Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Линейные системы и метод Гаусса-Жордана

Краткое содержание

В этом уроке изучаются системы линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных. Каждая система записывается в виде одного матричного уравнения AX=BAX = B и представляется своей расширенной матрицей; доказывается, что три элементарных преобразования строк переводят систему в другую с теми же решениями и что с их помощью любую матрицу можно привести к приведённому ступенчатому виду, из которого решения читаются непосредственно: это метод Гаусса-Жордана. Затем доказывается, что этот вид единствен, какие бы преобразования ни применялись, и с его помощью определяется ранг матрицы; доказывается теорема Кронекера-Капелли (теорема Руше-Фробениуса), которая решает, имеет ли система решение и сколько свободных параметров имеют её решения, и она применяется к однородным системам. Тем самым завершается изучение систем, начатое в разделе о числовых множествах.

Цели обучения

  1. Записывать линейную систему в матричной форме, составлять её расширенную матрицу и обосновывать, почему элементарные преобразования строк сохраняют её решения.
  2. Приводить матрицу к приведённому ступенчатому виду методом Гаусса-Жордана, доказывать единственность этого вида и читать по нему решения системы.
  3. Вычислять ранг матрицы и применять теорему Кронекера-Капелли для классификации системы, в том числе когда её коэффициенты зависят от параметра.
  4. Сводить к линейным системам задачи интерполяции, химического равновесия, сетей потоков и магических квадратов и описывать их решения с помощью свободных параметров.

Матричная форма системы

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» об уравнениях, неравенствах и линейных системах системы из двух и трёх уравнений решались подстановкой, сложением и сравнением, а системы из двух уравнений с двумя неизвестными классифицировались с помощью их определителя. Там остался открытым общий случай, классификация которого была принята без доказательства. Этот урок решает его средствами урока о матрицах и операциях над матрицами.

Система из mm линейных уравнений с nn неизвестными x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n есть набор из mm уравнений показанного ниже вида, которые должны выполняться одновременно; число aija_{ij} есть коэффициент при неизвестном xjx_j в уравнении с номером ii, а bib_i есть свободный член этого уравнения.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Решением системы называется упорядоченный набор из nn чисел (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n), которые при подстановке вместо неизвестных удовлетворяют всем mm уравнениям. Пусть AA есть матрица коэффициентов из mm строк и nn столбцов, элемент которой в строке ii и столбце jj равен aija_{ij}; пусть XX есть столбец неизвестных, а BB столбец свободных членов. Как уже отмечалось в том уроке, по определению произведения матриц элемент с номером ii столбца AXAX есть в точности левая часть уравнения с номером ii. Отсюда вытекает, что вся система записывается одним равенством между матрицами-столбцами, AX=BAX = B. Например, система, которая будет решена ниже, записывается так:

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Для решения системы достаточно знать числа aija_{ij} и bib_i: имена неизвестных в вычислениях не играют роли. Расширенная матрица системы есть матрица MM из mm строк и n+1n + 1 столбцов, получаемая приписыванием к AA столбца BB в качестве последнего столбца; будем записывать её как M=(A,B)M = \left( A, B \right). Каждая строка MM кратко представляет одно уравнение: её первые nn элементов суть коэффициенты, а последний есть свободный член. В примере:

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного; совместная система называется определённой, если она имеет ровно одно решение, и неопределённой, если больше одного. Две системы с одними и теми же неизвестными называются равносильными, если у них одно и то же множество решений. В уроке курса I было показано, что система из двух уравнений с двумя неизвестными имеет ни одного, одно или бесконечно много решений; в конце этого урока мы узнаем, что то же верно для любой линейной системы, и получим критерий, позволяющий решить, какой из случаев имеет место.