الأعداد المركبة في الشكل القطبي: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للأعداد المركبة في الشكل القطبي. وهو يجمع تعريفاتها ومبرهناتها في سلسلة استنتاجية واحدة، تنطلق من مبرهنة الجداء في الشكل القطبي وتصل، مرورًا بصيغة دي موافر والجذور من الرتبة $n$ والدالة الأسية المركبة وهندسة المستوى، إلى تحليل الحدوديات وإلى صيغتي كاردانو وفيراري. ويبيّن ما تدين به كل حلقة لدورة الجبر والهندسة 1 وللوحدتين اللتين سبقتاها في هذه الدورة، وكيف تعيد الوحدة الآتية، المخصّصة للمصفوفات والبنى الجبرية، تفسير الوقائع نفسها. ويُختم بعشرة تحدّيات، أصعب من المسائل المقترحة في الوحدة، تجمع بين عدة دروس منها.

أهداف التعلم

إعادة بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة، من مبرهنة الجداء في الشكل القطبي إلى صيغتي كاردانو وفيراري، مع بيان النتيجة التي تتوقّف عليها كل مبرهنة.
ربط نتائج الوحدة بنتائج دورة الجبر والهندسة 1 (الاستقراء، وصيغة ثنائي الحد لنيوتن، والقاسم المشترك الأكبر، والحدوديات) وبنتائج الوحدتين اللتين سبقتاها (الإحداثيات القطبية والصيغ المثلثية)، واستشراف قراءتها المصفوفية والبنيوية في الوحدة الآتية.
حلّ مسائل تتطلّب الجمع بين الشكل القطبي، وجذور الواحد، والدالة الأسية المركبة، والهندسة بالأعداد المركبة، وعلاقات فييت.

ما حقّقته الوحدة

انطلقت الوحدة من نقص: ففي درس دورة الجبر والهندسة 1 عن الأعداد المركبة، كان جداء عددين مركبين يُحسب، لكنه لم يكن مفهومًا. وكتب الدرس الخاص بـالشكل القطبي كل عدد مركب غير منعدم على الصورة $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ، وبرهن أن هذه الكتابة وحيدة بصرف النظر عن الدورات الكاملة، وبرهن، بصيغ المجموع والفرق، المبرهنة التي يقوم عليها كل ما عداها: في الجداء تُضرب المقاييس وتُجمع العُمَد. ونتج عنها أن الضرب في عدد مركب دوران مع تمديد، وأن للمرافق وللمقلوب العمدة المعاكسة، وأن العمدة الرئيسية لجداء لا تساوي مجموع العُمَد الرئيسية إلا بصرف النظر عن دورة واحدة.

إذا كان الجداء يجمع العُمَد، فإن القوة تضربها. وقد برهن الدرس الخاص بـصيغة دي موافر ذلك بالاستقراء لكل أسّ صحيح، واستخرج، بمقارنة الصيغة بصيغة ثنائي الحد لنيوتن، صيغ مضاعفات الزاوية؛ وبالتوطئة $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ أخطّ قوى الجيب وجيب التمام، وبالمجموع الهندسي ذي الأساس المركب جمع الجيوب وجيوب التمام، وبالقوة $(1 + i)^n$ وجد مجاميع معاملات ذات الحدين ذات الدليل الزوجي وتلك ذات الدليل الفردي بإشارات متناوبة. غير أنه إذا كان الرفع إلى القوة $n$ يضرب الزاوية في $n$ ، فإن استخراج الجذر يقسمها: فقد برهن الدرس الخاص بـالجذور من الرتبة $n$ أن لكل عدد مركب غير منعدم بالضبط $n$ من الجذور من الرتبة $n$ ، هي رؤوس مضلع منتظم، وأن جذور الواحد هي قوى جذر واحد منها، ومجموعها صفر، وتحلّل $z^n - 1$ ، وتكون بدائية تمامًا عندما يكون دليلها أوليًّا مع $n$ .

