Matrices et structures algébriques : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les matrices et les structures algébriques. Elle réunit en une chaîne déductive l’acquis de ses sept leçons : le produit matriciel, né de la composée de substitutions linéaires ; la résolution complète des systèmes linéaires par la méthode de Gauss-Jordan et le théorème de Rouché-Fontené (appelé théorème de Rouché-Frobenius dans le monde hispanophone) ; le déterminant comme aire orientée et comme critère d’unicité ; la matrice inverse et les conditions équivalentes à l’inversibilité ; la lecture des matrices comme transformations du plan ; la copie des nombres complexes à l’intérieur des matrices ; et les notions de groupe, d’anneau algébrique, de corps et d’isomorphisme, qui donnent un nom à ce que tous ces calculs ont en commun. Elle explique comment l’unité reprend des résultats des unités antérieures et du cours Algèbre et géométrie I, ce qui a été admis sans démonstration et comment elle prépare la prochaine unité, sur la géométrie analytique de l’espace, et le cours d’Analyse I. Elle se termine par dix défis plus difficiles que les problèmes des leçons, qui en combinent plusieurs.

Objectifs d’apprentissage

Reconstruire la chaîne des définitions et des théorèmes de l’unité, du produit matriciel aux isomorphismes, en expliquant sur quel résultat se fonde chacun.
Relier les résultats de l’unité à ceux des unités antérieures et du cours I, en particulier aux systèmes linéaires, aux vecteurs, à la rotation des axes, à la forme polaire et à l’arithmétique des restes, distinguer ce qui a été démontré de ce qui a été admis et anticiper leur usage dans la géométrie de l’espace.
Résoudre des problèmes qui combinent déterminants, matrices inverses, transformations, matrices de complexes et structures algébriques, en choisissant dans chaque cas l’outil adéquat.
Transporter un problème d’une structure à une autre au moyen d’une correspondance qui conserve les opérations, et utiliser les invariants d’un isomorphisme pour décider si deux groupes sont le même.

L’acquis de l’unité

L’algèbre des matrices et les systèmes linéaires

Le point de départ fut une observation sur les substitutions linéaires. Dans la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices, le tableau de la substitution composée s’obtint en multipliant ligne par colonne les tableaux des deux substitutions, et cette règle fut prise comme définition du produit. Il en découla l’associativité, par l’interversion de deux sommes, la distributivité et le caractère neutre de l’identité ; et, en sens contraire, on vit que le produit n’est pas commutatif, qu’il admet des diviseurs de zéro et qu’il existe des matrices non nulles dont une puissance est nulle. La transposée renverse l’ordre des facteurs, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , et la trace ne distingue pas l’ordre, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , d’où l’équation $AB - BA = I$ n’a de solution dans aucun ordre.

Grâce au produit, tout système linéaire s’écrivit comme une seule équation $AX = B$ . La leçon sur les systèmes linéaires et la méthode de Gauss-Jordan démontra que les opérations élémentaires sur les lignes conservent les solutions et que toute matrice se réduit à une forme échelonnée réduite ; elle démontra, par récurrence sur le nombre de colonnes, que cette forme est unique, d’où le rang ne dépend pas du chemin de l’élimination, et elle prouva le théorème de Rouché-Fontené : le système est compatible si et seulement si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , et dans ce cas ses solutions dépendent de $n - r$ paramètres libres. Il en résulta qu’un système linéaire n’a jamais exactement deux solutions, et qu’un système homogène ayant moins d’équations que d’inconnues a des solutions non triviales.

Le déterminant et la matrice inverse

Or, pour les systèmes carrés, il importe de décider de l’unicité sans parcourir toute l’élimination. La leçon sur les déterminants, leurs propriétés et la règle de Cramer interpréta le déterminant d’ordre deux comme une aire orientée, le définit à tout ordre par récurrence, démontra par récurrence sur l’ordre ses six propriétés et s’en servit pour le calculer par réduction. S’il en est ainsi, chaque opération élémentaire multiplie le déterminant par un nombre non nul, et il en découla que $\det A \neq 0$ si et seulement si $\operatorname{rg}(A) = n$ . Le théorème du déterminant d’un produit, $\det(AB) = \det A \det B$ , y fut démontré à l’ordre deux par un calcul direct, et la règle de Cramer, démontrée à tout ordre avec les cofacteurs d’une colonne, exprima chaque inconnue comme un quotient de déterminants.

