Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Matrices et operationes cvm matricibvs

Svmmarivm

Haec lectio matrices introdvcit, tabvlas rectangvlas nvmerorvm qvibvs systemata aeqvationvm linearivm et svbstitvtiones lineares variabilivm breviter scribi possvnt. Praecipva matricvm genera earvmqve operationes definit: svmmam et mvltiplicationem per nvmervm, qvarvm proprietates elementvm per elementvm demonstrantvr, et prodvctvm matricvm, qvod versvs in colvmnam definitvr et compositione dvarvm svbstitvtionvm linearivm explicatvr. Demonstrat prodvctvm associativvm et distribvtivvm esse et matricem identitatis eivs elementvm nevtrvm esse, et exemplis ostendit id non esse commvtativvm, divisores nihili habere et matrices non nvllas exstare qvarvm aliqva potentia nvlla est. Postremo transpositam et vestigivm definit, demonstrat transpositam prodvcti esse prodvctvm transpositarvm ordine inverso et vestigivm ABAB cvm vestigio BABA congrvere, et haec instrvmenta ad nvmeros Fibonacci, ad potentias matricis et ad aeqvationes adhibet qvarvm incognitae matrices svnt.

Proposita discendi

  1. Praecipva matricvm genera agnoscere et cvm svmma et mvltiplicatione per nvmervm operari, earvm proprietates elementvm per elementvm confirmando.
  2. Prodvcta matricvm versvs in colvmnam compvtare, ea vt compositionem svbstitvtionvm linearivm interpretari et systema lineare vt aeqvationem inter matrices scribere.
  3. Associativitatem et distribvtivitatem prodvcti demonstrare, et exemplis explicare cvr non sit commvtativvm et cvr prodvctvm matricvm non nvllarvm nvllvm esse possit.
  4. Transposita, vestigio et potentiis matricis ad problemata solvenda vti, vt ad nvmeros Fibonacci compvtandos vel ad ostendendvm aeqvationem AB−BA=IAB - BA = I fieri non posse.

Matrices

In lectione cvrsvs Algebra et Geometria I de aeqvationibvs primi gradvs et systematibvs linearibvs, methodvs Gavssiana in tabvla adhibita est qvae coefficientes cvivsqve aeqvationis colligebat: incognitae in calcvlo nihil agebant, et totvm opvs cvm nvmeris tabvlae fiebat. Haec animadversio antiqva est; Novem capita de arte mathematica, tractatvs Sinensis abhinc circiter dvo milia annorvm compositvs, iam systemata solvebant coefficientibvs in colvmnis dispositis. Vocabvlvm matrix a Iacobo Iosepho Sylvester anno 1850 introdvctvm est, et Arthvrvs Cayley anno 1858 primam theoriam operationvm cvm matricibvs edidit, qvam haec lectio tractat.

Sint mm et nn nvmeri natvrales. Matrix magnitvdinis m×nm \times n est tabvla mnmn nvmerorvm in mm versibvs et nn colvmnis dispositorvm. Nvmervs in versv ii et colvmna jj positvs elementvm (i,j)(i, j) matricis appellatvr; si matrix littera maivscvla designatvr, vt AA, elementvm designatvr minvscvla respondente cvm dvobvs indicibvs, aija_{ij}, qvorvm primvs semper versvm indicat. Scribitvr etiam A=(aij)A = (a_{ij}). Matrix 2×32 \times 3, exempli gratia, hanc formam habet:

A=(a11a12a13a21a22a23)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}

Elementa nvmeri reales ervnt, nisi aliter dicitvr; omnia qvae hic dicvntvr sine mvtatione valent pro matricibvs nvmerorvm complexorvm, qvia demonstrationes solas proprietates svmmae et prodvcti nvmerorvm adhibent, qvas C\mathbb{C} cvm R\mathbb{R} commvnes habet. Dvae matrices aeqvales svnt cvm eandem magnitvdinem et eadem elementa eisdem locis habent: aeqvalitas inter matrices m×nm \times n aeqvivalet mnmn aeqvalitatibvs inter nvmeros.

Genera matricvm

Qvaedam formae tam saepe occvrrvnt vt nomen proprivm habeant.

  • Matrix versvs est matrix 1×n1 \times n, et matrix colvmnae, matrix m×1m \times 1. Vectores plani lectionis cvrsvs I de vectoribvs in plano vt matrices colvmnae 2×12 \times 1 scribi possvnt.
  • Matrix nvlla datae magnitvdinis omnia elementa 00 aeqvalia habet; etiam 00 designatvr, et contextvs eivs magnitvdinem indicat.
  • Matrix qvadrata est si tot versvs qvot colvmnas habet; matrix n×nn \times n etiam matrix ordinis nn appellatvr. Eivs elementa a11,a22,…,anna_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn} diagonalem principalem efficivnt.
  • Matrix qvadrata diagonalis est si omnia eivs elementa extra diagonalem principalem nvlla svnt. Matrix identitatis ordinis nn, qvae InI_n scribitvr, vel II cvm ordo manifestvs est, est matrix diagonalis cvivs elementa diagonalia 11 valent.
  • Matrix qvadrata triangvlaris svperior est si omnia elementa infra diagonalem principalem posita nvlla svnt, id est si aij=0a_{ij} = 0 qvotiens i>ji > j; triangvlaris inferior est si nvlla svnt ea qvae svpra posita svnt.
  • Matrix qvadrata symmetrica est si aij=ajia_{ij} = a_{ji} pro omnibvs indicibvs: diagonalis principalis axis symmetriae tabvlae est.

Exempli gratia, ex qvattvor matricibvs infra positis prima est identitas ordinis 33, secvnda diagonalis, tertia triangvlaris svperior, qvarta symmetrica.

I3=(100010001),D=(200−5),T=(14−2037006),S=(1220)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \qquad S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}