ولاحظ الدرس الخاص بـالدالة الأسية المركبة أن هذه القواعد كلها هي قوانين الأسس، وبيّن، بمتسلسلات $e^x$ وجيب التمام والجيب، التي قبلها دون برهان لأنها تتطلّب حساب التفاضل، أن مجموع متسلسلة الدالة الأسية عند $i\theta$ هو $\cos \theta + i \sin \theta$ . ولذلك عرّف $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ و $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ ، وبرهن أن الدالة الأسية تحوّل المجاميع إلى جداءات وأنها دورية دورها $2\pi i$ ، وعبّر عن جيب التمام والجيب بدوال أسية، وحدّد أيّ المتطابقات المثلثية تبقى صحيحة عند تمديدهما إلى الأعداد المركبة، واكتشف فيهما الدوال الزائدية، وحصل، بقلب الدالة الأسية، على لوغاريتم ذي قيم لا نهائية وعلى قوى ذات أسّ مركب. وبهذا الترميز كتب الدرس الخاص بـالهندسة بالأعداد المركبة الدورانات على الصورة $c + e^{i\varphi}(z - c)$ والانعكاسات على الصورة $e^{2i\alpha}\conj{z}$ ، وقرأ الاستقامية والتعامد في خارج قسمة، وعرّف بإشارة الجزء التخيلي لخارج القسمة هذا توجيه المثلث، وبرهن أنه لا يتوقّف على الرأس الذي يُبدأ منه، وأن الانسحابات والدورانات تحافظ عليه وأن الانعكاسات تعكسه، ووصف المثلث المتساوي الأضلاع بالجذر التكعيبي للواحد، وبرهن مبرهنة دائرة أبولونيوس ومبرهنة نابليون.

وأخيرًا، جمع الدرس الخاص بـالمعادلات الحدودية في الأعداد المركبة كل شيء في الميدان الذي وُلدت فيه الأعداد المركبة. فمن المبرهنة الأساسية في الجبر، التي تُقبل دون برهان، استنتج أن كل حدودية من الدرجة $n$ جداء $n$ من العوامل الخطية، وبرهن علاقات فييت، وحلّ المعادلات الثنائية الحد والثلاثية الحدود والتبادلية؛ واستلزمت صيغة كاردانو الجذور التكعيبية من درس الجذور من الرتبة $n$ ، وصنّف المميز جذور المعادلة التكعيبية الحقيقية، وحُلّت الحالة غير القابلة للاختزال بصيغة الزاوية الثلاثية، وردّت طريقة فيراري المعادلة من الدرجة الرابعة إلى معادلة تكعيبية؛ وفسّرت مبرهنتا هولدر وآبل-روفيني، اللتان تُقبلان دون برهان، لماذا لا مفرّ من الالتفاف عبر الأعداد المركبة في الحالة غير القابلة للاختزال ولماذا لا توجد صيغ مماثلة ابتداءً من الدرجة الخامسة. ومن ثمّ فالسلسلة الكاملة هي: مبرهنة الجداء، وصيغة دي موافر، والجذور من الرتبة $n$ ، والدالة الأسية المركبة، وهندسة المستوى، والمعادلات الحدودية، بحيث تكون كل حلقة، في جوهرها، قراءة جديدة للأولى.

