행렬과 대수 구조: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 행렬과 대수적 구조를 다루는 단원을 마무리한다. 단원의 일곱 수업에서 이룬 것을 하나의 연역적 사슬로 모은다. 곧, 일차 치환의 합성에서 태어난 행렬의 곱, 가우스-조르당 소거법과 루셰-프로베니우스 정리에 의한 연립일차방정식의 완전한 해법, 부호 있는 넓이이자 유일성의 판정 기준으로서의 행렬식, 역행렬과 가역성의 동치 조건, 행렬을 평면의 변환으로 읽는 관점, 행렬 안에 만들어진 복소수의 복사본, 그리고 이 모든 계산에 공통된 것에 이름을 붙이는 군, 대수적 구조로서의 환, 체, 동형사상의 개념이다. 단원이 앞 단원들과 강좌 대수학과 기하학 I의 결과를 어떻게 이어받는지, 무엇이 증명 없이 받아들여졌는지, 그리고 공간 해석기하학을 다루는 뒤이은 단원과 미적분학 I 강좌를 어떻게 준비하는지 설명한다. 끝으로 수업들의 문제보다 어렵고 그 가운데 여러 수업을 결합하는 열 개의 도전 과제를 제시한다.

학습 목표

단원의 정의와 정리의 사슬을 행렬의 곱부터 동형사상까지 재구성하고, 각 결과가 어떤 결과에 기대는지 밝힌다.
단원의 결과를 앞 단원들 및 강좌 I의 결과, 특히 연립일차방정식, 벡터, 좌표축의 회전, 극형식, 나머지의 산술과 관련짓고, 증명된 것과 받아들여진 것을 구별하며, 공간기하학에서의 쓰임을 내다본다.
행렬식, 역행렬, 변환, 복소수의 행렬, 대수적 구조를 결합하는 문제를 풀며, 각 경우에 알맞은 도구를 고른다.
연산을 보존하는 대응을 통해 문제를 한 구조에서 다른 구조로 옮기고, 동형사상의 불변량을 이용하여 두 군이 같은 것인지 판정한다.

단원에서 이룬 것

행렬의 대수와 연립일차방정식

출발점은 일차 치환에 관한 한 관찰이었다. 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업에서 합성된 치환의 표는 두 치환의 표를 행과 열의 곱으로 곱하여 얻어졌고, 이 규칙이 곱의 정의로 채택되었다. 이로부터 두 합의 순서 교환을 통한 결합법칙, 분배법칙, 단위행렬이 항등원이라는 성질이 따라 나왔다. 반대 방향으로는, 곱이 교환 가능하지 않다는 것, 영인자를 가진다는 것, 어떤 거듭제곱이 영행렬인 영이 아닌 행렬이 있다는 것을 보았다. 전치행렬은 인수의 순서를 뒤바꾸고( $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ ), 대각합은 순서를 구별하지 않으며( $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ ), 따라서 방정식 $AB - BA = I$ 은 어떤 차의 행렬에서도 해가 없다.

곱을 이용하면 모든 연립일차방정식은 하나의 방정식 $AX = B$ 로 쓰인다. 연립일차방정식과 가우스-조르당 소거법에 관한 수업은 기본행연산이 해를 보존한다는 것과 모든 행렬이 기약행사다리꼴로 변형된다는 것을 증명했다. 또 열의 개수에 관한 귀납법으로 그 꼴이 유일함을 증명하여 랭크가 소거의 경로에 의존하지 않음을 보였고, 루셰-프로베니우스 정리를 증명했다. 곧, 연립방정식은 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ 일 때, 그리고 그때에 한하여 해가 있고, 이 경우 그 해는 $n - r$ 개의 자유 매개변수에 의존한다. 이로부터 연립일차방정식이 정확히 두 개의 해를 갖는 일은 결코 없다는 것과, 방정식이 미지수보다 적은 동차연립방정식은 자명하지 않은 해를 가진다는 것이 따라 나왔다.

