Matrices et strvctvrae algebraicae: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem de matricibvs et strvctvris algebraicis conclvdit. In catenam dedvctivam colligit qvae in septem eivs lectionibvs consecvta svnt: prodvctvm matricvm, ex compositione svbstitvtionvm linearivm natvm; plenam systematvm linearivm resolvtionem methodo Gavssii et Iordani et theorema Rovché-Frobenii; determinans vt aream orientatam et vt criterivm vnicitatis; matricem inversam et condiciones invertibilitati aeqvivalentes; matrices vt transformationes plani intellectas; fidelem nvmerorvm complexorvm imaginem intra matrices; notionesqve gregis, anvli algebraici, corporis et isomorphismi, qvae nomen dant ei qvod omnibvs his calcvlis commvne est. Explicat qvomodo pars effectvs partivm antecedentivm et cvrsvs Algebra et Geometria I resvmat, qvid sine demonstratione admissvm sit et qvomodo partem proximam de geometria analytica spatii et cvrsvm Calcvlvs I praeparet. Decem provocationibvs conclvditvr, difficilioribvs qvam problemata lectionvm, qvae plvres earvm conivngvnt.

Proposita discendi

Catenam definitionvm et theorematvm partis a prodvcto matricvm vsqve ad isomorphismos restitvere et explicare qvis effectvs ex qvo pendeat.
Effectvs partis cvm effectibvs partivm antecedentivm et cvrsvs I conferre, praesertim cvm systematibvs linearibvs, vectoribvs, rotatione axivm, forma polari et arithmetica residvorvm, demonstrata ab admissis distingvere et eorvm vsvm in geometria spatii praevidere.
Problemata solvere qvae determinantia, inversas, transformationes, matrices nvmerorvm complexorvm et strvctvras algebraicas conivngvnt, in vnoqvoqve casv instrvmentvm aptvm eligendo.
Problema ab vna strvctvra in aliam transferre per correspondentiam qvae operationes servat, et invariantibvs isomorphismi decernere vtrvm dvo greges idem sint.

Qvae vnitas consecvta est

Algebra matricvm et systemata linearia

Initivm fvit observatio de svbstitvtionibvs linearibvs. In lectione de matricibvs et operationibvs cvm matricibvs, tabvla svbstitvtionis compositae orta est ex tabvlis dvarvm svbstitvtionvm versv per colvmnam mvltiplicatis, et haec regvla pro definitione prodvcti svmpta est. Ex ea consecvtae svnt associativitas, ordine svmmarvm permvtato, distribvtivitas et nevtralitas identitatis; et contra apparvit prodvctvm non esse commvtativvm, divisores nihili admittere et matrices non nvllas exstare qvarvm aliqva potentia nvlla est. Transposita ordinem factorvm invertit, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , et vestigivm ordinem non distingvit, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , vnde aeqvatio $AB - BA = I$ in nvllo ordine solvi potest.

Prodvcto adhibito, omne systema lineare vt vnica aeqvatio $AX = B$ scriptvm est. Lectio de systematibvs linearibvs et methodo Gavssii et Iordani demonstravit operationes elementares in versibvs solvtiones servare et omnem matricem ad formam gradatam redvctam redigi; indvctione in nvmervm colvmnarvm demonstravit hanc formam vnicam esse, vnde rangvs a via eliminationis non pendet, et theorema Rovché-Frobenii demonstravit: systema compatibile est si et solvm si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , et tvm eivs solvtiones ex $n - r$ parametris liberis pendent. Inde consecvtvm est systema lineare nvmqvam exacte dvas solvtiones habere et systema homogenevm cvm pavcioribvs aeqvationibvs qvam incognitis solvtiones non triviales habere.

Determinans et inversa

Pro systematibvs qvadratis deinde vnicitas decernenda est, tota eliminatione non percvrsa. Lectio de determinantibvs, eorvm proprietatibvs et regvla Crameri determinans ordinis secvndi vt aream orientatam interpretata est, id in omni ordine per recvrsionem definivit, sex eivs proprietates indvctione in ordinem demonstravit easqve adhibvit vt id per redvctionem compvtaret. Qvod si ita est, omnis operatio elementaris determinans per nvmervm non nvllvm mvltiplicat, et inde consecvtvm est $\det A \neq 0$ si et solvm si $\operatorname{rg}(A) = n$ . Theorema determinantis prodvcti, $\det(AB) = \det A \det B$ , ibi in ordine secvndo calcvlo directo demonstratvm est, et regvla Crameri, in omni ordine cofactoribvs vnivs colvmnae demonstrata, qvamqve incognitam vt qvotientem determinantivm expressit.