La leçon sur la matrice inverse clôtura ce volet. Elle démontra que l’inverse est unique, qu’elle existe si et seulement si le déterminant n’est pas nul, et qu’elle est la matrice complémentaire divisée par le déterminant ; que l’inverse d’un produit renverse l’ordre des facteurs ; et que chaque opération élémentaire est le produit par une matrice élémentaire, d’où la méthode de Gauss-Jordan transforme $\left( A, I \right)$ en $\left( I, A^{-1} \right)$ sans calculer de déterminants. Tout cela fut réuni en un seul théorème d’équivalences, qui relie les quatre leçons venues avant lui ; on en déduisit qu’il suffit de vérifier l’un des deux produits de la définition, et, avec les matrices élémentaires, on démontra à tout ordre le théorème du déterminant d’un produit :

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rg}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

La géométrie des matrices

La leçon sur les matrices comme transformations du plan donna à ce calcul une signification géométrique. D’après le théorème des colonnes, les matrices d’ordre deux sont exactement les transformations linéaires du plan, et chacune est déterminée par les images des deux vecteurs de la base canonique ; avec ce principe, on obtint les matrices des rotations, des projections, des symétries axiales, des homothéties et des cisaillements. Composer des transformations revint à multiplier leurs matrices, d’où $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ et $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ; le déterminant se révéla être le facteur par lequel les aires sont multipliées, avec un signe négatif si l’orientation est renversée ; et la rotation des axes de l’équation du second degré s’écrivit comme le passage de $M$ à $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , avec la trace et le déterminant comme invariants.

La leçon sur les nombres complexes comme matrices appliqua cette lecture à la multiplication par un complexe. La correspondance $M(a + bi) = aI + bJ$ est injective et conserve la somme et le produit ; à travers elle, le carré du module est le déterminant, le conjugué est la transposée, l’inverse est la matrice inverse et la forme polaire est une rotation puis une homothétie, $M(z) = r R_\theta$ . Il en découla que les formules d’Euler et de Moivre sont la règle de composition des rotations, que les matrices des complexes sont exactement celles qui commutent avec $J$ , et que les quaternions de Hamilton admettent eux aussi une représentation par des matrices, dont le produit ne commute plus.

Les structures

Enfin, la leçon sur les structures algébriques isola ce qui est commun. Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, avec un élément neutre et des inverses ; dans tout groupe, le neutre et les inverses sont uniques, la simplification est valable et $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , sans utiliser la commutativité. Les sous-groupes cycliques et les classes à gauche conduisirent au théorème de Lagrange : l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe. Les anneaux algébriques et les corps ajoutèrent une seconde loi, et, à partir du théorème des restes inversibles de la leçon du cours I sur les congruences, on démontra que $\mathbb{Z}_n$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. Les isomorphismes, enfin, précisèrent l’idée que deux systèmes ayant la même table d’opérations sont le même système.

Par conséquent, l’unité forme une chaîne : la composition motive le produit ; le produit permet d’écrire les systèmes comme des équations $AX = B$ ; l’élimination les résout et le rang les classe ; le déterminant décide de l’unicité et la matrice inverse l’exprime ; la composition des transformations rend au produit son sens géométrique ; les complexes apparaissent comme une famille de transformations stable par la somme et la composition ; et la notion de groupe montre que l’unicité de l’inverse d’une matrice, celle de l’inverse d’un nombre et celle de la rotation qui en défait une autre sont un seul théorème. La figure ci-dessous réunit les quatre tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait pointillé au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis sans démonstration ou proviennent d’unités antérieures ou du cours I, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

