انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري

ملخص

يدرس درسنا هذا المعادلات كثيرة الحدود في حقل الأعداد المركبة. فمن المبرهنة الأساسية في الجبر، التي تُقبل دون برهان، يستنتج بالاستقراء أن كل كثيرة حدود من الدرجة nn هي جداء nn من العوامل الخطية ولها بالضبط nn من الجذور محسوبةً برتبها؛ ويبرهن علاقات فييت لأي درجة وصيغ مجموع مربعات الجذور ومجموع مكعباتها. ويحل المعادلات ثنائية الحد وثلاثية الحدود والتبادلية بردّها إلى معادلات أخرى من درجة أدنى. ثم يردّ المعادلة من الدرجة الثالثة إلى الشكل المختزل، ويستنتج صيغة كاردانو، ويصنّف الجذور بواسطة المميز، ويبيّن بمعادلة بومبيلي لماذا أجبرت الصيغة على قبول الأعداد المركبة حتى عندما تكون الجذور كلها حقيقية، ويحل تلك الحالة بصيغة ثلاثة أضعاف الزاوية. وأخيرًا، يردّ المعادلة من الدرجة الرابعة إلى الشكل المختزل، ويبرهن طريقة فيراري، التي تفكّكها إلى معادلتين من الدرجة الثانية بواسطة جذر لمحلِّلتها التكعيبية، ويشرح لماذا لا توجد صيغة مماثلة ابتداءً من الدرجة الخامسة.

أهداف التعلم

  1. استنتاج تحليل كل كثيرة حدود مركبة إلى عوامل خطية من المبرهنة الأساسية في الجبر، وربط الجذور بالمعاملات بواسطة علاقات فييت ومجاميع القوى.
  2. حل المعادلات ثنائية الحد وثلاثية الحدود والتبادلية بردّها إلى معادلات من درجة أدنى.
  3. ردّ المعادلة من الدرجة الثالثة إلى الشكل المختزل، واستنتاج صيغة كاردانو، وتصنيف جذور معادلة تكعيبية حقيقية بحسب إشارة مميزها.
  4. حل معادلة تكعيبية ذات ثلاثة جذور حقيقية بالطريقة المثلثية، وشرح الدور التاريخي لصيغة كاردانو في قبول الأعداد المركبة بمثال بومبيلي.
  5. حل المعادلات من الدرجة الرابعة بطريقة فيراري، بردّها إلى الشكل المختزل وتحليلها بواسطة جذر للمحلِّلة التكعيبية.

المبرهنة الأساسية في الجبر في الأعداد المركبة

في دورة الجبر والهندسة 1، وفي درسها الخاص بـجذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا، نُصّت المبرهنة الأساسية في الجبر، ورُسمت خطوط نتيجتها القائلة إن كل كثيرة حدود مركبة من الدرجة nn هي جداء nn من العوامل الخطية، واستُنتج منها أن كل كثيرة حدود حقيقية هي جداء عوامل خطية وعوامل تربيعية غير قابلة للتحليل؛ وهنا يُعطى البرهان الكامل، بالاستقراء، لذلك التحليل في الأعداد المركبة. ويتبنى درسنا هذا وجهة نظر الأعداد المركبة: فالمعاملات والجذور يمكن أن تكون مركبة، ولم يعد السؤال هل للمعادلة حل، بل كيف نجد جميع حلولها. كثيرة الحدود ذات المعاملات المركبة من الدرجة nn هي عبارة P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0، حيث aka_k أعداد مركبة وan≠0a_n \neq 0؛ ويكون العدد المركب z0z_0 جذرًا لـPP إذا كان P(z0)=0P(z_0) = 0.

إن براهين خوارزمية القسمة ومبرهنة الباقي ومبرهنة العامل، التي أُنجزت في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـجبر كثيرات الحدود، لا تستعمل إلا خواص الجمع والضرب والقسمة على المعاملات، وهي خواص يشترك فيها C\mathbb{C} مع R\mathbb{R} بحسب درس الأعداد المركبة. ومن ثمّ فهي صحيحة دون تغيير لكثيرات الحدود ذات المعاملات المركبة، وكذلك توطئة الجذور المختلفة ومبدأ تطابق كثيرات الحدود من درس جبر كثيرات الحدود ذاته (كثيرتا حدود تأخذان القيمة نفسها عند كل عدد مركب لهما المعاملات نفسها)، وتعريف رتبة الجذر من درس جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا. وما يميّز C\mathbb{C} هو المبرهنة الآتية.