행렬식과 역행렬

그런데 정사각 연립방정식에서는 소거 전체를 거치지 않고 유일성을 판정하는 것이 중요하다. 행렬식과 크라메르 공식에 관한 수업은 2차 행렬식을 부호 있는 넓이로 해석하고, 임의의 차에서 점화식으로 정의했으며, 차에 관한 귀납법으로 그 여섯 가지 성질을 증명하고, 이를 이용하여 행렬식을 소거로 계산했다. 그렇다면 각 기본행연산은 행렬식에 영이 아닌 수를 곱하며, 이로부터 $\det A \neq 0$ 은 $\operatorname{rank}(A) = n$ 일 때, 그리고 그때에 한하여 성립한다는 것이 따라 나왔다. 곱의 정리 $\det(AB) = \det A \det B$ 은 거기서 2차에 대해 직접 계산으로 증명되었고, 크라메르 공식은 한 열의 여인수를 이용하여 모든 차에서 증명되어 각 미지수를 행렬식의 몫으로 나타냈다.

역행렬에 관한 수업이 이 흐름을 마무리했다. 이 수업은 역행렬이 유일하다는 것, 행렬식이 영이 아닐 때, 그리고 그때에 한하여 역행렬이 존재한다는 것, 역행렬은 수반행렬을 행렬식으로 나눈 것이라는 것을 증명했다. 또 곱의 역행렬은 인수의 순서를 뒤바꾼다는 것, 각 기본행연산은 한 기본행렬을 곱하는 것이라는 것을 증명했으며, 이로부터 가우스-조르당 소거법은 행렬식을 계산하지 않고 $\left( A, I \right)$ 을 $\left( I, A^{-1} \right)$ 로 바꾼다. 이 모든 것이 하나의 동치 정리로 모였고, 이 정리는 앞의 네 수업을 잇는다. 이 정리로부터 정의의 두 곱 가운데 하나만 확인하면 충분하다는 것이 유도되었고, 기본행렬을 이용하여 임의의 차에서 행렬식의 곱의 정리가 증명되었다:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

행렬의 기하

평면 변환으로서의 행렬에 관한 수업은 이 계산에 기하학적 의미를 부여했다. 열에 관한 정리에 의해 2차 행렬은 정확히 평면의 일차변환이며, 각각은 두 기본벡터의 상으로 결정된다. 이 원리로 회전, 사영, 대칭이동, 위치닮음변환, 층밀림의 행렬을 얻었다. 변환을 합성하는 것은 그 행렬을 곱하는 것임이 밝혀졌고, 이로부터 $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ 과 $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ 가 성립한다. 행렬식은 넓이에 곱해지는 배율이며 방향이 뒤집히면 부호가 음이 된다는 것이 밝혀졌다. 그리고 일반 이차방정식의 좌표축의 회전은 $M$ 에서 $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ 로의 이행으로 쓰였고, 대각합과 행렬식이 그 불변량이다.

행렬로서의 복소수에 관한 수업은 이 관점을 복소수에 의한 곱셈에 적용했다. 대응 $M(a + bi) = aI + bJ$ 은 단사이며 덧셈과 곱셈을 보존한다. 이 대응에서 절댓값의 제곱은 행렬식이고, 켤레복소수는 전치행렬이며, 역수는 역행렬이고, 극형식은 회전 뒤에 위치닮음변환을 잇는 것( $M(z) = r R_\theta$ )이다. 이로부터 오일러 공식과 드무아브르 공식이 회전의 합성 규칙이라는 것, 복소수의 행렬은 정확히 $J$ 와 교환 가능한 행렬이라는 것, 그리고 해밀턴의 사원수도 행렬로 표현되지만 그 곱은 더 이상 교환 가능하지 않다는 것이 따라 나왔다.

