Matrici e operazioni con le matrici

Matrici

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I su equazioni di primo grado e sistemi lineari, il metodo di eliminazione di Gauss è stato seguito in una tabella che riuniva i coefficienti di ciascuna equazione: le incognite non intervenivano nel calcolo, e tutto il lavoro si faceva con i numeri della tabella. Questa osservazione è antica; I nove capitoli sull’arte matematica, un’opera cinese compilata circa duemila anni fa, risolvevano già sistemi disponendo i coefficienti in colonne. La parola matrice fu introdotta da James Joseph Sylvester nel 1850, e Arthur Cayley pubblicò nel 1858 la prima teoria delle operazioni con le matrici, che è quella che questa lezione studia.

Siano $m$ e $n$ numeri naturali. Una matrice di dimensione $m \times n$ è una tabella di $mn$ numeri disposti in $m$ righe e $n$ colonne. Il numero situato nella riga $i$ e nella colonna $j$ si chiama elemento $(i, j)$ della matrice; se la matrice si indica con una lettera maiuscola, come $A$, l’elemento si indica con la minuscola corrispondente e due indici, $a_{ij}$, il primo dei quali indica sempre la riga. Si scrive anche $A = (a_{ij})$. Una matrice $2 \times 3$ ha, per esempio, la forma seguente:

Gli elementi saranno numeri reali, salvo avviso contrario; tutto ciò che si dice qui vale senza cambiamenti per le matrici di numeri complessi, perché le dimostrazioni usano soltanto le proprietà della somma e del prodotto di numeri, che $\mathbb{C}$ condivide con $\mathbb{R}$. Due matrici sono uguali quando hanno la stessa dimensione e gli stessi elementi nelle stesse posizioni: un’uguaglianza tra matrici $m \times n$ equivale a $mn$ uguaglianze tra numeri.

Tipi di matrici

Alcune forme si presentano con tanta frequenza da avere un nome proprio.

• Una matrice riga è una matrice $1 \times n$, e una matrice colonna, una matrice $m \times 1$. I vettori del piano della lezione del corso I sui vettori nel piano si possono scrivere come matrici colonna $2 \times 1$.
• La matrice nulla di una data dimensione ha tutti gli elementi uguali a $0$; si indica anche con $0$, e il contesto ne indica la dimensione.
• Una matrice è quadrata se ha tante righe quante colonne; una matrice $n \times n$ si chiama anche matrice di ordine $n$. I suoi elementi $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ formano la diagonale principale.
• Una matrice quadrata è diagonale se tutti i suoi elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli. La matrice identità di ordine $n$, che si scrive $I_n$, o $I$ quando l’ordine è chiaro, è la matrice diagonale i cui elementi diagonali valgono $1$.
• Una matrice quadrata è triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi situati sotto la diagonale principale, cioè se $a_{ij} = 0$ ogni volta che $i > j$; è triangolare inferiore se sono nulli quelli situati sopra.
• Una matrice quadrata è simmetrica se $a_{ij} = a_{ji}$ per tutti gli indici: la diagonale principale è un asse di simmetria della tabella.

Per esempio, delle quattro matrici qui sotto, la prima è l’identità di ordine $3$, la seconda è diagonale, la terza è triangolare superiore e la quarta è simmetrica.