حقيقة مقبولة دون برهان (المبرهنة الأساسية في الجبر). لكل كثيرة حدود من الدرجة n≥1n \geq 1 ذات معاملات مركبة جذر مركب واحد على الأقل.

كما في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بجذور كثيرات الحدود، تُقبل هذه المبرهنة دون برهان: فكل براهينها المعروفة تستعمل أدوات تتجاوز هذه الدورة، مثل اتصال الدوال ذات المتغيرين الحقيقيين أو دراسة دوال المتغير المركب. وقد قدّم كارل فريدريش غاوس سنة 1799 أول برهان شبه كامل، بعد محاولات دالمبير وأويلر. ونتيجتها الرئيسية أن المعادلات كثيرة الحدود لا تُلزم بتوسيع C\mathbb{C}، كما ألزمت x2=2x^2 = 2 بتوسيع Q\mathbb{Q} وألزمت x2=−1x^2 = -1 بتوسيع R\mathbb{R}: فكل كثيرة حدود مركبة تتحلل تحليلًا تامًا في C\mathbb{C}.

مبرهنةالتحليل في الأعداد المركبة

كل كثيرة حدود PP من الدرجة n≥1n \geq 1 ذات معاملات مركبة ومعامل رئيسي ana_n هي جداء ana_n في nn من العوامل الخطية، كما في الصيغة الآتية، حيث z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n أعداد مركبة ليست بالضرورة مختلفة. وجذور PP هي بالضبط الأعداد zkz_k، ويظهر كل منها في القائمة عددًا من المرات يساوي رتبته؛ ومن ثمّ فلـPP بالضبط nn من الجذور المركبة محسوبةً برتبها.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

يجري البرهان بالاستقراء على الدرجة، كما في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمجاميع والمتواليات والاستقراء. ويتابعه الرسم في المستوى المركب بكثيرة الحدود P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10، التي جذورها 11، وهو جذر مضاعف، و−2-2 و−1+2i-1 + 2i و−1−2i-1 - 2i.

البرهان

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    الحالة الابتدائية: كثيرة الحدود من الدرجة 11 هي معاملها الرئيسي مضروبًا في عامل خطي وحيد، جذره −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    لنفترض صحة المبرهنة لكثيرات الحدود من الدرجة nn، ولتكن PP من الدرجة n+1n + 1. بحسب المبرهنة الأساسية في الجبر، لـPP جذر z1z_1؛ وبحسب مبرهنة العامل، PP هي جداء z−z1z - z_1 في خارج قسمة CC من الدرجة nn، معامله الرئيسي هو معامل PP الرئيسي، كما يتبيّن بمقارنة الحدود ذات الدرجة العليا. في المثال، z1=1z_1 = 1، والقسمة التركيبية تعطي خارج القسمة الوارد في الصيغة.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    بحسب فرضية الاستقراء، CC هي معاملها الرئيسي an+1a_{n + 1} مضروبًا في nn من العوامل الخطية؛ وبالتعويض تُكتب PP كما أردنا. وبحسب مبدأ الاستقراء، يوجد التحليل لكل درجة n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    جداء أعداد مركبة لا ينعدم إلا إذا انعدم أحد عوامله، وan≠0a_n \neq 0: فالعدد ww جذر لـPP إذا وفقط إذا ساوى أحد الأعداد zkz_k. ولا جذور غير التي في القائمة.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    نجمع العوامل المتساوية: إذا كانت r1,…,rsr_1, \ldots, r_s هي الجذور المختلفة وظهر rjr_j عددًا من المرات قدره kjk_j، فإن خارج قسمة PP على (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} لا ينعدم عند r1r_1، لأنه جداء عوامل غير منعدمة؛ ومن ثمّ فإن k1k_1 هو رتبة r1r_1، والأمر نفسه في الجذور الأخرى. ومجموع الرتب nn؛ وفي المثال 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

لما كانت رتبة كل جذر معرّفة تعريفًا جيدًا، بحسب درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بجذور كثيرات الحدود، فإن القائمة z1,…,znz_1, \ldots, z_n تتحدد بـPP، بصرف النظر عن الترتيب: فالتحليل وحيد. ومن الآن فصاعدًا، تدلّ جذور كثيرة حدود من الدرجة nn على هذه القائمة من nn من الأعداد، مع التكرارات التي تشير إليها الرتبة. وإذا كانت المعاملات حقيقية، فإن الجذور غير الحقيقية تأتي أزواجًا مترافقة، بحسب مبرهنة الجذور المترافقة من درس الأعداد المركبة؛ وبضرب عاملي كل زوج نحصل على عامل تربيعي حقيقي، فنستعيد بذلك التحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية من درس جذور كثيرات الحدود.