ARécurrence. Si une propriété est vérifiée au premier cas et se transmet de chaque cas à celui d’après, elle est vérifiée dans tous ; démontrée dans l’unité 1 du cours I, elle sert ici pour les sommes doubles, l’élimination, les puissances et les rotations. Admis sans démonstration dans cette unité.
BAssociativité du produit. On a $(AB)C = A(BC)$ dès que les produits sont définis, de sorte qu’un produit de plusieurs matrices se regroupe à volonté sans changer l’ordre des facteurs. Établi dans: 2. Propriétés du produit.
CThéorème des colonnes. Toute transformation linéaire du plan est celle d’une unique matrice, dont les colonnes sont les images de $\vec{e}_1$ et de $\vec{e}_2$ . Établi dans: 16. Les colonnes de la matrice.
DFormules d’addition. Le sinus et le cosinus d’une somme, d’une différence et de l’angle double, démontrés dans l’unité 2, sur la trigonométrie analytique. Admis sans démonstration dans cette unité.
EVecteurs du plan. La distance d’un point à une droite, la projection orthogonale et le critère de parallélisme, démontrés dans l’unité 4 du cours I, sur la géométrie analytique du plan. Admis sans démonstration dans cette unité.
FAire du parallélogramme. L’aire d’un parallélogramme est le produit d’une base par la hauteur correspondante ; elle est admise, comme en géométrie élémentaire, dans la démonstration du théorème de l’aire orientée. Admis sans démonstration dans cette unité.
GRestes et congruences. La division avec reste, la congruence modulo $n$ , sa compatibilité avec la somme et le produit, les classes de restes et le théorème des restes inversibles, selon lequel $a$ a un inverse modulo $n$ si et seulement si $\operatorname{pgcd}(a, n) = 1$ , démontrés dans l’unité 1 du cours I, dans les leçons sur la divisibilité et sur les congruences. Admis sans démonstration dans cette unité.

