Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora

Svmmarivm

Haec lectio, vltima partis de matricibvs et strvctvris algebraicis, pavcis definitionibvs colligit qvae nvmeri, matrices, symmetriae et residva divisionis commvnia habent. Operationes binarias earvmqve proprietates definit, et cvm eis greges: integros cvm svmma, complexos non nvllos, radices vnitatis, conversiones plani, matrices invertibiles, sex symmetrias triangvli aeqvilateri et residva divisionis per nn. Sine commvtativitate demonstrat vnicitatem nevtri et inversi, cancellationem et regvlam inversi prodvcti; svbgreges et ordinem elementi investigat, et classibvs lateralibvs theorema Lagrangianvm demonstrat. Deinde anvlos algebraicos et corpora definit, ostendit residva divisionis per nn corpvs efficere prorsvs cvm nn primvs sit, et isomorphismos exhibet vt modvm accvratvm dicendi dvas strvctvras easdem esse. Finem facit descriptio dvorvm cvrsvvm Algebrae et Geometriae et eorvm qvae postea venivnt.

Proposita discendi

  1. Operationes binarias earvmqve proprietates agnoscere, diivdicare nvm copia cvm operatione grex sit, et tabvlam gregis finiti constrvere.
  2. Proprietates elementares gregvm demonstrare, vnicitatem nevtri et inversorvm, cancellationem et inversvm prodvcti, sine commvtativitate.
  3. Ordinem elementi compvtare, svbgreges invenire et theorema Lagrangianvm ad greges finitos adhibere.
  4. Anvlos algebraicos et corpora distingvere, cvm residvis divisionis per nn operari, aeqvationes in eis solvere et diivdicare nvm dvae strvctvrae isomorphae sint.

Operationes binariae

In hoc cvrsv et in cvrsv Algebra et Geometria I natvrales, integri, rationales, reales et complexi additi et mvltiplicati svnt; fvnctiones compositae, matrices mvltiplicatae, conversiones plani aliae post alias factae svnt. Qvaeqve harvm operationvm dvo obiecta copiae svmit et tertivm eivsdem copiae reddit, et in omnibvs proprietates similes itervm atqve itervm demonstratae svnt. Haec lectio has proprietates seivngit et investigat qvid ex eis efficiatvr, qvaliscvmqve sit obiectorvm natvra.

Operatio binaria in copia AA est regvla qvae cviqve pari ordinato elementorvm aa et bb ex AA vnicvm elementvm ex AA assignat, qvod scribitvr a⋅ba \cdot b, vel simpliciter abab. Resvltatvm in AA esse sic exprimitvr: AA clavsvm esse respectv operationis.

Pvnctvm hic non necessario prodvctvm nvmerorvm significat: est nomen generale operationis, qvae qvoqve loco erit svmma, prodvctvm, compositio vel qvaevis alia. Cvm operatio svmma est, ex consvetvdine signvm ++ adhibetvr. Proprietates qvae nobis cvrae svnt qvattvor svnt. Operatio est associativa si (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc) pro omnibvs aa, bb et cc ex AA, et commvtativa si ab=baab = ba pro omnibvs aa et bb. Elementvm ee ex AA est nevtrvm si ea=ae=aea = ae = a pro omni aa; et, si nevtrvm adest, elementvm bb est inversvm elementi aa cvm ab=ba=eab = ba = e.

(ab)c=a(bc),ab=ba,ea=ae=a,ab=ba=e(ab)c = a(bc), \qquad ab = ba, \qquad ea = ae = a, \qquad ab = ba = e

Nvlla ex qvattvor proprietatibvs sponte valet. Svbtractio est operatio binaria in Z\mathbb{Z}, sed neqve associativa neqve commvtativa est, nec nevtrvm habet: 00 implet a−0=aa - 0 = a, sed non 0−a=a0 - a = a. Divisio non est operatio binaria in Q\mathbb{Q}, qvia pari ex 11 et 00 facto nihil assignat. Svmma in N\mathbb{N} associativa et commvtativa est, sed nevtrvm non habet, qvia in cvrsv I natvrales a 11 incipivnt. Compositio fvnctionvm associativa est nec commvtativa, vt in lectione cvrsvs I de operationibvs fvnctionvm demonstratvm est, idemqve fit in prodvcto matricvm qvadratarvm eivsdem ordinis, de qvo in lectione de matricibvs et operationibvs cvm matricibvs actvm est, cvivs nevtrvm est matrix identitatis II.

(5−3)−2=0≠4=5−(3−2)(5 - 3) - 2 = 0 \neq 4 = 5 - (3 - 2)