Lectio de matrice inversa hoc argvmentvm conclvsit. Demonstravit inversam vnicam esse, exstare si et solvm si determinans nvllvm non sit, et esse matricem adivnctam per determinans divisam; inversam prodvcti ordinem factorvm invertere; et omnem operationem elementarem esse mvltiplicationem per matricem elementarem, vnde methodvs Gavssii et Iordani $\left( A, I \right)$ in $\left( I, A^{-1} \right)$ vertit nvllis determinantibvs compvtatis. Haec omnia in vnvm theorema aeqvivalentiarvm collecta svnt, qvod qvattvor lectiones antecedentes conivngit; ex eo dedvctvm est satis esse altervm ex dvobvs prodvctis definitionis confirmare, et matricibvs elementaribvs theorema determinantis prodvcti in omni ordine demonstratvm est:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rg}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

Geometria matricvm

Lectio de matricibvs vt transformationibvs plani hvic calcvlo significationem geometricam dedit. Per theorema colvmnarvm, matrices ordinis secvndi svnt ipsae transformationes lineares plani, et qvaeqve imaginibvs dvorvm vectorvm basis canonicae determinatvr; hoc principio inventae svnt matrices conversionvm, proiectionvm, reflexionvm, homothetiarvm et obliqvationvm. Transformationes componere idem esse apparvit ac earvm matrices mvltiplicare, vnde $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ et $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ conseqvvntvr; determinans apparvit esse factor per qvem areae mvltiplicantvr, signo negativo si orientatio invertitvr; et rotatio axivm aeqvationis qvadraticae scripta est vt transitvs a $M$ ad $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , vestigio et determinante invariantibvs.

Lectio de nvmeris complexis vt matricibvs hanc interpretationem ad mvltiplicationem per nvmervm complexvm adhibvit. Correspondentia $M(a + bi) = aI + bJ$ iniectiva est et svmmam prodvctvmqve servat; per eam qvadratvm modvli est determinans, conivgatvs est transposita, inversvs est matrix inversa et forma polaris est conversio qvam homothetia excipit, $M(z) = r R_\theta$ . Inde consecvtvm est formvlam Evleri et formvlam Moivreanam esse regvlam compositionis conversionvm, matrices nvmerorvm complexorvm esse ipsas qvae cvm $J$ commvtantvr, et qvaterniones qvoqve Hamiltonis repraesentationem per matrices admittere, qvarvm prodvctvm iam commvtativvm non est.

Strvctvrae

Deniqve lectio de strvctvris algebraicis qvod commvne est seivnxit. Grex est copia cvm operatione associativa, cvm elemento nevtro et cvm inversis; in omni grege nevtrvm et inversa vnica svnt, cancellatio valet et $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , commvtativitate non adhibita. Svbgreges cyclici et classes laterales ad theorema Lagrangianvm dvxervnt: ordo svbgregis ordinem gregis dividit. Anvli algebraici et corpora alteram operationem addidervnt, et ex theoremate de residvis invertibilibvs, qvod in lectione cvrsvs I de congrventiis demonstratvm est, ostensvm est $\mathbb{Z}_n$ corpvs esse si et solvm si $n$ primvs est. Isomorphismi deniqve notionem accvratam reddidervnt dvo systemata eadem tabvla operationvm idem systema esse.

Itaqve pars catenam efficit: compositio prodvctvm svadet; prodvctvm systemata vt aeqvationes $AX = B$ scribere sinit; eliminatio ea solvit et rangvs ea digerit; determinans de vnicitate decernit et inversa eam exprimit; compositio transformationvm prodvcto sensvm geometricvm reddit; nvmeri complexi vt familia transformationvm apparent, svmma et compositione clavsa; et notio gregis ostendit vnicitatem inversae matricis, inversi nvmeri et conversionis qvae aliam tollit vnvm idemqve theorema esse. Pictvra qvae seqvitvr qvattvor segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis antecedentibvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea continva cvm anvlis qvi eo egent et linea pvnctata cvm anvlo in qvo stabilitvr conivnctvm, praeter ea qvae sine demonstratione admittvntvr avt ex partibvs antecedentibvs vel ex cvrsv I venivnt, qvae vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

