Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper

Zweistellige Verknüpfungen

In diesem Kurs und im Kurs Algebra und Geometrie I wurden natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen addiert und multipliziert; es wurden Funktionen verkettet, Matrizen multipliziert und Drehungen der Ebene nacheinander ausgeführt. Jede dieser Verknüpfungen nimmt zwei Objekte einer Menge und liefert ein drittes Objekt derselben Menge, und bei allen wurden immer wieder ähnliche Eigenschaften bewiesen. Diese Lektion isoliert diese Eigenschaften und untersucht, was aus ihnen folgt, gleich welcher Natur die Objekte sind.

Eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge $A$ ist eine Vorschrift, die jedem geordneten Paar von Elementen $a$ und $b$ von $A$ genau ein Element von $A$ zuordnet, das man $a \cdot b$ oder einfach $ab$ schreibt. Dass das Ergebnis zu $A$ gehört, drückt man aus, indem man sagt, $A$ sei abgeschlossen unter der Verknüpfung.

Der Punkt bezeichnet hier nicht notwendig ein Produkt von Zahlen: Er ist der allgemeine Name der Verknüpfung, die im jeweiligen Fall die Addition, die Multiplikation, die Verkettung oder irgendeine andere sein wird. Ist die Verknüpfung eine Addition, so benutzt man üblicherweise das Zeichen $+$. Vier Eigenschaften sind von Belang. Die Verknüpfung ist assoziativ, wenn $(ab)c = a(bc)$ für alle $a$, $b$ und $c$ aus $A$ gilt, und kommutativ, wenn $ab = ba$ für alle $a$ und $b$ gilt. Ein Element $e$ von $A$ heißt neutral, wenn $ea = ae = a$ für jedes $a$ gilt; und gibt es ein neutrales Element, so heißt ein Element $b$ invers zu $a$, wenn $ab = ba = e$ gilt.

Keine der vier Eigenschaften ist selbstverständlich. Die Subtraktion ist eine zweistellige Verknüpfung auf $\mathbb{Z}$, aber sie ist weder assoziativ noch kommutativ und hat kein neutrales Element: Die $0$ erfüllt $a - 0 = a$, aber nicht $0 - a = a$. Die Division ist keine zweistellige Verknüpfung auf $\mathbb{Q}$, denn sie ordnet dem Paar aus $1$ und $0$ nichts zu. Die Addition auf $\mathbb{N}$ ist assoziativ und kommutativ, hat aber kein neutrales Element, denn in Kurs I beginnen die natürlichen Zahlen bei $1$. Die Verkettung von Funktionen ist assoziativ und nicht kommutativ, wie in der Lektion von Kurs I über die Funktionsverknüpfung bewiesen wurde, und dasselbe gilt für das Produkt quadratischer Matrizen derselben Ordnung, das in der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen untersucht wurde und dessen neutrales Element die Einheitsmatrix $I$ ist.