Πίνακες και πράξεις με πίνακες

Πίνακες

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τις εξισώσεις, τις ανισώσεις και τα γραμμικά συστήματα, η μέθοδος του Γκάους εφαρμόστηκε σε έναν πίνακα που συγκέντρωνε τους συντελεστές κάθε εξίσωσης: οι άγνωστοι δεν συμμετείχαν στον υπολογισμό, και όλη η εργασία γινόταν με τους αριθμούς του πίνακα. Η παρατήρηση αυτή είναι παλαιά· τα «Εννέα κεφάλαια για τη μαθηματική τέχνη», μια κινεζική πραγματεία που συντάχθηκε πριν από περίπου δύο χιλιάδες χρόνια, έλυναν ήδη συστήματα διατάσσοντας τους συντελεστές σε στήλες. Τη λέξη πίνακας (matrix) την εισήγαγε ο Τζέιμς Τζόζεφ Σιλβέστερ το 1850, και ο Άρθουρ Κέιλι δημοσίευσε το 1858 την πρώτη θεωρία των πράξεων με πίνακες, αυτή που μελετά το παρόν μάθημα.

Έστω $m$ και $n$ φυσικοί αριθμοί. Πίνακας διάστασης $m \times n$ είναι μια διάταξη $mn$ αριθμών σε $m$ γραμμές και $n$ στήλες. Ο αριθμός που βρίσκεται στη γραμμή $i$ και στη στήλη $j$ λέγεται στοιχείο $(i, j)$ του πίνακα· αν ο πίνακας συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα, όπως $A$, το στοιχείο συμβολίζεται με το αντίστοιχο μικρό γράμμα και δύο δείκτες, $a_{ij}$, από τους οποίους ο πρώτος δηλώνει πάντα τη γραμμή. Γράφεται επίσης $A = (a_{ij})$. Ένας πίνακας $2 \times 3$ έχει, για παράδειγμα, την ακόλουθη μορφή:

Τα στοιχεία θα είναι πραγματικοί αριθμοί, εκτός αν ειπωθεί κάτι άλλο· όλα όσα ακολουθούν ισχύουν χωρίς αλλαγές για πίνακες μιγαδικών αριθμών, επειδή οι αποδείξεις χρησιμοποιούν μόνο τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αριθμών, που το $\mathbb{C}$ μοιράζεται με το $\mathbb{R}$. Δύο πίνακες είναι ίσοι όταν έχουν την ίδια διάσταση και τα ίδια στοιχεία στις ίδιες θέσεις: μια ισότητα πινάκων $m \times n$ ισοδυναμεί με $mn$ ισότητες αριθμών.

Είδη πινάκων

Ορισμένες μορφές εμφανίζονται τόσο συχνά ώστε έχουν δικό τους όνομα.

• Πίνακας γραμμή είναι ένας πίνακας $1 \times n$, και πίνακας στήλη ένας πίνακας $m \times 1$. Τα διανύσματα του επιπέδου από το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα στο επίπεδο μπορούν να γραφούν ως πίνακες στήλες $2 \times 1$.
• Ο μηδενικός πίνακας μιας δοσμένης διάστασης έχει όλα του τα στοιχεία ίσα με $0$· συμβολίζεται επίσης με $0$, και η διάστασή του προκύπτει από τα συμφραζόμενα.
• Ένας πίνακας είναι τετραγωνικός αν έχει τόσες γραμμές όσες και στήλες· ένας πίνακας $n \times n$ λέγεται επίσης πίνακας τάξης $n$. Τα στοιχεία του $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο.
• Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος αν όλα τα στοιχεία του έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. Ο μοναδιαίος πίνακας τάξης $n$, που γράφεται $I_n$, ή $I$ όταν η τάξη είναι σαφής, είναι ο διαγώνιος πίνακας του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με $1$.
• Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι άνω τριγωνικός αν είναι μηδέν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο, δηλαδή αν $a_{ij} = 0$ όποτε $i > j$· είναι κάτω τριγωνικός αν είναι μηδέν όσα βρίσκονται πάνω από αυτήν.
• Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι συμμετρικός αν $a_{ij} = a_{ji}$ για όλους τους δείκτες: η κύρια διαγώνιος είναι άξονας συμμετρίας της διάταξης.

Για παράδειγμα, από τους τέσσερις πίνακες που ακολουθούν, ο πρώτος είναι ο μοναδιαίος τάξης $3$, ο δεύτερος είναι διαγώνιος, ο τρίτος είναι άνω τριγωνικός και ο τέταρτος είναι συμμετρικός.