행렬과 행렬의 연산

행렬

강좌 대수학과 기하학 I의 일차방정식, 일차부등식과 연립일차방정식에 관한 수업에서는 각 방정식의 계수를 모은 표 위에서 가우스 소거법을 진행했다. 미지수는 계산에 관여하지 않았고, 모든 작업은 표의 수로 이루어졌다. 이 관찰은 오래되었다. 약 이천 년 전에 엮인 중국의 책 『구장산술』은 이미 계수를 열로 배열하여 연립방정식을 풀었다. 행렬(matrix)이라는 용어는 제임스 조지프 실베스터가 1850년에 도입했고, 아서 케일리가 1858년에 행렬 연산의 최초의 이론을 발표했는데, 이 수업에서 공부하는 것이 바로 그 이론이다.

$m$ 값과 $n$ 값을 자연수라 하자. 크기 $m \times n$의 행렬은 $mn$개의 수를 $m$개의 행과 $n$개의 열로 배열한 표이다. $i$행과 $j$열에 있는 수를 행렬의 $(i, j)$ 성분이라 한다. 행렬을 $A$ 행렬처럼 대문자로 나타내면, 성분은 대응하는 소문자에 두 첨자를 붙여 $a_{ij}$ 꼴로 나타내며, 첫째 첨자는 언제나 행을 가리킨다. $A = (a_{ij})$ 꼴로도 쓴다. 예를 들어 $2 \times 3$ 행렬은 아래와 같은 꼴이다.

따로 말하지 않는 한 성분은 실수이다. 아래의 모든 내용은 복소수 성분의 행렬에 대해서도 그대로 성립한다. 증명은 수의 덧셈과 곱셈의 성질만 쓰며, 그 성질은 $\mathbb{C}$ 집합과 $\mathbb{R}$ 집합이 공유하기 때문이다. 두 행렬은 크기가 같고 같은 위치에 같은 성분을 가질 때 같다. $m \times n$ 행렬 사이의 등식은 수 사이의 등식 $mn$개와 동치이다.

행렬의 종류

어떤 꼴들은 매우 자주 나타나서 고유한 이름을 가진다.

• 행행렬은 $1 \times n$ 행렬이고, 열행렬은 $m \times 1$ 행렬이다. 강좌 I의 평면벡터에 관한 수업의 평면벡터는 $2 \times 1$ 열행렬로 쓸 수 있다.
• 주어진 크기의 영행렬은 모든 성분이 $0$ 값과 같다. 이것도 $0$ 기호로 나타내며, 크기는 문맥으로 알 수 있다.
• 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 한다. $n \times n$ 행렬은 $n$차 정사각행렬이라고도 한다. 그 $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ 성분들이 주대각선을 이룬다.
• 주대각선 밖의 성분이 모두 영인 정사각행렬을 대각행렬이라 한다. $n$차 단위행렬은 $I_n$ 기호로, 차수가 분명할 때는 $I$ 기호로 쓰며, 대각성분이 모두 $1$ 값인 대각행렬이다.
• 주대각선 아래에 있는 성분이 모두 영일 때, 곧 $a_{ij} = 0$ 식이 $i > j$ 조건을 만족하는 모든 첨자에 대해 성립할 때, 정사각행렬을 상삼각행렬이라 한다. 주대각선 위에 있는 성분이 모두 영일 때는 하삼각행렬이라 한다.
• 모든 첨자에 대해 $a_{ij} = a_{ji}$ 식이 성립할 때 정사각행렬을 대칭행렬이라 한다. 주대각선이 표의 대칭축이다.

예를 들어 아래의 네 행렬 가운데 첫째는 $3$차 단위행렬, 둘째는 대각행렬, 셋째는 상삼각행렬, 넷째는 대칭행렬이다.