Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Γραμμικά συστήματα και η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων με οποιοδήποτε πλήθος εξισώσεων και αγνώστων. Γράφει κάθε σύστημα ως μία εξίσωση πινάκων AX=BAX = B και το παριστάνει με τον επαυξημένο πίνακά του· αποδεικνύει ότι οι τρεις στοιχειώδεις πράξεις γραμμών μετασχηματίζουν ένα σύστημα σε άλλο με τις ίδιες λύσεις, και ότι κάθε πίνακας μπορεί να αχθεί με αυτές σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή, από την οποία οι λύσεις διαβάζονται απευθείας: αυτή είναι η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν. Αποδεικνύει έπειτα ότι η μορφή αυτή είναι μοναδική, όποιες κι αν είναι οι πράξεις που χρησιμοποιήθηκαν, και ορίζει με αυτήν τη βαθμίδα ενός πίνακα· αποδεικνύει το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους, που αποφασίζει αν ένα σύστημα έχει λύση και πόσες ελεύθερες παραμέτρους έχουν οι λύσεις του, και το εφαρμόζει στα ομογενή συστήματα. Έτσι ολοκληρώνεται η μελέτη των συστημάτων που άρχισε στην ενότητα για τα σύνολα αριθμών.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να γράφει ένα γραμμικό σύστημα σε μορφή πινάκων, να σχηματίζει τον επαυξημένο πίνακά του και να αιτιολογεί γιατί οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών διατηρούν τις λύσεις του.
  2. Να ανάγει έναν πίνακα στην ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του με τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν, να αποδεικνύει ότι η μορφή αυτή είναι μοναδική και να διαβάζει σε αυτήν τις λύσεις του συστήματος.
  3. Να υπολογίζει τη βαθμίδα ενός πίνακα και να εφαρμόζει το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους για να ταξινομεί ένα σύστημα, και όταν οι συντελεστές του εξαρτώνται από μια παράμετρο.
  4. Να διατυπώνει ως γραμμικά συστήματα προβλήματα παρεμβολής, χημικής ισορροπίας, δικτύων ροής και μαγικών τετραγώνων, και να περιγράφει τις λύσεις τους με ελεύθερες παραμέτρους.

Η μορφή πινάκων ενός συστήματος

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τις εξισώσεις, τις ανισώσεις και τα γραμμικά συστήματα λύθηκαν συστήματα δύο και τριών εξισώσεων με αντικατάσταση, με αντίθετους συντελεστές και με σύγκριση, και ταξινομήθηκαν τα συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους μέσω της ορίζουσάς τους. Εκεί έμεινε εκκρεμής η γενική περίπτωση, της οποίας η ταξινόμηση έγινε δεκτή χωρίς απόδειξη. Το μάθημα αυτό τη λύνει με τα εργαλεία του μαθήματος για τους πίνακες και τις πράξεις με πίνακες.

Ένα σύστημα mm γραμμικών εξισώσεων με nn αγνώστους x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n είναι ένα σύνολο mm εξισώσεων της παρακάτω μορφής, που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα· ο αριθμός aija_{ij} είναι ο συντελεστής του αγνώστου xjx_j στην εξίσωση ii, και ο bib_i είναι ο σταθερός όρος αυτής της εξίσωσης.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Μια λύση του συστήματος είναι μια διατεταγμένη λίστα nn αριθμών (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n) που, όταν τεθούν στη θέση των αγνώστων, ικανοποιούν τις mm εξισώσεις. Έστω AA ο πίνακας των συντελεστών, με mm γραμμές και nn στήλες, του οποίου το στοιχείο της γραμμής ii και της στήλης jj είναι το aija_{ij}· έστω XX η στήλη των αγνώστων και BB η στήλη των σταθερών όρων. Όπως παρατηρήθηκε ήδη στο μάθημα εκείνο, από τον ορισμό του γινομένου πινάκων το στοιχείο ii της στήλης AXAX είναι ακριβώς το πρώτο μέλος της εξίσωσης ii. Από αυτό έπεται ότι ολόκληρο το σύστημα γράφεται ως μία μόνο ισότητα μεταξύ πινάκων στηλών, AX=BAX = B. Για παράδειγμα, το σύστημα που θα λυθεί πιο κάτω γράφεται έτσι:

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Για να λυθεί το σύστημα αρκεί να είναι γνωστοί οι αριθμοί aija_{ij} και bib_i: τα ονόματα των αγνώστων δεν παίζουν ρόλο στους υπολογισμούς. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο πίνακας MM, με mm γραμμές και n+1n + 1 στήλες, που προκύπτει όταν προστεθεί στον AA η στήλη BB ως τελευταία στήλη· θα τον γράφουμε M=(A,B)M = \left( A, B \right). Κάθε γραμμή του MM συνοψίζει μία εξίσωση: τα πρώτα nn στοιχεία της είναι οι συντελεστές, και το τελευταίο είναι ο σταθερός όρος. Στο παράδειγμα:

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Ένα σύστημα είναι συμβιβαστό αν έχει τουλάχιστον μία λύση, και αδύνατο αν δεν έχει καμία· ένα συμβιβαστό σύστημα είναι ορισμένο αν έχει ακριβώς μία, και αόριστο αν έχει περισσότερες από μία. Δύο συστήματα με τους ίδιους αγνώστους είναι ισοδύναμα όταν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων. Στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων είδαμε ότι ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει καμία, μία ή άπειρες λύσεις· στο τέλος του παρόντος μαθήματος θα ξέρουμε ότι το ίδιο συμβαίνει με κάθε γραμμικό σύστημα, και θα έχουμε ένα κριτήριο για να αποφασίζουμε σε ποια περίπτωση βρισκόμαστε.