Tronçon 1 L’algèbre des matrices et les systèmes linéaires
- Définir le produit matriciel à partir de la composée de substitutions linéaires et écrire tout système linéaire comme une équation $AX = B$ .
- Démontrer l’associativité, la distributivité et le caractère neutre de l’identité, et reconnaître que le produit n’est pas commutatif et admet des diviseurs de zéro.
- Prouver que la transposée renverse l’ordre des facteurs et que la trace ne distingue pas l’ordre.
- Démontrer que la forme échelonnée réduite est unique et définir le rang grâce à elle.
- Résoudre tout système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan et le classer avec le théorème de Rouché-Fontené.
1. Produit matriciel. Le coefficient $(i, j)$ de $AB$ est la somme des produits de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ ; on obtient ainsi le tableau de la composée de deux substitutions linéaires, et tout système linéaire s’écrit $AX = B$ .
  Démontré dans: Matrices et opérations sur les matrices.
2. Propriétés du produit. Par l’interversion de deux sommes, le produit matriciel est associatif et distributif par rapport à la somme, et les matrices identité en sont l’élément neutre ; en revanche, il n’est pas commutatif et admet des diviseurs de zéro et des matrices nilpotentes. De plus, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ et $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , d’où l’équation $AB - BA = I$ n’a pas de solution.
  Utilise: 1. Produit matriciel. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Matrices et opérations sur les matrices.
3. Méthode de Gauss-Jordan. Les opérations élémentaires sur les lignes transforment un système en un système équivalent, et toute matrice se réduit grâce à elles, en un nombre fini d’opérations, à une forme échelonnée réduite.
  Utilise: 1. Produit matriciel. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Systèmes linéaires et méthode de Gauss-Jordan.
4. Unicité de la forme réduite. Deux formes échelonnées réduites auxquelles on arrive depuis une même matrice sont égales, parce que leurs systèmes homogènes ont les mêmes solutions ; par conséquent, le rang, nombre de lignes non nulles de n’importe quelle forme échelonnée, ne dépend pas des opérations choisies.
  Utilise: 3. Méthode de Gauss-Jordan. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Systèmes linéaires et méthode de Gauss-Jordan.
5. Rouché-Fontené. Le système $AX = B$ , de matrice augmentée $M$ et à $n$ inconnues, est compatible si et seulement si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , et il est alors déterminé si le rang vaut $n$ et dépend de $n - r$ paramètres libres s’il vaut $r < n$ ; en particulier, $AX = 0$ a des solutions non triviales si et seulement si $\operatorname{rg}(A) < n$ .
  Utilise: 3. Méthode de Gauss-Jordan, 4. Unicité de la forme réduite. Démontré dans: Systèmes linéaires et méthode de Gauss-Jordan.
Tronçon 2 Le déterminant et la matrice inverse
- Interpréter le déterminant d’ordre deux comme une aire orientée et le définir à tout ordre par récurrence.
- Démontrer par récurrence sur l’ordre les propriétés du déterminant, le calculer par réduction et décider grâce à lui de l’unicité des solutions.
- Caractériser les matrices inversibles et calculer l’inverse par la matrice complémentaire et par la méthode de Gauss-Jordan.
- Réunir en un seul théorème les conditions équivalentes à l’inversibilité, et en déduire l’inverse d’un seul côté et le théorème du déterminant d’un produit.
1. Aire orientée. La valeur absolue du déterminant de la matrice de colonnes $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l’aire du parallélogramme qu’ils déterminent, et son signe indique si la rotation de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$ se fait dans le sens direct ou dans le sens des aiguilles d’une montre.
  Repose sur: E (Vecteurs du plan), D (Formules d’addition), F (Aire du parallélogramme). Démontré dans: Déterminants : propriétés et règle de Cramer.
2. Propriétés du déterminant. Par récurrence sur l’ordre, à partir du développement selon la première ligne, le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne, change de signe quand on échange deux lignes, s’annule si une ligne est nulle ou si deux lignes sont égales, ne change pas quand on ajoute à une ligne un multiple d’une autre ni quand on transpose, vaut le produit de la diagonale pour une matrice triangulaire et se développe selon n’importe quelle ligne ou colonne.
  Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Déterminants : propriétés et règle de Cramer.
3. Déterminant et rang. Une matrice carrée d’ordre $n$ a un déterminant non nul, c’est-à-dire est régulière, si et seulement si son rang vaut $n$ ; par conséquent, $AX = 0$ a des solutions non nulles si et seulement si $A$ est singulière, c’est-à-dire si $\det A = 0$ .
  Utilise: 3. Méthode de Gauss-Jordan, 4. Unicité de la forme réduite, 5. Rouché-Fontené, 7. Propriétés du déterminant. Démontré dans: Déterminants : propriétés et règle de Cramer.