AIndvctio. Si proprietas in primo casv valet et a qvoqve casv ad proximvm transit, in omnibvs valet; in parte 1 cvrsvs I demonstrata, hic ad svmmas dvplices, eliminationem, potentias et conversiones adhibetvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
BAssociativitas prodvcti. Valet $(AB)C = A(BC)$ cvm prodvcta definita svnt, ita vt prodvctvm plvrivm matricvm ad libitvm consociari possit ordine factorvm non mvtato. Constitvitvr in: 2. Proprietates prodvcti.
CTheorema colvmnarvm. Omnis transformatio linearis plani est vnivs matricis, cvivs colvmnae svnt imagines $\vec{e}_1$ et $\vec{e}_2$ . Constitvitvr in: 16. Colvmnae matricis.
DFormvlae additionis. Sinvs et cosinvs svmmae, differentiae et angvli dvpli, in parte 2 de trigonometria analytica demonstrati. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
EVectores plani. Distantia pvncti a recta, proiectio orthogonalis et criterivm parallelismi, in parte 4 cvrsvs I de geometria analytica plani demonstrata. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
FArea parallelogrammi. Area parallelogrammi est prodvctvm basis et altitvdinis respondentis; admittitvr, vt in geometria elementari, in demonstratione theorematis de area orientata. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
GResidva et congrventiae. Divisio cvm residvo, congrventia modvlo $n$ , eivs cvm svmma et prodvcto compatibilitas, classes residvorvm et theorema de residvis invertibilibvs, qvo $a$ inversvm modvlo $n$ habet si et solvm si $\operatorname{mcd}(a, n) = 1$ , in parte 1 cvrsvs I demonstrata, in lectionibvs de divisibilitate et de congrventiis. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.

