الأنظمة الخطية وطريقة غاوس-جوردان

الشكل المصفوفي لنظام

في دورة الجبر والهندسة 1، في درسها الخاص بـالمعادلات والمتراجحات والأنظمة الخطية، حُلّت أنظمة من معادلتين ومن ثلاث معادلات بالتعويض والحذف والمقارنة، وصُنّفت الأنظمة المكوّنة من معادلتين في مجهولين بواسطة محددها. وبقيت هناك الحالة العامة معلّقة، إذ قُبل تصنيفها دون برهان. ويحلّها درسنا هذا بأدوات الدرس الخاص بـالمصفوفات والعمليات على المصفوفات.

نظام من $m$ معادلة خطية في $n$ مجهولًا $x_1, x_2, \ldots, x_n$ هو مجموعة من $m$ معادلة على الشكل الآتي، يجب أن تتحقق معًا؛ والعدد $a_{ij}$ هو معامل المجهول $x_j$ في المعادلة رقم $i$، و$b_i$ هو الحد الثابت لتلك المعادلة.

حلّ النظام قائمة مرتبة من $n$ عددًا $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ تحقق المعادلات الـ$m$ إذا وُضعت مكان المجاهيل. لتكن $A$ مصفوفة المعاملات، ذات $m$ صفًّا و$n$ عمودًا، ومُدخلتها في الصف $i$ والعمود $j$ هي $a_{ij}$؛ وليكن $X$ عمود المجاهيل و$B$ عمود الحدود الثابتة. وكما لوحظ في ذلك الدرس، فإن المُدخلة رقم $i$ في العمود $AX$ هي، بحسب تعريف ضرب المصفوفات، الطرف الأول للمعادلة رقم $i$ بالضبط. ويلزم عن ذلك أن النظام كله يُكتب مساواةً واحدة بين مصفوفات أعمدة، $AX = B$. فمثلًا، النظام الذي سيُحل لاحقًا يُكتب هكذا:

ولحل النظام يكفي أن نعرف الأعداد $a_{ij}$ و$b_i$: فأسماء المجاهيل لا تتدخل في الحسابات. والمصفوفة الموسعة للنظام هي المصفوفة $M$، ذات $m$ صفًّا و$n + 1$ عمودًا، التي نحصل عليها بأن نضيف إلى $A$ العمودَ $B$ عمودًا أخيرًا؛ وسنكتبها $M = \left( A, B \right)$. وكل صف من صفوف $M$ يلخص معادلة: مُدخلاته الـ$n$ الأولى هي المعاملات، والأخيرة هي الحد الثابت. في المثال:

يكون النظام متسقًا إذا كان له حل واحد على الأقل، وغير متسق إذا لم يكن له أي حل؛ ويكون النظام المتسق ذا حل وحيد إذا كان له حل واحد بالضبط، وذا حلول لانهائية إذا كان له أكثر من حل. ويكون نظامان لهما المجاهيل نفسها متكافئين عندما تكون لهما مجموعة الحلول نفسها. وقد رأينا في درس دورة الجبر والهندسة 1 أن نظامًا من معادلتين في مجهولين إما ليس له حل، وإما له حل واحد، وإما له عدد لانهائي من الحلول؛ وفي نهاية درسنا هذا سنعرف أن الأمر نفسه يحدث لكل نظام خطي، وسيكون لدينا معيار نقرر به في أي الحالات نحن.