ويحسن أن نعدّد بدقة ما تقبله الوحدة دون برهان، لأنه قليل ومحدّد المواضع. فمن الهندسة الإقليدية، الوقائع المجموعة في درس دورة الجبر والهندسة 1 عن معادلة المستقيم، ولا تحتاج الوحدة منها إلا إلى مفهوم التشابه وإلى أن تساوي الزوايا يستلزم تناسب الأضلاع، في مبرهنة المثلثين المتشابهين للجداء. ومن حساب التفاضل، متسلسلات $e^x$ وجيب التمام والجيب، التي يستعملها درس الدالة الأسية المركبة لتسويغ صيغة أويلر والتي يُبرهن عليها في دورة التفاضل والتكامل 1. ومن الجبر، ثلاث نتائج مصرّح بها في درس المعادلات الحدودية: المبرهنة الأساسية في الجبر، التي يتوقّف عليها التحليل الكامل، ومبرهنتا هولدر وآبل-روفيني، اللتان لا تسندان أي حلقة ولا تفسّران إلا لماذا تستلزم الحالة غير القابلة للاختزال الالتفاف عبر الأعداد المركبة ولماذا لا توجد صيغ بالجذور ابتداءً من الدرجة الخامسة. وأخيرًا، يذكر مثال لولب القوى، في درس صيغة دي موافر، دون أن يستعملها، خاصية اللولب اللوغاريتمي في أنه يقطع بالزاوية نفسها كل مستقيم يمر بالأصل، وهي خاصية يُبرهن عليها كذلك بحساب التفاضل. وكل ما عدا ذلك يُبرهن عليه في الوحدة، أو في الوحدتين اللتين سبقتاها، أو في دورة الجبر والهندسة 1؛ وفي السلسلة تظهر الوقائع الإقليدية والمبرهنة الأساسية بوصفها دعامات مقبولة، أما المتسلسلات، التي لا تسند أي حلقة لأن الدالة الأسية التخيلية تُعتمد تعريفًا، فلا تظهر.

ويجمع الرسم الآتي مقاطع الوحدة الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة: مبرهنة التساوي في الشكل القطبي، التي تُثبَت في الحلقة الأولى، ونتائج الوحدات التي سبقت أو دورة الجبر والهندسة 1، التي تُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aالتساوي في الشكل القطبي. يتساوى العددان المركبان $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ و $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ ، حيث $r_1$ و $r_2$ موجبان، إذا وفقط إذا كان $r_1 = r_2$ وكان الفرق $\theta_1 - \theta_2$ مضاعفًا صحيحًا لـ $2\pi$ . تثبت في: 1. التساوي في الشكل القطبي.
Bالصيغ المثلثية. المتطابقة الفيثاغورية، وجيب تمام وجيب المجموع والفرق، والزاوية المضاعفة ونصف الزاوية والزاوية الثلاثية، وزوجية الجيب وجيب التمام ودوريتهما، وأصفارهما، ووصف الزوايا المشتركة في الضلع النهائي، ورتابة جيب التمام على $\icc{0}{\pi}$ ، وقانون جيوب التمام، وقد بُرهن عليها في الوحدتين 1 و2، عن الدوال المثلثية وعن علم المثلثات التحليلي. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cالهندسة الإقليدية. تُقبل، في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الهندسة التحليلية في المستوى، وقائع الهندسة الإقليدية: مبرهنة فيثاغورس وعكسها، والمستقيمات المتوازية، ومبرهنة طاليس وتشابه المثلثات، ومجموع زوايا المثلث، والمثلث المتساوي الساقين. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dمبدأ الاستقراء. إذا تحقّقت خاصية للعدد الطبيعي الأول وانتقلت من كل عدد طبيعي إلى العدد الذي يليه مباشرة، فإنها تتحقّق للجميع؛ بُرهن عليه في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eصيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي. لكل عدد طبيعي $n$ يتحقّق $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ، وإذا كان $q \neq 1$ فإن $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ؛ وقد بُرهن عليهما في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الأعداد الطبيعية، ولا يستعمل الحسابان إلا خصائص الجمع والضرب، فيصحّان كذلك مع الأعداد المركبة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fالقسمة الإقليدية وبيزو. كل عدد صحيح يُكتب على الصورة $qn + r$ حيث $0 \leq r \leq n - 1$ ، وإذا كان $\operatorname{gcd}(k, n) = 1$ فإنه يوجد عددان صحيحان $x$ و $y$ بحيث $kx + ny = 1$ ؛ بُرهن على ذلك في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Gالدالة الأسية الحقيقية. الدالة الأسية الحقيقية موجبة، وتباينية، وتقابلية على الأعداد الحقيقية الموجبة، وتحقّق $e^a e^c = e^{a + c}$ ، وتعرّف جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي؛ بُرهن على ذلك في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Hمبرهنة العامل والمبرهنة الأساسية. إذا كان $z_0$ جذرًا للحدودية $P$ ، فإن $z - z_0$ يقسم $P$ ، وقد بُرهن على ذلك في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الدوال الجبرية وهو صحيح في الأعداد المركبة؛ ولكل حدودية مركبة من الدرجة $n \geq 1$ جذر مركب واحد على الأقل، وهذا يُقبل دون برهان. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

المقطع 1 الشكل القطبي والجداء
- كتابة كل عدد مركب غير منعدم في الشكل القطبي، والبرهان على أن هذه الكتابة وحيدة بصرف النظر عن الدورات الكاملة.