Segmentvm 1 Algebra matricvm et systemata linearia
- Prodvctvm matricvm ex compositione svbstitvtionvm linearivm definire et omne systema lineare vt aeqvationem $AX = B$ scribere.
- Associativitatem, distribvtivitatem et nevtralitatem identitatis demonstrare, et agnoscere prodvctvm non esse commvtativvm et divisores nihili admittere.
- Demonstrare transpositam ordinem factorvm invertere et vestigivm ordinem non distingvere.
- Demonstrare formam gradatam redvctam vnicam esse et per eam rangvm definire.
- Omne systema lineare methodo Gavssii et Iordani solvere et theoremate Rovché-Frobenii digerere.
1. Prodvctvm matricvm. Elementvm $(i, j)$ ipsivs $AB$ est svmma prodvctorvm qvibvs versvs $i$ ipsivs $A$ cvm colvmna $j$ ipsivs $B$ conivngitvr; sic tabvla compositionis dvarvm svbstitvtionvm linearivm obtinetvr, et omne systema lineare scribitvr $AX = B$ .
  Demonstratvr in: Matrices et operationes cvm matricibvs.
2. Proprietates prodvcti. Ordine svmmarvm permvtato, prodvctvm matricvm associativvm est et respectv svmmae distribvtivvm, et identitates eivs elementvm nevtrvm svnt; contra commvtativvm non est et divisores nihili matricesqve nilpotentes admittit. Praeterea valent $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ et $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , vnde aeqvatio $AB - BA = I$ solvi non potest.
  Vtitvr: 1. Prodvctvm matricvm. Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Matrices et operationes cvm matricibvs.
3. Methodvs Gavssii et Iordani. Operationes elementares in versibvs systema in aeqvivalens vertvnt, et omnis matrix iis finito operationvm nvmero ad formam gradatam redvctam redigitvr.
  Vtitvr: 1. Prodvctvm matricvm. Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Systemata linearia et methodvs Gavssii et Iordani.
4. Vnicitas formae redvctae. Dvae formae gradatae redvctae ex eadem matrice obtentae congrvvnt, qvia earvm systemata homogenea easdem solvtiones habent; ideo rangvs, nvmervs versvvm non nvllorvm cvivsvis formae gradatae, ab operationibvs electis non pendet.
  Vtitvr: 3. Methodvs Gavssii et Iordani. Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Systemata linearia et methodvs Gavssii et Iordani.
5. Rovché-Frobenivs. Systema $AX = B$ , matrice avcta $M$ et $n$ incognitis, compatibile est si et solvm si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , et tvm vnicam solvtionem habet si rangvs est $n$ et ex $n - r$ parametris liberis pendet si est $r < n$ ; praesertim $AX = 0$ solvtiones non triviales habet si et solvm si $\operatorname{rg}(A) < n$ .
  Vtitvr: 3. Methodvs Gavssii et Iordani, 4. Vnicitas formae redvctae. Demonstratvr in: Systemata linearia et methodvs Gavssii et Iordani.
Segmentvm 2 Determinans et inversa
- Determinans ordinis secvndi vt aream orientatam interpretari et in omni ordine per recvrsionem definire.
- Proprietates determinantis indvctione in ordinem demonstrare, id per redvctionem compvtare et per id de vnicitate solvtionvm decernere.
- Matrices invertibiles describere et inversam per matricem adivnctam et methodo Gavssii et Iordani compvtare.
- Condiciones invertibilitati aeqvivalentes in vnvm theorema colligere et ex eo inversam vnilateralem et theorema determinantis prodvcti dedvcere.
1. Area orientata. Valor absolvtvs determinantis matricis colvmnarvm $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est area parallelogrammi qvod determinant, et eivs signvm indicat vtrvm conversio a $\vec{u}$ ad $\vec{v}$ contra motvm horologii an secvndvm motvm horologii fiat.
  Nititvr: E (Vectores plani), D (Formvlae additionis), F (Area parallelogrammi). Demonstratvr in: Determinantia: proprietates et regvla Crameri.
2. Proprietates determinantis. Indvctione in ordinem, ab evolvtione secvndvm primvm versvm profecta, determinans in qvoqve versv lineare est, signvm mvtat dvobvs versibvs permvtatis, evanescit si versvs aliqvis nvllvs est vel dvo versvs aeqvales svnt, non mvtatvr mvltiplo alterivs versvs alicvi versvi addito neqve transponendo, in matrice triangvlari prodvctvm diagonalis est et secvndvm qvemvis versvm vel colvmnam evolvi potest.
  Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Determinantia: proprietates et regvla Crameri.
3. Determinans et rangvs. Matrix qvadrata ordinis $n$ determinans non nvllvm habet, id est non singvlaris est, si et solvm si eivs rangvs est $n$ ; ideo $AX = 0$ solvtiones a nvlla diversas habet si et solvm si $A$ singvlaris est, id est si $\det A = 0$ .
  Vtitvr: 3. Methodvs Gavssii et Iordani, 4. Vnicitas formae redvctae, 5. Rovché-Frobenivs, 7. Proprietates determinantis. Demonstratvr in: Determinantia: proprietates et regvla Crameri.
