Systemata linearia et methodvs Gavssii et Iordani

Svmmarivm

Haec lectio systemata aeqvationvm linearivm tractat qvolibet aeqvationvm et incognitarvm nvmero. Vnvmqvodqve systema vt aeqvationem matricialem $AX = B$ scribit et per matricem eivs avctam repraesentat; ostendit tres operationes elementares in versibvs systema in alivd iisdem solvtionibvs mvtare, et omnem matricem per eas ad formam gradatam redvctam redigi posse, ex qva solvtiones directe legvntvr: haec est methodvs Gavssii et Iordani. Deinde ostendit eam formam vnicam esse, qvaecvmqve operationes adhibeantvr, et per eam rangvm matricis definit; theorema Rovché-Frobenii demonstrat, qvod decernit vtrvm systema solvtionem habeat et qvot parametros liberos eivs solvtiones habeant, et id ad systemata homogenea adhibet. Ita absolvitvr stvdivm systematvm in parte de generibvs nvmerorvm inceptvm.

Proposita discendi

Systema lineare forma matriciali scribere, matricem eivs avctam formare et explicare cvr operationes elementares in versibvs eivs solvtiones servent.
Matricem ad formam gradatam redvctam methodo Gavssii et Iordani redigere, demonstrare eam formam vnicam esse et in ea solvtiones systematis legere.
Rangvm matricis compvtare et theorema Rovché-Frobenii adhibere ad systema distribvendvm, etiam cvm eivs coefficientes a parametro pendent.
Problemata interpolationis, aeqvilibrii chemici, retivm flvxvs et qvadratorvm magicorvm vt systemata linearia ponere, et eorvm solvtiones per parametros liberos describere.

Forma matricialis systematis

In lectione cvrsvs Algebra et Geometria I de aeqvationibvs primi gradvs et systematibvs linearibvs systemata dvarvm et trivm aeqvationvm per svbstitvtionem, redvctionem et comparationem solvta svnt, et ea dvarvm aeqvationvm cvm dvabvs incognitis per determinantem svvm distribvta svnt. Ibi casvs generalis in svspenso relictvs est, cvivs distribvtio sine demonstratione admissa est. Haec lectio evm instrvmentis lectionis de matricibvs et operationibvs cvm matricibvs absolvit.

Systema $m$ aeqvationvm linearivm cvm $n$ incognitis $x_1, x_2, \ldots, x_n$ est copia $m$ aeqvationvm formae infra scriptae, qvibvs simvl satisfieri debet; nvmervs $a_{ij}$ est coefficiens incognitae $x_j$ in aeqvatione $i$ , et $b_i$ est terminvs constans eivs aeqvationis.

\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Solvtio systematis est series ordinata $n$ nvmerorvm $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ qvi, in locvm incognitarvm positi, $m$ aeqvationibvs satisfacivnt. Sit $A$ matrix coefficientivm, $m$ versvvm et $n$ colvmnarvm, cvivs elementvm versvs $i$ et colvmnae $j$ est $a_{ij}$ ; sint $X$ colvmna incognitarvm et $B$ colvmna terminorvm constantivm. Vt in ea lectione iam animadversvm est, ex definitione prodvcti matricvm elementvm $i$ colvmnae $AX$ est ipsvm primvm membrvm aeqvationis $i$ . Inde seqvitvr systema totvm vt vnam aeqvalitatem inter matrices colvmnae scribi, $AX = B$ . Exempli gratia, systema qvod pavlo post solvetvr sic scribitvr:

\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Ad systema solvendvm satis est nvmeros $a_{ij}$ et $b_i$ cognoscere: nomina incognitarvm in calcvlis non intersvnt. Matrix avcta systematis est matrix $M$ , $m$ versvvm et $n + 1$ colvmnarvm, qvae obtinetvr cvm ad $A$ colvmna $B$ vt vltima colvmna additvr; eam $M = \left( A, B \right)$ scribemvs. Qvisqve versvs matricis $M$ vnam aeqvationem complectitvr: prima eivs $n$ elementa svnt coefficientes, vltimvm est terminvs constans. In exemplo:

M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Systema est compatibile si saltem vnam solvtionem habet, et incompatibile si nvllam habet; systema compatibile est determinatvm si exacte vnam habet, et indeterminatvm si plvres qvam vnam. Dvo systemata iisdem incognitis svnt aeqvivalentia cvm eandem copiam solvtionvm habent. In lectione cvrsvs I visvm est systema dvarvm aeqvationvm cvm dvabvs incognitis nvllam, vnam vel infinitas solvtiones habere; in fine hvivs lectionis sciemvs idem in omni systemate lineari accidere, et criterivm habebimvs ad decernendvm in qvo casv versemvr.