- البرهان، بصيغ المجموع والفرق، على أنه في الجداء تُضرب المقاييس وتُجمع العُمَد.
- استنتاج المرافق والمقلوب في الشكل القطبي من ذلك، وسلوك العمدة الرئيسية لجداء.
- تفسير الضرب في عدد مركب بوصفه دورانًا مركّبًا مع تمديد.
1. التساوي في الشكل القطبي. عمدة العدد $z = a + bi \neq 0$ هي كل عدد حقيقي $\theta$ يحقّق $a = \abs{z} \cos \theta$ و $b = \abs{z} \sin \theta$ ؛ والعدد المركب $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ، حيث $r > 0$ ، مقياسه $r$ وعمدته $\theta$ ، وتتساوى عبارتان من هذا النوع إذا وفقط إذا كان لهما المقياس نفسه وكانت عمدتاهما تختلفان بمضاعف صحيح لـ $2\pi$ .
  تستند إلى: B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: الشكل القطبي للأعداد المركبة.
2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي. إذا كان مقياس $z$ هو $r$ وعمدته $\theta$ ، وكان مقياس $w$ هو $s$ وعمدته $\varphi$ ، فإن الجداء $zw$ مقياسه $rs$ وعمدته $\theta + \varphi$ ، وخارج القسمة $\frac{z}{w}$ مقياسه $\frac{r}{s}$ وعمدته $\theta - \varphi$ .
  تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: الشكل القطبي للأعداد المركبة.
3. المرافق والمقلوب. إذا كان $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ، حيث $r > 0$ ، فإن مرافق $z$ مقياسه $r$ وعمدته $-\theta$ ، والمقلوب $\frac{1}{z}$ مقياسه $\frac{1}{r}$ وعمدته $-\theta$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: الشكل القطبي للأعداد المركبة.
4. العمدة الرئيسية لجداء. العمدة الرئيسية لـ $zw$ هي $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ ، حيث $k$ يساوي $-1$ أو $0$ أو $1$ ، ويكون $k = 0$ تمامًا عندما يقع هذا المجموع في $\ioc{-\pi}{\pi}$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي). يُبرهن في: الشكل القطبي للأعداد المركبة.
5. المثلثان المتشابهان للجداء. إذا كان $z \neq 0$ ولم يكن $w$ حقيقيًّا، فإن المثلث الذي رؤوسه $0$ و $z$ و $zw$ يشابه المثلث الذي رؤوسه $0$ و $1$ و $w$ ، بنسبة $\abs{z}$ : فالضرب في $z$ دوران مع تمديد.
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي. تستند إلى: C (الهندسة الإقليدية), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: الشكل القطبي للأعداد المركبة.
المقطع 2 القوى والجذور
- البرهان بالاستقراء على صيغة دي موافر لكل أسّ صحيح.
- استخراج صيغ مضاعفات الزاوية منها ومن صيغة ثنائي الحد لنيوتن، وإخطاط قوى جيب التمام، وجمع الجيوب وجيوب التمام بمجموع هندسي.
- البرهان على أن لكل عدد مركب غير منعدم بالضبط $n$ من الجذور من الرتبة $n$ ، هي رؤوس مضلع منتظم.