4. Regvla Crameri. Si $D = \det A \neq 0$ , systema $AX = B$ $n$ aeqvationvm cvm $n$ incognitis vnicam solvtionem habet, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , vbi $D_k$ obtinetvr colvmna $k$ per colvmnam terminorvm constantivm svbstitvta; in omni ordine cofactoribvs colvmnae $k$ demonstratvr.
  Vtitvr: 2. Proprietates prodvcti, 5. Rovché-Frobenivs, 7. Proprietates determinantis, 8. Determinans et rangvs. Demonstratvr in: Determinantia: proprietates et regvla Crameri.
5. Vnicitas inversae. Matrix qvadrata vnam inversam ad svmmvm habet: ex $AB = BA = I$ et $AD = DA = I$ seqvitvr $B = D$ .
  Nititvr: B (Associativitas prodvcti). Demonstratvr in: Matrix inversa.
6. Determinans et invertibilitas. Matrix qvadrata $A$ invertibilis est si et solvm si $\det A \neq 0$ , id est si non singvlaris est, et tvm eivs inversa est matrix adivncta per determinans divisa; necessitas per rangvm obtinetvr, determinante prodvcti non adhibito, svfficientia per lemma de cofactoribvs alienis.
  Vtitvr: 5. Rovché-Frobenivs, 7. Proprietates determinantis, 8. Determinans et rangvs. Nititvr: B (Associativitas prodvcti). Demonstratvr in: Matrix inversa.
7. Proprietates inversae. Si $A$ et $B$ invertibiles svnt, svnt etiam $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ cvm $c \neq 0$ et $A^m$ , ac praesertim $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Vtitvr: 2. Proprietates prodvcti, 10. Vnicitas inversae. Nititvr: B (Associativitas prodvcti), A (Indvctio). Demonstratvr in: Matrix inversa.
8. Inversa per Gavssivm et Iordanvm. Omnis operatio elementaris est mvltiplicatio per matricem elementarem invertibilem; si forma gradata redvcta ipsivs $A$ est $I$ , operationes $\left( A, I \right)$ in $\left( I, A^{-1} \right)$ vertvnt et $A$ est prodvctvm matricvm elementarivm; si non est, $A$ invertibilis non est.
  Vtitvr: 3. Methodvs Gavssii et Iordani, 4. Vnicitas formae redvctae, 12. Proprietates inversae. Nititvr: B (Associativitas prodvcti). Demonstratvr in: Matrix inversa.
9. Descriptiones et inversa vnilateralis. Pro matrice qvadrata $A$ ordinis $n$ aeqvivalent: eam invertibilem esse, valere $\det A \neq 0$ , omne systema $AX = D$ vnicam solvtionem habere, $AX = 0$ solam solvtionem trivialem habere, valere $\operatorname{rg}(A) = n$ et eivs formam gradatam redvctam identitatem esse. Inde fit vt, si $AB = I$ vel $BA = I$ , sit $B = A^{-1}$ .
  Vtitvr: 5. Rovché-Frobenivs, 4. Vnicitas formae redvctae, 11. Determinans et invertibilitas, 13. Inversa per Gavssivm et Iordanvm. Nititvr: B (Associativitas prodvcti). Demonstratvr in: Matrix inversa.
10. Determinans prodvcti. Pro omnibvs matricibvs qvadratis $A$ et $B$ eivsdem ordinis valet $\det(AB) = \det A \det B$ : demonstratvr matricibvs elementaribvs si $A$ invertibilis est, et per rangvm si non est.
  Vtitvr: 7. Proprietates determinantis, 8. Determinans et rangvs, 13. Inversa per Gavssivm et Iordanvm, 14. Descriptiones et inversa vnilateralis. Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Matrix inversa.
Segmentvm 3 Geometria matricvm
- Matrices ordinis secvndi cvm transformationibvs linearibvs plani identificare et matrices conversionvm, proiectionvm et reflexionvm invenire.
- Compositionem transformationvm in prodvctvm matricvm vertere et determinans in factorem arearvm.
- Rotationem axivm forma matriciali scribere, vestigio et determinante invariantibvs.
- Nvmeros complexos vt matrices repraesentare, cvm modvlo, conivgato, inverso et forma polari.
1. Colvmnae matricis. Omnis transformatio matricialis linearis est, et omnis transformatio linearis plani est vnivs matricis, nempe eivs cvivs colvmnae svnt $T(\vec{e}_1)$ et $T(\vec{e}_2)$ .
  Vtitvr: 2. Proprietates prodvcti. Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
2. Conversiones, proiectiones et reflexiones. Conversio angvli $\theta$ circa originem, proiectio in rectam per originem et reflexio in eadem svnt transformationes lineares matricvm $R_\theta$ , $P_\alpha$ et $S_\alpha$ .
  Nititvr: C (Theorema colvmnarvm), D (Formvlae additionis), E (Vectores plani). Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
3. Compositio et prodvctvm. Si $T$ est transformatio matricis $A$ et $U$ transformatio matricis $B$ , compositio $T \circ U$ est transformatio matricis $AB$ .
  Nititvr: B (Associativitas prodvcti), C (Theorema colvmnarvm). Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
4. Compositio conversionvm et reflexionvm. Valent $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ et $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Vtitvr: 17. Conversiones, proiectiones et reflexiones, 18. Compositio et prodvctvm. Nititvr: D (Formvlae additionis), A (Indvctio). Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
