Les nombres complexes comme matrices

Résumé

Cette leçon associe à chaque nombre complexe $z = a + bi$ la matrice de la transformation du plan qui multiplie par $z$ , et démontre que cette correspondance est injective et transforme les sommes en sommes et les produits en produits : les matrices de cette forme constituent une copie fidèle des nombres complexes au sein des matrices carrées d’ordre deux. Dans cette copie, l’unité imaginaire est la rotation d’un quart de tour, dont le carré est l’opposée de l’identité ; le carré du module est le déterminant, le conjugué est la transposée et l’inverse est la matrice inverse. La forme polaire décompose chacune de ces matrices en une rotation, puis une homothétie, et les formules d’Euler et de Moivre réapparaissent comme la règle de composition des rotations. La leçon explique pourquoi ces matrices commutent, bien que les matrices en général ne le fassent pas, et se termine par un premier regard sur les quaternions de Hamilton, dont le produit n’est plus commutatif.

Objectifs d’apprentissage

Obtenir la matrice de la multiplication par un nombre complexe et démontrer que la correspondance entre complexes et matrices conserve la somme et le produit.
Traduire en matrices le module, le conjugué, l’inverse et la forme polaire d’un complexe, et interpréter géométriquement chaque traduction.
Calculer des puissances, des inverses et des racines de nombres complexes au moyen de leurs matrices, et reconnaître dans les formules d’Euler et de Moivre la composition de rotations.
Expliquer pourquoi les matrices des complexes commutent entre elles, démontrer que ce sont celles qui commutent avec la rotation d’un quart de tour et vérifier avec leurs matrices que le produit des quaternions n’est pas commutatif.

La matrice de la multiplication par un complexe

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les nombres complexes, on a identifié chaque complexe $x + yi$ au point $(x, y)$ du plan, et on a démontré que multiplier par $i$ fait tourner chaque point d’un quart de tour autour de l’origine. S’il en est ainsi, multiplier par un complexe fixé $z$ est une transformation du plan, qui à chaque point $w$ associe le point $zw$ . Dans la leçon sur les matrices comme transformations du plan, on a démontré qu’une transformation linéaire est déterminée par une matrice, dont les colonnes sont les images des vecteurs $(1, 0)$ et $(0, 1)$ . Il en découle la question qui oriente cette leçon : quelle matrice a la multiplication par $z$ , et que gagne-t-on à représenter chaque nombre complexe par cette matrice ?

PropositionLa matrice de la multiplication par z

Soit $z = a + bi$ un complexe fixé. La transformation du plan qui multiplie chaque complexe $w = x + yi$ par $z$ est linéaire ; sa matrice a pour colonnes $z$ et $iz$ , et, si $z \neq 0$ , elle envoie le carré unité sur un carré de côté $\abs{z}$ .

Nous développons le produit et y lisons la matrice. La figure utilise $z = 2 + i$ .

Démonstration

$zw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}$
Nous développons le produit par distributivité et remplaçons $i^2$ par $-1$ .
$\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$
Nous écrivons les points comme vecteurs colonnes. Les coordonnées de $zw$ sont des combinaisons de $x$ et de $y$ à coefficients fixes : c’est le produit d’une matrice par le vecteur de $w$ , et la transformation est donc linéaire.
$z \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}$
Les colonnes de la matrice sont les images de $1$ et de $i$ . La première est $z$ ; la seconde est $iz = -b + ai$ , l’image de $z$ par la rotation d’un quart de tour.
$\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}$
Le carré unité, de sommets $0$ , $1$ , $1 + i$ et $i$ , est transformé en le quadrilatère de sommets $0$ , $z$ , $z + iz$ et $iz$ . Ses côtés issus de l’origine ont la même longueur $\abs{z}$ et sont perpendiculaires : l’image est un carré de côté $\abs{z}$ , tourné par rapport au carré unité.

La matrice obtenue a une forme très spéciale : ses deux coefficients diagonaux sont égaux, et les deux autres sont opposés. On appelle matrice du complexe $z = a + bi$ , avec $a$ et $b$ réels, la matrice de la multiplication par $z$ :

M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

La première colonne de $M(z)$ est $z$ lui-même, et la seconde est $iz$ . En séparant les deux composantes du complexe, la matrice se décompose en une combinaison de deux matrices fixes : l’identité $I$ , qui est la matrice du nombre $1$ , et la matrice $J$ du nombre $i$ .

M(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

Notamment, les nombres réels correspondent aux multiples de l’identité, $M(a) = aI$ , qui sont les homothéties de centre l’origine, et les imaginaires purs $bi$ aux multiples de $J$ . Les premières lignes du tableau de correspondances sont celles-ci.

M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Dans la suite de cette leçon

La somme et le produit sont conservés
L’unité imaginaire comme un quart de tour
Déterminant, transposée et inverse
La forme polaire : une rotation et une homothétie
Euler et de Moivre comme composition de rotations
Pourquoi ces matrices commutent
Un regard sur les quaternions
Problèmes résolus
Un système linéaire déguisé en division
La puissance huitième de 1 + i, en tournant
Les matrices qui commutent avec l’unité imaginaire
Une infinité de racines carrées de moins l’identité
Les racines carrées d’une rotation
Problèmes proposés
Les rotations sont les matrices de module un
L’équation du second degré d’une matrice de complexe
Le parcours d’une tortue graphique
Les nombres hyperboliques
Deux quaternions qui ne commutent pas