- دراسة جذور الواحد: قواها، ومجموعها، وتحليل $z^n - 1$ ، والجذور البدائية.
1. صيغة دي موافر. لكل عدد حقيقي $\theta$ ولكل عدد صحيح $n$ يتحقّق $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ؛ ومن ثمّ، إذا كان $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ، فإن القوة $z^n$ مقياسها $r^n$ وعمدتها $n\theta$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 3. المرافق والمقلوب. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), D (مبدأ الاستقراء), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: صيغة دي موافر وقوى الأعداد المركبة.
2. مضاعفات الزاوية. جيب تمام $n\theta$ هو المجموع المتناوب للحدود $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ ذات الدليل $k$ الزوجي، وجيب $n\theta$ هو مجموع الحدود ذات الدليل الفردي.
  تستعمل: 6. صيغة دي موافر. تستند إلى: E (صيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي). يُبرهن في: صيغة دي موافر وقوى الأعداد المركبة.
3. الإخطاط. إذا كان $z = \cos \theta + i \sin \theta$ ، فإنه يتحقّق $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ و $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ؛ ويترتّب على ذلك، مثلًا، $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ و $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  تستعمل: 6. صيغة دي موافر. تستند إلى: E (صيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: صيغة دي موافر وقوى الأعداد المركبة.
4. مجاميع الجيوب وجيوب التمام. إذا لم يكن $\theta$ مضاعفًا صحيحًا لـ $2\pi$ ، فإن مجموع الأعداد المركبة $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ ، حيث $k$ من $0$ إلى $n - 1$ ، هو العدد الحقيقي $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ مضروبًا في العدد المركب الذي مقياسه $1$ وعمدته $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ ، وهذا يعطي مجموعي جيوب التمام والجيوب.
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 6. صيغة دي موافر. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), E (صيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: صيغة دي موافر وقوى الأعداد المركبة.
5. الجذور النونية. إذا كان $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ ، فإن للمعادلة $z^n = w$ بالضبط $n$ من الحلول، مقياسها $\sqrt[n]{R}$ وعُمَدها $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ حيث $0 \leq k \leq n - 1$ ، وهي، عندما $n \geq 3$ ، رؤوس مضلع منتظم محاط بالدائرة التي نصف قطرها $\sqrt[n]{R}$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 6. صيغة دي موافر. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), F (القسمة الإقليدية وبيزو), B (الصيغ المثلثية), D (مبدأ الاستقراء). يُبرهن في: الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
6. جذور الواحد بوصفها قوى. جذور الواحد من الرتبة $n$ هي القوى $\omega_k = \omega^k$ للعدد $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ؛ وتُضرب بجمع الأدلة بترديد $n$ ، ومقلوب كل منها هو مرافقه، والضرب في أحدها يبدّلها فيما بينها.
  تستعمل: 3. المرافق والمقلوب, 6. صيغة دي موافر, 10. الجذور النونية. تستند إلى: F (القسمة الإقليدية وبيزو). يُبرهن في: الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
7. مجموع قوى الجذور. إذا كان $n \geq 2$ ، فإن مجموع القوى من الرتبة $m$ لجذور الواحد من الرتبة $n$ ، وعددها $n$ ، يساوي $n$ إذا كان $n$ يقسم $m$ ، ويساوي $0$ في الحالة المعاكسة؛ وبخاصة مجموع الجذور صفر.
  تستعمل: 11. جذور الواحد بوصفها قوى. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), E (صيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي). يُبرهن في: الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
8. تحليل z أس n ناقص 1. لكل عدد طبيعي $n$ ، الحدودية $z^n - 1$ هي جداء $n$ من العوامل $z - \omega_k$ ، حيث $0 \leq k \leq n - 1$ .
