المصفوفات والبنى الجبرية: مقدمة

قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.

1. السؤال 1لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ و$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. ما الجداء $AB$؟

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. السؤال 2ليكن نظام المعادلات $x + y + z = 1$ و$x + 2y + 3z = 2$ و$2x + 3y + 4z = k$. ما قيم $k$ التي يكون عندها متسقًا، وكم حلًّا له عندئذ؟

   عند $k = 3$ فقط، وعندئذ له حلول لانهائية تتوقف على وسيط واحد.

   لكل $k$، بحل وحيد.

   عند $k = 3$ فقط، وعندئذ له حل وحيد.

   لا قيمة لـ$k$.

3. السؤال 3احسب محدد المصفوفة التي صفوفها $\left( 2, 1, 1 \right)$ و$\left( 1, 3, -1 \right)$ و$\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. السؤال 4لتكن $A$ مصفوفة من الدرجة $3$ حيث $\det A = 2$. كم يساوي $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$؟

5. السؤال 5ما المصفوفة العكسية للمصفوفة $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$؟

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. السؤال 6لتكن $A$ و$B$ و$C$ مصفوفات مربعة من الدرجة نفسها، حيث $A$ و$B$ قابلتان للقلب. ما حل المعادلة $AXB = C$؟

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. السؤال 7ما مصفوفة تحويل المستوى الذي يدير كل متجه ربع دورة كاملة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل ثم يعكسه في محور الفواصل؟

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. السؤال 8لتكن $M(z)$ مصفوفة الضرب في العدد المركب $z$. احسب $\det M(3 - 4i)$.

9. السؤال 9أيّ هذه المجموعات، مع العملية المشار إليها، زمرة؟

   البواقي غير الصفرية في $\mathbb{Z}_7$، مع الضرب.

   الأعداد الصحيحة، مع الضرب.

   الأعداد الطبيعية، مع الجمع.

   البواقي غير الصفرية في $\mathbb{Z}_6$، مع الضرب.

10. السؤال 10في مدينة $600$ ألف ساكن في مركزها و$400$ ألف في ضواحيها. وفي كل سنة، ينتقل $10$ بالمئة من سكان المركز إلى الضواحي و$20$ بالمئة من سكان الضواحي إلى المركز؛ ولا يصل أحد غيرهم ولا يغادر. إذا بقيت النسب على حالها، فكم ألف ساكن سيكون في المركز بعد سنتين؟

11. السؤال 11من وحدات سابقةحلّ بقاعدة كرامر النظام $2x + 3y = 7$، $x - y = 1$، وأعطِ قيمة $x$.

12. السؤال 12من وحدات سابقةأوجد مقلوب $4$ بترديد $9$، أي الباقي $x$ بين $0$ و$8$ بحيث يكون $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. السؤال 13من وحدات سابقةما الشكل القطبي للعدد $1 + i\sqrt{3}$؟

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$