Structures algébriques : groupes, anneaux et corps

Lois de composition interne

Tout au long de ce cours et du cours Algèbre et géométrie I, on a additionné et multiplié des entiers naturels, des entiers relatifs, des rationnels, des réels et des complexes ; on a composé des fonctions, multiplié des matrices et effectué des rotations du plan l’une après l’autre. Chacune de ces opérations prend deux objets d’un ensemble et renvoie un troisième objet du même ensemble, et pour toutes on a démontré, encore et encore, des propriétés semblables. Cette leçon isole ces propriétés et étudie ce qui en découle, quelle que soit la nature des objets.

Une loi de composition interne sur un ensemble $A$ est une règle qui associe à chaque couple d’éléments $a$ et $b$ de $A$ un unique élément de $A$, que l’on note $a \cdot b$, ou simplement $ab$. Que le résultat appartienne à $A$ s’exprime en disant que $A$ est stable pour la loi.

Le point ne désigne pas ici nécessairement un produit de nombres : c’est le nom générique de l’opération, qui sera selon les cas l’addition, la multiplication, la composition ou toute autre. Lorsque l’opération est une addition, on utilise par habitude le signe $+$. Les propriétés qui nous intéressent sont au nombre de quatre. L’opération est associative si $(ab)c = a(bc)$ pour tous les $a$, $b$ et $c$ de $A$, et commutative si $ab = ba$ pour tous les $a$ et $b$. Un élément $e$ de $A$ est neutre si $ea = ae = a$ pour tout $a$ ; et, s’il existe un neutre, un élément $b$ est inverse de $a$ lorsque $ab = ba = e$.

Aucune des quatre propriétés n’est automatique. La soustraction est une loi de composition interne sur $\mathbb{Z}$, mais elle n’est ni associative ni commutative, et elle n’a pas de neutre : le $0$ vérifie $a - 0 = a$, mais pas $0 - a = a$. La division n’est pas une loi de composition interne sur $\mathbb{Q}$, car elle n’associe rien au couple formé par $1$ et $0$. L’addition dans $\mathbb{N}$ est associative et commutative, mais n’a pas de neutre, car dans le cours I les entiers naturels commencent à $1$. La composition des fonctions est associative et n’est pas commutative, comme on l’a démontré dans la leçon du cours I sur les opérations sur les fonctions, et il en va de même du produit des matrices carrées d’un même ordre, étudié dans la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices, dont le neutre est la matrice identité $I$.