  تستعمل: 10. الجذور النونية. تستند إلى: H (مبرهنة العامل والمبرهنة الأساسية). يُبرهن في: الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
9. الجذور البدائية. يكون الجذر $\omega_k$ ، حيث $1 \leq k \leq n$ ، بدائيًّا، أي تعطي قواه كل جذور الواحد من الرتبة $n$ ، إذا وفقط إذا كان $\operatorname{gcd}(k, n) = 1$ .
  تستعمل: 11. جذور الواحد بوصفها قوى, 12. مجموع قوى الجذور. تستند إلى: F (القسمة الإقليدية وبيزو). يُبرهن في: الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
10. التحليل الحقيقي لـ x أس n ناقص 1. كل زوج من الجذرين المترافقين غير الحقيقيين $\omega_k$ و $\omega_{n - k}$ يعطي العامل غير القابل للاختزال $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ ، بحيث تكون $x^n - 1$ جداء $x - 1$ ، و $x + 1$ إذا كان $n$ زوجيًّا، وهذه العوامل التربيعية.
  تستعمل: 3. المرافق والمقلوب, 11. جذور الواحد بوصفها قوى, 13. تحليل z أس n ناقص 1. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
المقطع 3 الدالة الأسية المركبة والهندسة
- تعريف $e^{i\theta}$ بصيغة أويلر وتعريف $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ ، والتعرّف في القواعد المتقدّمة على قوانين الأسس.
- البرهان على أن الدالة الأسية تحوّل المجاميع إلى جداءات وأنها دورية دورها $2\pi i$ .
- التعبير عن جيب التمام والجيب بدوال أسية، وربطهما بالدوال الزائدية، والحصول على لوغاريتمات عدد مركب.
- كتابة دورانات المستوى وانعكاساته بالأعداد المركبة، وقراءة الاستقامية والتعامد في خارج قسمة، وتعريف توجيه المثلث والبرهان على عدم تغيّره، ووصف المثلث المتساوي الأضلاع.
1. الدالة الأسية التخيلية. العدد المركب $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ مقياسه $1$ ، ويتحقّق $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ و $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ و $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ ، وهذا الأخير هو مرافقه؛ وفضلًا عن ذلك، يكون $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ إذا وفقط إذا كان الفرق $\alpha - \beta$ مضاعفًا صحيحًا لـ $2\pi$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 3. المرافق والمقلوب, 6. صيغة دي موافر. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر.
2. الدالة الأسية لمجموع. إذا كان $z = a + bi$ و $e^z = e^a e^{ib}$ ، فإن مقياس $e^z$ هو $e^a$ ، و $b$ إحدى عُمَده، و $e^z$ لا ينعدم أبدًا؛ ولكل عددين مركبين $z$ و $w$ يتحقّق $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 16. الدالة الأسية التخيلية. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), G (الدالة الأسية الحقيقية). يُبرهن في: الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر.
3. دورية الدالة الأسية. يتحقّق $e^z = 1$ إذا وفقط إذا كان $z = 2k\pi i$ لعدد صحيح ما $k$ ؛ ومن ثمّ يكون $e^z = e^w$ إذا وفقط إذا كان الفرق $z - w$ مضاعفًا صحيحًا لـ $2\pi i$ .
  تستعمل: 17. الدالة الأسية لمجموع. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), G (الدالة الأسية الحقيقية). يُبرهن في: الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر.
4. صيغتا أويلر. يتحقّق $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ و $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ؛ وبهما يُعرَّف جيب التمام والجيب لعدد مركب، وهما يحافظان على صيغ الجمع والزاوية المضاعفة وخفض الأس، لا على صيغ نصف الزاوية ذات الإشارة المزدوجة، ونحصل على $\cos(ix) = \cosh x$ و $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  تستعمل: 16. الدالة الأسية التخيلية, 17. الدالة الأسية لمجموع. تستند إلى: B (الصيغ المثلثية), G (الدالة الأسية الحقيقية). يُبرهن في: الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر.
