의 상으로 결정되고 그 상이 행렬의 열임을 증명한다. 이 원리로 회전, 원점을 지나는 직선 위로의 사영과 그 직선에 대한 대칭이동, 위치닮음변환, 층밀림의 행렬을 구한다. 변환의 합성이 행렬의 곱셈과 같음을 증명하고, 이로부터 두 회전의 각의 합, 두 대칭이동을 합성하면 두 직선이 이루는 각의 두 배만큼의 회전이 된다는 사실, 그리고 대칭이동은 일반적으로 교환 가능하지 않다는 사실을 이끌어 낸다. 행렬식을 변환이 넓이에 곱하는 배율로 해석하되 향을 뒤집을 때는 음의 부호가 붙음을 보이고, 전단사인 변환을 행렬식이 영이 아닌 변환으로 특징짓는다. 끝으로 일반 이차방정식의 좌표축의 회전을 행렬의 꼴로 다시 쓴다.

학습 목표

  1. 행렬을 평면의 일차변환으로 인식하고, 기본벡터의 상으로부터 변환의 행렬을 구한다.
  2. 회전, 사영, 대칭이동, 위치닮음변환, 층밀림의 행렬을 쓰고 유도하며, 주어진 행렬의 효과를 기하학적으로 기술한다.
  3. 변환의 합성이 행렬의 곱에 대응함을 증명하고, 이를 회전의 합성과 대칭이동의 합성에 응용한다.
  4. 행렬식을 넓이와 향의 배율로 해석하고, 변환이 가역일 때를 판정하며, 이차방정식의 좌표축의 회전을 행렬로 나타낸다.

변환으로서의 행렬

강좌 대수학과 기하학 I의 평면벡터에 관한 수업에서는 벡터를 실수의 순서쌍으로 정의했고, 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업에서는 행렬과 다른 행렬의 곱을 행과 열의 곱으로 정의했다. 쌍 (x,y)(x, y)를 열로, 즉 2행 1열의 행렬로 쓰면, 2행 2열의 행렬 AA를 그것에 곱할 수 있고, 그 결과는 성분이 두 개인 또 하나의 열, 즉 또 하나의 벡터이다. 이렇게 각 행렬은 평면의 점을 움직이고, 행렬의 대수는 기하학적 의미를 얻는다. 이하에서는 쌍 (x,y)(x, y)를 성분이 xx와 yy인 열과 동일시하고, e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0)과 e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1)을 기본벡터라 부른다. 그러면 모든 벡터는 v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2로 쓸 수 있다.

평면의 변환이란 평면의 각 벡터에 평면의 또 하나의 벡터를 대응시키는 함수이다. AA가 2행 2열의 행렬일 때, 행렬 AA의 변환이란 각 v⃗\vec{v}에 곱 Av⃗A\vec{v}를 대응시키는 변환이다.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

예를 들어 성분이 22, 00, 00, 33인 행렬은 점 (x,y)(x, y)를 점 (2x,3y)(2x, 3y)로 옮긴다. 이 행렬은 평면을 수평 방향으로 두 배, 연직 방향으로 세 배 늘인다. 행렬의 변환에는 평면의 다른 함수와 구별되는 성질이 있으며, 그 성질은 아래의 정의로 표현된다.

평면의 변환 TT가 선형이라는 것은 벡터의 합과 벡터의 실수배를 보존한다는 것이다. 즉, 평면의 모든 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}, 그리고 모든 실수 tt에 대하여 아래의 두 등식이 성립한다.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
정리행렬의 열

행렬의 변환은 모두 선형이고, 그 행렬의 열은 기본벡터의 상이다. 첫째 열은 e⃗1\vec{e}_1의 상이고 둘째 열은 e⃗2\vec{e}_2의 상이다. 역으로, 평면의 모든 일차변환은 단 하나의 행렬의 변환이며, 그 행렬은 T(e⃗1)T(\vec{e}_1)과 T(e⃗2)T(\vec{e}_2)를 열로 가지는 행렬이다.

행렬의 곱의 분배법칙과 실수배와의 양립성을 사용한다. 이는 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업에서 증명했다. 그림은 행렬 AA(열은 (2,1)(2, 1)과 (−1,1)(-1, 1))의 변환을 따라간다.

증명

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    AA를 행렬, TT를 그 변환이라 하자. 분배법칙과 실수배와의 양립성으로부터 선형성의 두 조건이 나온다. 그림에서 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 이루는 평행사변형은 그 상들이 이루는 평행사변형으로 옮겨진다.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    e⃗1\vec{e}_1의 상을 계산한다. 행과 열의 곱에서는 AA의 각 행에서 첫째 성분만 남는다.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    마찬가지로 e⃗2\vec{e}_2의 상에서는 각 행의 둘째 성분만 남는다.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    이제 TT를 임의의 일차변환이라 하고, AA를 T(e⃗1)T(\vec{e}_1)과 T(e⃗2)T(\vec{e}_2)를 열로 가지는 행렬이라 하자. v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2로 쓰고 선형성을 적용한다. 위의 두 계산에 의해 T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1이고 T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2이다. 그림에서 평면의 격자는 평행사변형의 격자로 옮겨진다.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    또 하나의 행렬 BB도 T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v}를 만족한다면(모든 v⃗\vec{v}에 대하여), BB의 열, 즉 Be⃗1B\vec{e}_1과 Be⃗2B\vec{e}_2는 AA의 열과 일치할 것이다. 따라서 행렬은 유일하다.

이 정리는 일차변환의 연구를 두 벡터의 연구로 환원한다. 행렬을 알려면 e⃗1\vec{e}_1과 e⃗2\vec{e}_2가 어디로 가는지 알면 충분하고, 행렬이 무엇을 하는지 알려면 그 열을 읽으면 충분하다. 또한 선형성으로부터 몇 가지 기하학적 성질이 따라 나온다. 원점은 고정된다. 왜냐하면 A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}이기 때문이다. 그래서 원점을 움직이는 평행이동은 선형이 아니다. 벡터방정식 p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}의 직선(강좌 I의 벡터에 관한 수업에서 다룬 것)은 점들의 집합 Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}로 옮겨지며, 이는 Ad⃗A\vec{d}가 영이 아니면 직선이고 영이면 한 점이다. 마찬가지로 선분은 선분 또는 점으로, 평행한 직선은 평행한 직선 또는 점으로 옮겨지고, 꼭짓점이 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2, e⃗2\vec{e}_2인 정사각형(이를 단위정사각형이라 부르겠다)은 행렬의 두 열이 이루는 평행사변형으로 옮겨진다. 이 평행사변형은 납작하게 찌그러져 있을 수도 있다.