구조

마지막으로 대수적 구조에 관한 수업은 공통된 것을 분리해 냈다. 군은 결합적인 연산을 가지며 항등원과 역원을 가지는 집합이다. 모든 군에서 항등원과 역원은 유일하고, 소거법칙과 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ 이 교환법칙을 쓰지 않고 성립한다. 순환부분군과 잉여류는 라그랑주 정리로 이어졌다. 곧, 부분군의 위수는 군의 위수의 약수이다. 대수적 구조로서의 환과 체는 둘째 연산을 더했고, 강좌 I의 합동식에 관한 수업의 ‘가역인 나머지’ 정리로부터 $\mathbb{Z}_n$ 이 체인 것은 $n$ 이 소수일 때, 그리고 그때에 한한다는 것이 증명되었다. 끝으로 동형사상은 같은 연산표를 가진 두 체계는 같은 체계라는 생각을 정밀하게 했다.

따라서 단원은 하나의 사슬을 이룬다. 합성은 곱의 동기가 되고, 곱은 연립방정식을 $AX = B$ 꼴의 방정식으로 쓸 수 있게 하며, 소거는 연립방정식을 풀고 랭크는 그것을 분류한다. 행렬식은 유일성을 판정하고 역행렬은 그 해를 나타낸다. 변환의 합성은 곱에 기하학적 의미를 되돌려 주고, 복소수는 덧셈과 합성에 대하여 닫힌 변환의 한 족으로 나타난다. 그리고 군의 개념은 행렬의 역행렬의 유일성, 수의 역수의 유일성, 다른 회전을 되돌리는 회전의 유일성이 하나의 정리임을 보여 준다. 아래 그림은 네 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이다. 각 받침은 그것에 기대는 고리들과 실선으로, 그것이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 증명 없이 받아들인 것이나 앞 단원들 또는 강좌 I에서 온 것은 빈 원으로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

A귀납법. 어떤 성질이 첫 경우에 성립하고 각 경우에서 바로 뒤의 경우로 넘어가면, 모든 경우에 성립한다. 강좌 I의 1단원에서 증명되었으며, 여기서는 이중 합, 소거, 거듭제곱, 회전에 쓰인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
B곱의 결합법칙. 곱이 정의되기만 하면 $(AB)C = A(BC)$ 이 성립하므로, 여러 행렬의 곱은 인수의 순서를 바꾸지 않는 한 편한 대로 묶을 수 있다. 확립되는 곳: 2. 곱의 성질.
C열에 관한 정리. 평면의 모든 일차변환은 유일한 한 행렬의 변환이며, 그 행렬의 열은 $\vec{e}_1$ 과 $\vec{e}_2$ 의 상이다. 확립되는 곳: 16. 행렬의 열.
D덧셈정리. 합과 차의 사인과 코사인, 그리고 배각의 사인과 코사인으로, 해석 삼각법을 다루는 2단원에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
E평면벡터. 점과 직선 사이의 거리, 정사영, 평행 판정법으로, 평면 해석기하학을 다루는 강좌 I의 4단원에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
F평행사변형의 넓이. 평행사변형의 넓이는 한 밑변과 그에 대응하는 높이의 곱이다. 초등 기하에서처럼, 부호 있는 넓이 정리의 증명에서 증명 없이 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
G나머지와 합동식. 나머지가 있는 나눗셈, 법 $n$ 에 대한 합동, 그 합동과 덧셈 및 곱셈의 양립성, 잉여류, 그리고 ‘가역인 나머지’ 정리로, 이 정리에 따르면 $a$ 가 법 $n$ 에 대한 역원을 가지는 것은 $\operatorname{gcd}(a, n) = 1$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. 강좌 I의 1단원, 나누어떨어짐과 합동식에 관한 수업들에서 증명되었다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.