5. لوغاريتمات عدد مركب. إذا كان $z \neq 0$ ، فإن حلول $e^w = z$ هي $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ ، حيث $k$ عدد صحيح؛ وقيم $z^{\frac{1}{n}}$ المعرَّفة بها هي بالضبط $n$ من الجذور من الرتبة $n$ لـ $z$ .
  تستعمل: 10. الجذور النونية, 11. جذور الواحد بوصفها قوى, 17. الدالة الأسية لمجموع, 18. دورية الدالة الأسية. تستند إلى: A (التساوي في الشكل القطبي), G (الدالة الأسية الحقيقية). يُبرهن في: الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر.
6. الدوران حول نقطة. التحويل $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ يُبقي $c$ ثابتة، ويحافظ على المسافات، ويدير بزاوية $\varphi$ القطعة المستقيمة التي تصل كل نقطة بـ $c$ : إنه الدوران الذي مركزه $c$ وزاويته $\varphi$ .
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 16. الدالة الأسية التخيلية. يُبرهن في: الهندسة بالأعداد المركبة.
7. الانعكاسات وتركيبها. الانعكاس في المستقيم الذي يمر بالأصل بزاوية $\alpha$ هو التقايس $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ ، وتركيب الانعكاسين ذوي الزاويتين $\alpha$ و $\beta$ هو الدوران الذي مركزه الأصل وزاويته $2(\beta - \alpha)$ .
  تستعمل: 3. المرافق والمقلوب, 16. الدالة الأسية التخيلية, 21. الدوران حول نقطة. يُبرهن في: الهندسة بالأعداد المركبة.
8. الاستقامية والتوجيه. إذا كان $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ ، فإن الزاوية الموجَّهة من القطعة المستقيمة الممتدة من $z_1$ إلى $z_2$ إلى القطعة الممتدة من $z_1$ إلى $z_3$ عمدةٌ لـ $q$ ؛ وتكون النقاط مستقيمية إذا وفقط إذا كان $q$ حقيقيًّا، وتكون القطعتان متعامدتين إذا وفقط إذا كان $q$ تخيليًّا بحتًا. وإذا لم تكن مستقيمية، فإن المثلث $z_1 z_2 z_3$ يكون ذا توجيه موجب عندما $\operatorname{Im} q > 0$ ؛ ولا يتوقّف التوجيه على الرأس الأول، وينعكس عند تبديل رأسين وعند تطبيق انعكاس، وتحافظ عليه الدورانات.
  تستعمل: 2. الجداء وخارج القسمة في الشكل القطبي, 16. الدالة الأسية التخيلية, 21. الدوران حول نقطة, 22. الانعكاسات وتركيبها. يُبرهن في: الهندسة بالأعداد المركبة.
9. المثلث المتساوي الأضلاع. إذا كان $z_1 \neq z_2$ ، فإن النقاط $z_1$ و $z_2$ و $z_3$ هي، بهذا الترتيب، رؤوس مثلث متساوي الأضلاع ذي توجيه موجب إذا وفقط إذا كان $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ ، حيث $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ؛ ويردّ البرهان الشرط إلى $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ مع $\operatorname{Im} q > 0$ ، أي إلى $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  تستعمل: 16. الدالة الأسية التخيلية, 12. مجموع قوى الجذور, 23. الاستقامية والتوجيه. يُبرهن في: الهندسة بالأعداد المركبة.
المقطع 4 المعادلات الحدودية
- استنتاج أن كل حدودية مركبة من الدرجة $n$ جداء $n$ من العوامل الخطية، انطلاقًا من المبرهنة الأساسية في الجبر.
- البرهان على علاقات فييت بين الجذور والمعاملات.
- حلّ المعادلة التكعيبية بصيغة كاردانو، وتصنيف جذورها الحقيقية بالمميز، وحلّ الحالة غير القابلة للاختزال بالزاوية الثلاثية.
- ردّ المعادلة من الدرجة الرابعة إلى معادلة تكعيبية بطريقة فيراري.
