Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

Sistemas lineares e o método de Gauss-Jordan

Resumo

Esta aula estuda os sistemas de equações lineares com qualquer número de equações e de incógnitas. Escreve cada sistema como uma equação matricial AX=BAX = B e o representa por sua matriz ampliada; demonstra que as três operações elementares sobre linhas transformam um sistema em outro com as mesmas soluções, e que toda matriz pode ser levada por meio delas a uma forma escalonada reduzida, da qual as soluções se leem diretamente: é o método de Gauss-Jordan. Demonstra depois que essa forma é única, quaisquer que sejam as operações empregadas, e define com ela o posto de uma matriz; demonstra o teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispânico, teorema de Rouché-Frobenius), que decide se um sistema tem solução e quantos parâmetros livres têm as suas soluções, e o aplica aos sistemas homogêneos. Com isso se completa o estudo dos sistemas iniciado na unidade sobre os conjuntos numéricos.

Objetivos de aprendizagem

  1. Escrever um sistema linear na forma matricial, formar a sua matriz ampliada e justificar por que as operações elementares sobre linhas conservam as suas soluções.
  2. Reduzir uma matriz à sua forma escalonada reduzida com o método de Gauss-Jordan, demonstrar que essa forma é única e ler nela as soluções do sistema.
  3. Calcular o posto de uma matriz e aplicar o teorema de Rouché-Capelli para classificar um sistema, também quando os seus coeficientes dependem de um parâmetro.
  4. Formular como sistemas lineares problemas de interpolação, de balanceamento químico, de redes de fluxo e de quadrados mágicos, e descrever as suas soluções com parâmetros livres.

A forma matricial de um sistema

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre as equações do primeiro grau e os sistemas lineares foram resolvidos sistemas de duas e de três equações por substituição, adição e comparação, e foram classificados os de duas equações com duas incógnitas por meio do seu determinante. Ali ficou pendente o caso geral, cuja classificação foi admitida sem demonstração. Esta aula o resolve com as ferramentas da aula sobre matrizes e operações com matrizes.

Um sistema de mm equações lineares com nn incógnitas x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n é um conjunto de mm equações da forma abaixo, que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo; o número aija_{ij} é o coeficiente da incógnita xjx_j na equação ii, e bib_i é o termo independente dessa equação.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Uma solução do sistema é uma lista ordenada de nn números (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n) que, postos no lugar das incógnitas, satisfazem as mm equações. Seja AA a matriz dos coeficientes, de mm linhas e nn colunas, cujo elemento da linha ii e da coluna jj é aija_{ij}; sejam XX a coluna das incógnitas e BB a dos termos independentes. Como já se observou nessa aula, pela definição do produto de matrizes o elemento ii da coluna AXAX é precisamente o primeiro membro da equação ii. Daí se segue que o sistema inteiro se escreve como uma só igualdade entre matrizes coluna, AX=BAX = B. Por exemplo, o sistema que será resolvido logo adiante escreve-se assim:

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Para resolver o sistema basta conhecer os números aija_{ij} e bib_i: os nomes das incógnitas não intervêm nos cálculos. A matriz ampliada do sistema é a matriz MM, de mm linhas e n+1n + 1 colunas, que se obtém ao acrescentar a AA a coluna BB como última coluna; nós a escreveremos M=(A,B)M = \left( A, B \right). Cada linha de MM resume uma equação: os seus primeiros nn elementos são os coeficientes, e o último é o termo independente. No exemplo:

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Um sistema é possível se tem pelo menos uma solução, e impossível se não tem nenhuma; um sistema possível é determinado se tem exatamente uma, e indeterminado se tem mais de uma. Dois sistemas com as mesmas incógnitas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Na aula do curso I viu-se que um sistema de duas equações com duas incógnitas tem nenhuma, uma ou infinitas soluções; ao final desta aula se saberá que o mesmo ocorre com qualquer sistema linear, e se terá um critério para decidir em qual dos casos se está.