Matrizes e operações com matrizes

Matrizes

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre as equações do primeiro grau e os sistemas lineares, o método de Gauss foi seguido numa tabela que reunia os coeficientes de cada equação: as incógnitas não intervinham no cálculo, e todo o trabalho era feito com os números da tabela. Essa observação é antiga; Os nove capítulos sobre a arte matemática, um tratado chinês compilado há cerca de dois mil anos, já resolviam sistemas dispondo os coeficientes em colunas. A palavra matriz foi introduzida por James Joseph Sylvester em 1850, e Arthur Cayley publicou em 1858 a primeira teoria das operações com matrizes, que é a que esta aula estuda.

Sejam $m$ e $n$ naturais. Uma matriz de tamanho $m \times n$ é uma tabela de $mn$ números dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas. O número situado na linha $i$ e na coluna $j$ chama-se elemento $(i, j)$ da matriz; se a matriz é designada por uma letra maiúscula, como $A$, o elemento é designado pela minúscula correspondente com dois índices, $a_{ij}$, o primeiro dos quais indica sempre a linha. Escreve-se também $A = (a_{ij})$. Uma matriz $2 \times 3$ tem, por exemplo, a forma abaixo:

Os elementos serão números reais, salvo indicação em contrário; tudo o que vem a seguir vale sem mudanças para matrizes de números complexos, porque as demonstrações só usam as propriedades da soma e do produto de números, que $\mathbb{C}$ compartilha com $\mathbb{R}$. Duas matrizes são iguais quando têm o mesmo tamanho e os mesmos elementos nas mesmas posições: uma igualdade entre matrizes $m \times n$ equivale a $mn$ igualdades entre números.

Tipos de matrizes

Algumas formas aparecem com tanta frequência que têm nome próprio.

• Uma matriz linha é uma matriz $1 \times n$, e uma matriz coluna, uma matriz $m \times 1$. Os vetores do plano da aula do curso I sobre os vetores no plano podem ser escritos como matrizes coluna $2 \times 1$.
• A matriz nula de um tamanho dado tem todos os seus elementos iguais a $0$; designa-se também por $0$, e o contexto indica seu tamanho.
• Uma matriz é quadrada se tem tantas linhas quanto colunas; uma matriz $n \times n$ chama-se também matriz de ordem $n$. Seus elementos $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ formam a diagonal principal.
• Uma matriz quadrada é diagonal se todos os seus elementos fora da diagonal principal são nulos. A matriz identidade de ordem $n$, que se escreve $I_n$, ou $I$ quando a ordem é clara, é a matriz diagonal cujos elementos diagonais valem $1$.
• Uma matriz quadrada é triangular superior se são nulos todos os elementos situados abaixo da diagonal principal, isto é, se $a_{ij} = 0$ sempre que $i > j$; é triangular inferior se são nulos os situados acima dela.
• Uma matriz quadrada é simétrica se $a_{ij} = a_{ji}$ para todos os índices: a diagonal principal é um eixo de simetria da tabela.

Por exemplo, das quatro matrizes abaixo, a primeira é a identidade de ordem $3$, a segunda é diagonal, a terceira é triangular superior e a quarta é simétrica.