1. التحليل في الأعداد المركبة. كل حدودية مركبة من الدرجة $n \geq 1$ معاملها الرئيسي $a_n$ تساوي $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ ، ولها بالضبط $n$ من الجذور محسوبةً برتبها.
  تستند إلى: D (مبدأ الاستقراء), H (مبرهنة العامل والمبرهنة الأساسية). يُبرهن في: المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.
2. علاقات فييت. تحقّق الدوال المتناظرة الأولية للجذور $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ؛ وبخاصة مجموع الجذور هو $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ وجداؤها هو $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  تستعمل: 25. التحليل في الأعداد المركبة. تستند إلى: D (مبدأ الاستقراء). يُبرهن في: المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.
3. صيغة كاردانو. التعويض $x = t - \frac{b}{3a}$ يردّ المعادلة التكعيبية إلى $t^3 + pt + q = 0$ ؛ وإذا كان $u$ جذرًا تكعيبيًّا لجذر $U$ من جذري المعادلة المحلِّلة $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ وكان $v = -\frac{p}{3u}$ ، فإن جذورها هي $u + v$ و $\omega u + \omega^2 v$ و $\omega^2 u + \omega v$ .
  تستعمل: 10. الجذور النونية, 11. جذور الواحد بوصفها قوى, 12. مجموع قوى الجذور, 26. علاقات فييت. تستند إلى: E (صيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي). يُبرهن في: المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.
4. مميز المعادلة التكعيبية. إذا كان $p$ و $q$ حقيقيين وكان $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ ، فإن للمعادلة التكعيبية $t^3 + pt + q = 0$ جذرًا حقيقيًّا وجذرين مترافقين غير حقيقيين إذا كان $\Delta < 0$ ، وجذورًا حقيقية بينها جذر مضاعف إذا كان $\Delta = 0$ ، وثلاثة جذور حقيقية مختلفة إذا كان $\Delta > 0$ .
  تستعمل: 3. المرافق والمقلوب, 11. جذور الواحد بوصفها قوى, 27. صيغة كاردانو. يُبرهن في: المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.
5. الحل المثلثي. إذا كان $\Delta > 0$ ، ومع $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ و $c = \frac{3q}{pm}$ الواقع في $\ioo{-1}{1}$ ، فإن الجذور الحقيقية الثلاثة هي $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ ، حيث $k = 0, 1, 2$ .
  تستعمل: 25. التحليل في الأعداد المركبة, 28. مميز المعادلة التكعيبية. تستند إلى: B (الصيغ المثلثية). يُبرهن في: المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.
6. طريقة فيراري. التعويض $x = y - \frac{b}{4a}$ يردّ المعادلة من الدرجة الرابعة إلى $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ؛ وإذا كان $q \neq 0$ وكان $m$ جذرًا لمحلِّلتها التكعيبية، مع $s^2 = 2m$ ، فإن الحدودية من الدرجة الرابعة جداء عاملين من الدرجة الثانية جذورهما هي جذورها.
  تستعمل: 10. الجذور النونية, 25. التحليل في الأعداد المركبة, 27. صيغة كاردانو. تستند إلى: E (صيغة ثنائي الحد لنيوتن والمجموع الهندسي). يُبرهن في: المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.

نحو المصفوفات والبنى الجبرية. تنتهي السلسلة حيث تصير الأعداد المركبة بنية: فالضرب في $e^{i\varphi}$ سيصير مصفوفة دوران، ومربع المقياس محدِّدًا، وجذور الواحد، التي تُضرب كما تُجمع بواقي القسمة على $n$ ، أول مثال لزمرة دائرية.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
مجموع جيوب للمسبّع
مجموع مربعات ظلال التمام
القوى الرابعة للمسافات إلى الرؤوس
قيم قوى الواحد
قوى جذور معادلة تكعيبية وتحويلاتها
ثلاثة دورانات بثلث دورة
مجموع مقلوبات على جذور الواحد
المعادلة التكعيبية للمسبّع
مجموع ثنائي الحد بقوى ناقص ثلاثة
جداء على جذور الواحد