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Topos Uranos
Deutsch

Komplexe Zahlen als Matrizen

Zusammenfassung

Diese Lektion ordnet jeder komplexen Zahl z=a+biz = a + bi die Matrix der Abbildung der Ebene zu, die mit zz multipliziert, und beweist, dass diese Zuordnung injektiv ist und Summen in Summen und Produkte in Produkte überführt: Die Matrizen dieser Form bilden ein getreues Abbild der komplexen Zahlen innerhalb der quadratischen Matrizen der Ordnung zwei. In diesem Abbild ist die imaginäre Einheit die Vierteldrehung, deren Quadrat das Negative der Einheitsmatrix ist; das Quadrat des Betrags ist die Determinante, die Konjugierte ist die Transponierte, und das Inverse ist die inverse Matrix. Die Polarform zerlegt jede dieser Matrizen in eine Drehung, gefolgt von einer zentrischen Streckung, und die Formeln von Euler und de Moivre erscheinen erneut als die Regel für das Verketten von Drehungen. Die Lektion erklärt, warum diese Matrizen vertauschbar sind, obwohl Matrizen im Allgemeinen es nicht sind, und schließt mit einem ersten Blick auf die Quaternionen von Hamilton, deren Produkt nicht mehr kommutativ ist.

Lernziele

  1. Die Matrix der Multiplikation mit einer komplexen Zahl gewinnen und beweisen, dass die Zuordnung zwischen komplexen Zahlen und Matrizen Summe und Produkt erhält.
  2. Betrag, Konjugierte, Inverses und Polarform einer komplexen Zahl in Matrizen übersetzen und jede Übersetzung geometrisch deuten.
  3. Potenzen, Inverse und Wurzeln komplexer Zahlen mithilfe ihrer Matrizen berechnen und in den Formeln von Euler und de Moivre die Verkettung von Drehungen erkennen.
  4. Erklären, warum die Matrizen der komplexen Zahlen untereinander vertauschbar sind, beweisen, dass sie genau die mit der Vierteldrehung vertauschbaren Matrizen sind, und mit ihren Matrizen nachprüfen, dass das Produkt der Quaternionen nicht kommutativ ist.

Die Matrix der Multiplikation mit einer komplexen Zahl

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über die komplexen Zahlen wurde jede komplexe Zahl x+yix + yi mit dem Punkt (x,y)(x, y) der Ebene identifiziert, und es wurde bewiesen, dass die Multiplikation mit ii jeden Punkt um eine Vierteldrehung um den Ursprung dreht. Wenn dem so ist, ist die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl zz eine Abbildung der Ebene, die jedem Punkt ww den Punkt zwzw zuordnet. In der Lektion über Matrizen als Abbildungen der Ebene wurde bewiesen, dass eine lineare Abbildung durch eine Matrix bestimmt ist, deren Spalten die Bilder der Vektoren (1,0)(1, 0) und (0,1)(0, 1) sind. Daraus ergibt sich die Frage, die diese Lektion leitet: Welche Matrix hat die Multiplikation mit zz, und was gewinnt man, wenn man jede komplexe Zahl durch diese Matrix darstellt?

PropositionDie Matrix der Multiplikation mit z

Sei z=a+biz = a + bi eine feste komplexe Zahl. Die Abbildung der Ebene, die jede komplexe Zahl w=x+yiw = x + yi mit zz multipliziert, ist linear; ihre Matrix hat die Spalten zz und iziz, und, falls z≠0z \neq 0, bildet sie das Einheitsquadrat auf ein Quadrat der Seitenlänge ∣z∣\abs{z} ab.

Wir multiplizieren das Produkt aus und lesen daran die Matrix ab. Die Figur verwendet z=2+iz = 2 + i.

Beweis

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    Wir multiplizieren das Produkt mit dem Distributivgesetz aus und ersetzen i2i^2 durch −1-1.

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    Wir schreiben die Punkte als Spaltenvektoren. Die Koordinaten von zwzw sind Kombinationen von xx und yy mit festen Koeffizienten: Das ist das Produkt einer Matrix mit dem Vektor von ww, und die Abbildung ist folglich linear.

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    Die Spalten der Matrix sind die Bilder von 11 und von ii. Die erste ist zz; die zweite ist iz=−b+aiiz = -b + ai, das Bild von zz unter der Vierteldrehung.

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    Das Einheitsquadrat mit den Ecken 00, 11, 1+i1 + i und ii geht in das Viereck mit den Ecken 00, zz, z+izz + iz und iziz über. Seine vom Ursprung ausgehenden Seiten haben dieselbe Länge ∣z∣\abs{z} und stehen senkrecht aufeinander: Das Bild ist ein Quadrat der Seitenlänge ∣z∣\abs{z}, gegenüber dem Einheitsquadrat gedreht.

Die erhaltene Matrix hat eine sehr besondere Gestalt: Ihre beiden Diagonaleinträge sind gleich, und die beiden anderen sind entgegengesetzt. Matrix der komplexen Zahl z=a+biz = a + bi, mit reellen aa und bb, heißt die Matrix der Multiplikation mit zz:

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

Die erste Spalte von M(z)M(z) ist zz selbst, und die zweite ist iziz. Trennt man Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl, so zerfällt die Matrix in eine Kombination zweier fester Matrizen: der Einheitsmatrix II, die die Matrix der Zahl 11 ist, und der Matrix JJ der Zahl ii.

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

Insbesondere entsprechen die reellen Zahlen den Vielfachen der Einheitsmatrix, M(a)=aIM(a) = aI, also den zentrischen Streckungen mit Zentrum im Ursprung, und die rein imaginären Zahlen bibi den Vielfachen von JJ. Die ersten Einträge der Tabelle der Entsprechungen lauten so.

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}