4. Règle de Cramer. Si $D = \det A \neq 0$ , le système $AX = B$ de $n$ équations à $n$ inconnues a une unique solution, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , où $D_k$ s’obtient en remplaçant la colonne $k$ par celle des termes constants ; on la démontre à tout ordre avec les cofacteurs de la colonne $k$ .
  Utilise: 2. Propriétés du produit, 5. Rouché-Fontené, 7. Propriétés du déterminant, 8. Déterminant et rang. Démontré dans: Déterminants : propriétés et règle de Cramer.
5. Unicité de l’inverse. Une matrice carrée a au plus une inverse : si $AB = BA = I$ et $AD = DA = I$ , alors $B = D$ .
  Repose sur: B (Associativité du produit). Démontré dans: La matrice inverse.
6. Déterminant et inversibilité. Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$ , c’est-à-dire si elle est régulière, et son inverse est alors la matrice complémentaire divisée par le déterminant ; la condition nécessaire s’obtient par le rang, sans utiliser le déterminant d’un produit, et la condition suffisante, par le lemme des cofacteurs étrangers.
  Utilise: 5. Rouché-Fontené, 7. Propriétés du déterminant, 8. Déterminant et rang. Repose sur: B (Associativité du produit). Démontré dans: La matrice inverse.
7. Propriétés de l’inverse. Si $A$ et $B$ sont inversibles, $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ avec $c \neq 0$ et $A^m$ le sont aussi, et en particulier $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Utilise: 2. Propriétés du produit, 10. Unicité de l’inverse. Repose sur: B (Associativité du produit), A (Récurrence). Démontré dans: La matrice inverse.
8. Inverse par Gauss-Jordan. Chaque opération élémentaire est le produit par une matrice élémentaire inversible ; si la forme échelonnée réduite de $A$ est $I$ , les opérations transforment $\left( A, I \right)$ en $\left( I, A^{-1} \right)$ et $A$ est un produit de matrices élémentaires, et, si elle ne l’est pas, $A$ n’est pas inversible.
  Utilise: 3. Méthode de Gauss-Jordan, 4. Unicité de la forme réduite, 12. Propriétés de l’inverse. Repose sur: B (Associativité du produit). Démontré dans: La matrice inverse.
9. Caractérisations et inverse d’un seul côté. Pour une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ , les conditions sont équivalentes : qu’elle soit inversible, que $\det A \neq 0$ , que chaque système $AX = D$ ait une solution unique, que $AX = 0$ n’ait que la solution triviale, que $\operatorname{rg}(A) = n$ et que sa forme échelonnée réduite soit l’identité. Il en découle que, si $AB = I$ ou $BA = I$ , alors $B = A^{-1}$ .
  Utilise: 5. Rouché-Fontené, 4. Unicité de la forme réduite, 11. Déterminant et inversibilité, 13. Inverse par Gauss-Jordan. Repose sur: B (Associativité du produit). Démontré dans: La matrice inverse.
10. Déterminant du produit. Pour toutes les matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, on a $\det(AB) = \det A \det B$ : on le démontre avec les matrices élémentaires si $A$ est inversible, et par le rang si elle ne l’est pas.
  Utilise: 7. Propriétés du déterminant, 8. Déterminant et rang, 13. Inverse par Gauss-Jordan, 14. Caractérisations et inverse d’un seul côté. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: La matrice inverse.
Tronçon 3 La géométrie des matrices
- Identifier les matrices d’ordre deux aux transformations linéaires du plan et obtenir les matrices des rotations, des projections et des symétries axiales.
- Traduire la composition des transformations en produit matriciel, et le déterminant en facteur d’aire.
- Écrire la rotation des axes sous forme matricielle, avec la trace et le déterminant comme invariants.
- Représenter les nombres complexes comme des matrices, avec le module, le conjugué, l’inverse et la forme polaire.
1. Les colonnes de la matrice. Toute transformation de matrice donnée est linéaire, et toute transformation linéaire du plan est celle d’une unique matrice, celle qui a pour colonnes $T(\vec{e}_1)$ et $T(\vec{e}_2)$ .
  Utilise: 2. Propriétés du produit. Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
2. Rotations, projections et symétries axiales. La rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine, la projection sur une droite passant par l’origine et la symétrie par rapport à cette droite sont des transformations linéaires, de matrices $R_\theta$ , $P_\alpha$ et $S_\alpha$ .
  Repose sur: C (Théorème des colonnes), D (Formules d’addition), E (Vecteurs du plan). Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
3. Composition et produit. Si $T$ est la transformation de matrice $A$ et $U$ celle de matrice $B$ , la composée $T \circ U$ est la transformation de matrice $AB$ .
  Repose sur: B (Associativité du produit), C (Théorème des colonnes). Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
4. Composition des rotations et des symétries. On a $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ et $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Utilise: 17. Rotations, projections et symétries axiales, 18. Composition et produit. Repose sur: D (Formules d’addition), A (Récurrence). Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
