المصفوفات والعمليات على المصفوفات

المصفوفات

في دورة الجبر والهندسة 1، في درسها الخاص بـالمعادلات والمتراجحات والأنظمة الخطية، طُبّقت طريقة غاوس على جدول يجمع معاملات كل معادلة: لم تكن المجاهيل تتدخل في الحساب، وكان العمل كله يجري على أعداد الجدول. وهذه الملاحظة قديمة؛ فقد كانت الفصول التسعة في الفن الرياضي، وهي رسالة صينية جُمعت قبل نحو ألفي عام، تحل الأنظمة بترتيب المعاملات في أعمدة. وقد أدخل جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة (matrix) سنة 1850، ونشر آرثر كايلي سنة 1858 أول نظرية في العمليات على المصفوفات، وهي التي يدرسها درسنا هذا.

ليكن $m$ و$n$ عددين طبيعيين. المصفوفة التي حجمها $m \times n$ جدول من الأعداد عددها $mn$، موزعة على $m$ من الصفوف و$n$ من الأعمدة. ويُسمّى العدد الواقع في الصف $i$ والعمود $j$ المُدخلة $(i, j)$ للمصفوفة؛ وإذا رُمز إلى المصفوفة بحرف كبير، مثل $A$، رُمز إلى المُدخلة بالحرف الصغير المقابل مع دليلين، $a_{ij}$، يدل أولهما دائمًا على الصف. ويُكتب أيضًا $A = (a_{ij})$. فالمصفوفة $2 \times 3$ مثلًا لها الشكل الآتي:

ستكون المُدخلات أعدادًا حقيقية ما لم يُذكر خلاف ذلك؛ وكل ما يلي يصح دون تغيير للمصفوفات ذات المُدخلات المركبة، لأن البراهين لا تستعمل إلا خصائص الجمع والضرب في الأعداد، وهي خصائص تشترك فيها $\mathbb{C}$ مع $\mathbb{R}$. وتكون مصفوفتان متساويتين إذا كان لهما الحجم نفسه والمُدخلات نفسها في المواضع نفسها: فالمساواة بين مصفوفتين من الحجم $m \times n$ تكافئ مساواةً بين أعداد عددها $mn$.

أنواع المصفوفات

بعض الأشكال يتكرر ظهوره حتى صار له اسم خاص.

• مصفوفة الصف مصفوفةٌ من الحجم $1 \times n$، ومصفوفة العمود مصفوفةٌ من الحجم $m \times 1$. ويمكن كتابة متجهات المستوى من درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمتجهات في المستوى على هيئة مصفوفات أعمدة من الحجم $2 \times 1$.
• المصفوفة الصفرية من حجم معلوم جميع مُدخلاتها تساوي $0$؛ ويُرمز إليها أيضًا بـ$0$، ويدل السياق على حجمها.
• تكون المصفوفة مربعة إذا كان عدد صفوفها مساويًا لعدد أعمدتها؛ والمصفوفة $n \times n$ تُسمّى أيضًا مصفوفة من الدرجة $n$. ومُدخلاتها $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ تكوّن القطر الرئيسي.
• تكون المصفوفة المربعة قطرية إذا انعدمت جميع مُدخلاتها خارج القطر الرئيسي. والمصفوفة المحايدة من الدرجة $n$، التي تُكتب $I_n$، أو $I$ إذا كانت الدرجة واضحة، هي المصفوفة القطرية التي تساوي مُدخلاتها القطرية $1$.
• تكون المصفوفة المربعة مثلثية علوية إذا انعدمت جميع المُدخلات الواقعة تحت القطر الرئيسي، أي إذا كان $a_{ij} = 0$ كلما كان $i > j$؛ وتكون مثلثية سفلية إذا انعدمت المُدخلات الواقعة فوقه.
• تكون المصفوفة المربعة متناظرة إذا كان $a_{ij} = a_{ji}$ لجميع الأدلة: فالقطر الرئيسي محور تناظر للجدول.

فمثلًا، من المصفوفات الأربع الآتية، الأولى هي المصفوفة المحايدة من الدرجة $3$، والثانية قطرية، والثالثة مثلثية علوية، والرابعة متناظرة.