5. Determinans vt factor arearvm. Transformatio matricis $A$ qvadratvm vnitarivm in parallelogrammvm svarvm colvmnarvm mittit et areas per $\abs{\det A}$ mvltiplicat, qvod pro regionibvs generalibvs admittitvr; orientationem servat si $\det A > 0$ et invertit si $\det A < 0$ .
  Vtitvr: 6. Area orientata. Nititvr: C (Theorema colvmnarvm). Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
6. Transformationes invertibiles. Transformatio matricis $A$ biiectiva est si et solvm si $\det A \neq 0$ , et tvm eivs inversa est transformatio matricis $A^{-1}$ ; si $\det A = 0$ , eivs imago in recta per originem continetvr.
  Vtitvr: 11. Determinans et invertibilitas, 18. Compositio et prodvctvm. Nititvr: E (Vectores plani). Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
7. Rotatio axivm forma matriciali. Axibvs angvlo $\theta$ conversis, matrix symmetrica $M$ formae qvadraticae fit $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , qvae idem vestigivm idemqve determinans habet atqve $M$ .
  Vtitvr: 2. Proprietates prodvcti, 7. Proprietates determinantis, 15. Determinans prodvcti, 19. Compositio conversionvm et reflexionvm. Demonstratvr in: Matrices vt transformationes plani.
8. Nvmeri complexi vt matrices. Correspondentia $M(a + bi) = aI + bJ$ iniectiva est et svmmam prodvctvmqve servat, et $J$ , matrix ipsivs $i$ , est conversio qvadrantis cvivs qvadratvm est $-I$ .
  Vtitvr: 1. Prodvctvm matricvm, 17. Conversiones, proiectiones et reflexiones. Demonstratvr in: Nvmeri complexi vt matrices.
9. Modvlvs, conivgatvs et inversvs. Determinans ipsivs $M(z)$ est $\abs{z}^2$ , matrix conivgati est transposita ipsivs $M(z)$ et, pro $z \neq 0$ , matrix ipsivs $z^{-1}$ est inversa ipsivs $M(z)$ .
  Vtitvr: 10. Vnicitas inversae, 20. Determinans vt factor arearvm, 23. Nvmeri complexi vt matrices. Demonstratvr in: Nvmeri complexi vt matrices.
10. Forma polaris et Moivre. Si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , tvm $M(z) = r R_\theta$ , conversio qvam homothetia excipit; et ex $R_\theta^n = R_{n\theta}$ formvla Moivreana pro omni exponente integro seqvitvr.
  Vtitvr: 19. Compositio conversionvm et reflexionvm, 23. Nvmeri complexi vt matrices, 24. Modvlvs, conivgatvs et inversvs. Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Nvmeri complexi vt matrices.
Segmentvm 4 Strvctvrae
- Greges definire et eorvm proprietates elementares demonstrare commvtativitate non adhibita.
- Svbgreges cyclicos investigare et theorema Lagrangianvm demonstrare.
- Anvlos algebraicos et corpora definire et decernere qvando residva $\mathbb{Z}_n$ corpvs efficiant.
- Isomorphismis definire qvando dvo greges eadem strvctvra sint.
1. Proprietates gregvm. In omni grege nevtrvm et inversvm cvivsqve elementi vnica svnt, cancellatio ab vtroqve latere valet et $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , commvtativitate non adhibita.
  Demonstratvr in: Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora.
2. Svbgrex cyclicvs. In grege finito omne elementvm $g$ ordinem $k$ habet, $g^m = e$ si et solvm si $k$ ipsvm $m$ dividit, et potentiae $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ svbgregem $k$ elementorvm efficivnt.
  Vtitvr: 26. Proprietates gregvm. Nititvr: G (Residva et congrventiae). Demonstratvr in: Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora.
3. Theorema Lagrangianvm. Ordo svbgregis gregis finiti ordinem gregis dividit, qvia grex in classes laterales disivnctas dividitvr, totidem elementa qvot svbgrex habentes.
  Vtitvr: 26. Proprietates gregvm. Demonstratvr in: Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora.
4. Residva corpvs efficivnt. Pro $n \geq 2$ , residva $\mathbb{Z}_n$ corpvs efficivnt si $n$ primvs est, qvia per theorema de residvis invertibilibvs omne residvvm non nvllvm inversvm habet; si $n$ compositvs est, divisores nihili habent nec corpvs efficivnt.
  Nititvr: G (Residva et congrventiae). Demonstratvr in: Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora.
5. Qvae isomorphismvs servat. Isomorphismvs gregvm nevtrvm in nevtrvm mittit, inversvm cvivsqve elementi in inversvm eivs imaginis et omne elementvm in elementvm eivsdem ordinis, et commvtativitatem servat.
  Vtitvr: 26. Proprietates gregvm, 27. Svbgrex cyclicvs. Nititvr: A (Indvctio). Demonstratvr in: Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora.

Ad geometriam spatii. Catena hic non desinit: in parte proxima determinans ordinis tertii prodvctvm vectoriale, prodvctvm mixtvm et volvmen parallelepipedi praebebit, et rangvs matrixqve inversa intersectiones rectarvm et planorvm decernent et compvtabvnt, ita vt algebra hvivs partis instrvmentvm geometriae spatii fiat.