Matrices et structures algébriques : introduction

Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.

1. Question 1Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Quel est le produit $AB$ ?

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. Question 2On considère le système d’équations $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$ et $2x + 3y + 4z = k$. Pour quelles valeurs de $k$ est-il compatible, et combien de solutions a-t-il alors ?

   Seulement pour $k = 3$, et il a alors une infinité de solutions, qui dépendent d’un paramètre.

   Pour tout $k$, avec une unique solution.

   Seulement pour $k = 3$, et il a alors une unique solution.

   Pour aucun $k$.

3. Question 3Calculer le déterminant de la matrice de lignes $\left( 2, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 3, -1 \right)$ et $\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. Question 4Soit $A$ une matrice d’ordre $3$ telle que $\det A = 2$. Que vaut $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$ ?

5. Question 5Quelle est l’inverse de la matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ?

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. Question 6Soient $A$, $B$ et $C$ des matrices carrées de même ordre, avec $A$ et $B$ inversibles. Quelle est la solution de l’équation $AXB = C$ ?

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. Question 7Quelle est la matrice de la transformation du plan qui fait tourner chaque vecteur d’un quart de tour dans le sens direct autour de l’origine, puis l’envoie sur son symétrique par rapport à l’axe des abscisses ?

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Question 8Soit $M(z)$ la matrice de la multiplication par le complexe $z$. Calculer $\det M(3 - 4i)$.

9. Question 9Lequel de ces ensembles, muni de la loi indiquée, est un groupe ?

   Les restes non nuls de $\mathbb{Z}_7$, avec la multiplication.

   Les entiers, avec la multiplication.

   Les entiers naturels, avec l’addition.

   Les restes non nuls de $\mathbb{Z}_6$, avec la multiplication.

10. Question 10Une ville compte $600$ mille habitants dans son centre et $400$ mille dans sa périphérie. Chaque année, $10$ pour cent des habitants du centre s’installent en périphérie et $20$ pour cent de ceux de la périphérie s’installent dans le centre ; personne d’autre n’arrive ni ne s’en va. Si les proportions se maintiennent, combien de milliers d’habitants le centre comptera-t-il au bout de deux ans ?

11. Question 11Des unités précédentesRésoudre par la règle de Cramer le système $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$, et donner la valeur de $x$.

12. Question 12Des unités précédentesTrouver l’inverse de $4$ modulo $9$, c’est-à-dire le reste $x$ compris entre $0$ et $8$ tel que $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. Question 13Des unités précédentesQuelle est la forme polaire de $1 + i\sqrt{3}$ ?

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$