5. Déterminant comme facteur d’aire. La transformation de matrice $A$ envoie le carré unité sur le parallélogramme de ses colonnes et multiplie les aires par $\abs{\det A}$ , ce que l’on admet pour les régions quelconques ; elle conserve l’orientation si $\det A > 0$ et la renverse si $\det A < 0$ .
  Utilise: 6. Aire orientée. Repose sur: C (Théorème des colonnes). Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
6. Transformations inversibles. La transformation de matrice $A$ est bijective si et seulement si $\det A \neq 0$ , et sa réciproque est alors celle de matrice $A^{-1}$ ; si $\det A = 0$ , son image est contenue dans une droite passant par l’origine.
  Utilise: 11. Déterminant et inversibilité, 18. Composition et produit. Repose sur: E (Vecteurs du plan). Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
7. Rotation des axes matricielle. Lorsqu’on tourne les axes de l’angle $\theta$ , la matrice symétrique $M$ d’une forme quadratique devient $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , qui a la même trace et le même déterminant que $M$ .
  Utilise: 2. Propriétés du produit, 7. Propriétés du déterminant, 15. Déterminant du produit, 19. Composition des rotations et des symétries. Démontré dans: Les matrices comme transformations du plan.
8. Complexes comme matrices. La correspondance $M(a + bi) = aI + bJ$ est injective et conserve la somme et le produit, et $J$ , la matrice de $i$ , est la rotation d’un quart de tour, dont le carré est $-I$ .
  Utilise: 1. Produit matriciel, 17. Rotations, projections et symétries axiales. Démontré dans: Les nombres complexes comme matrices.
9. Module, conjugué et inverse. Le déterminant de $M(z)$ est $\abs{z}^2$ , la matrice du conjugué est la transposée de $M(z)$ et, si $z \neq 0$ , la matrice de $z^{-1}$ est l’inverse de $M(z)$ .
  Utilise: 10. Unicité de l’inverse, 20. Déterminant comme facteur d’aire, 23. Complexes comme matrices. Démontré dans: Les nombres complexes comme matrices.
10. Forme polaire et formule de Moivre. Si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , alors $M(z) = r R_\theta$ , une rotation puis une homothétie ; et de $R_\theta^n = R_{n\theta}$ découle la formule de Moivre pour tout exposant entier.
  Utilise: 19. Composition des rotations et des symétries, 23. Complexes comme matrices, 24. Module, conjugué et inverse. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Les nombres complexes comme matrices.
Tronçon 4 Les structures
- Définir les groupes et démontrer leurs propriétés élémentaires sans utiliser la commutativité.
- Étudier les sous-groupes cycliques et démontrer le théorème de Lagrange.
- Définir les anneaux algébriques et les corps et décider quand les restes $\mathbb{Z}_n$ forment un corps.
- Préciser grâce aux isomorphismes quand deux groupes sont la même structure.
1. Propriétés des groupes. Dans tout groupe, le neutre et l’inverse de chaque élément sont uniques, la simplification à gauche et à droite est valable et $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , sans utiliser la commutativité.
  Démontré dans: Structures algébriques : groupes, anneaux et corps.
2. Sous-groupe cyclique. Dans un groupe fini, tout élément $g$ a un ordre $k$ , on a $g^m = e$ si et seulement si $k$ divise $m$ , et les puissances $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ forment un sous-groupe à $k$ éléments.
  Utilise: 26. Propriétés des groupes. Repose sur: G (Restes et congruences). Démontré dans: Structures algébriques : groupes, anneaux et corps.
3. Théorème de Lagrange. L’ordre d’un sous-groupe d’un groupe fini divise l’ordre du groupe, parce que le groupe se répartit en classes à gauche disjointes ayant autant d’éléments que le sous-groupe.
  Utilise: 26. Propriétés des groupes. Démontré dans: Structures algébriques : groupes, anneaux et corps.
4. Les restes forment un corps. Pour $n \geq 2$ , les restes $\mathbb{Z}_n$ forment un corps si $n$ est premier, car, d’après le théorème des restes inversibles, tout reste non nul a un inverse ; si $n$ est composé, ils ont des diviseurs de zéro et n’en forment pas un.
  Repose sur: G (Restes et congruences). Démontré dans: Structures algébriques : groupes, anneaux et corps.
5. Ce que conserve un isomorphisme. Un isomorphisme de groupes envoie le neutre sur le neutre, l’inverse de chaque élément sur l’inverse de son image et chaque élément sur un élément de même ordre, et il conserve la commutativité.
  Utilise: 26. Propriétés des groupes, 27. Sous-groupe cyclique. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Structures algébriques : groupes, anneaux et corps.

Vers la géométrie de l’espace. La chaîne ne s’arrête pas ici : dans la prochaine unité, le déterminant d’ordre trois donne le produit vectoriel, le produit mixte et le volume d’un parallélépipède, et le rang et la matrice inverse décident des intersections de droites et de plans et les calculent, de sorte que l’algèbre de cette unité devient l’instrument de la géométrie de l’espace.