제1구간 행렬의 대수와 연립일차방정식
- 일차 치환의 합성으로부터 행렬의 곱을 정의하고, 모든 연립일차방정식을 방정식 $AX = B$ 로 쓴다.
- 결합법칙, 분배법칙, 단위행렬이 항등원이라는 성질을 증명하고, 곱이 교환 가능하지 않으며 영인자를 가진다는 것을 인식한다.
- 전치행렬이 인수의 순서를 뒤바꾸고 대각합은 순서를 구별하지 않음을 증명한다.
- 기약행사다리꼴이 유일함을 증명하고, 이를 이용하여 랭크를 정의한다.
- 모든 연립일차방정식을 가우스-조르당 소거법으로 풀고, 루셰-프로베니우스 정리로 분류한다.
1. 행렬의 곱. 성분 $(i, j)$ ( $AB$ 의)는 제 $i$ 행( $A$ 의)과 제 $j$ 열( $B$ 의)의 대응하는 성분끼리의 곱의 합이다. 이렇게 두 일차 치환의 합성의 표가 얻어지며, 모든 연립일차방정식은 $AX = B$ 꼴로 쓰인다.
  증명된 수업: 행렬과 행렬의 연산.
2. 곱의 성질. 두 합의 순서 교환에 의해 행렬의 곱은 결합적이고 덧셈에 대하여 분배적이며, 단위행렬이 그 항등원이다. 반면 교환 가능하지 않고, 영인자와 멱영행렬을 가진다. 또 $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ 과 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ 가 성립하며, 이로부터 방정식 $AB - BA = I$ 은 해가 없다.
  사용: 1. 행렬의 곱. 받침: A (귀납법). 증명된 수업: 행렬과 행렬의 연산.
3. 가우스-조르당 소거법. 기본행연산은 연립방정식을 동치인 연립방정식으로 바꾸며, 모든 행렬은 이 연산을 유한 번 적용하여 기약행사다리꼴로 변형된다.
  사용: 1. 행렬의 곱. 받침: A (귀납법). 증명된 수업: 연립일차방정식과 가우스-조르당 소거법.
4. 기약행사다리꼴의 유일성. 같은 행렬에서 얻어진 두 기약행사다리꼴은 같다. 그 동차연립방정식들이 같은 해를 가지기 때문이다. 따라서 랭크, 곧 어떤 행사다리꼴이든 그 영이 아닌 행의 개수는 선택한 연산에 의존하지 않는다.
  사용: 3. 가우스-조르당 소거법. 받침: A (귀납법). 증명된 수업: 연립일차방정식과 가우스-조르당 소거법.
5. 루셰-프로베니우스. 연립방정식 $AX = B$ (첨가행렬은 $M$ , 미지수는 $n$ 개)는 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ 일 때, 그리고 그때에 한하여 해가 있다. 이때 랭크가 $n$ 이면 해가 하나뿐이고, $n - r$ 개의 자유 매개변수에 의존하는 것은 랭크가 $r < n$ 일 때이다. 특히 $AX = 0$ 이 자명하지 않은 해를 가지는 것은 $\operatorname{rank}(A) < n$ 일 때, 그리고 그때에 한한다.
  사용: 3. 가우스-조르당 소거법, 4. 기약행사다리꼴의 유일성. 증명된 수업: 연립일차방정식과 가우스-조르당 소거법.
제2구간 행렬식과 역행렬
- 2차 행렬식을 부호 있는 넓이로 해석하고, 임의의 차에서 점화식으로 정의한다.
- 차에 관한 귀납법으로 행렬식의 성질을 증명하고, 소거로 행렬식을 계산하며, 이를 이용하여 해의 유일성을 판정한다.
- 가역행렬을 특징짓고, 역행렬을 수반행렬과 가우스-조르당 소거법으로 계산한다.
- 가역성과 동치인 조건들을 하나의 정리로 모으고, 이로부터 한쪽 역행렬과 행렬식의 곱의 정리를 유도한다.
1. 부호 있는 넓이. 열이 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$ 인 행렬의 행렬식의 절댓값은 두 벡터가 결정하는 평행사변형의 넓이이고, 그 부호는 $\vec{u}$ 에서 $\vec{v}$ 로의 회전이 시계 반대 방향인지 시계 방향인지를 나타낸다.
  받침: E (평면벡터), D (덧셈정리), F (평행사변형의 넓이). 증명된 수업: 행렬식: 성질과 크라메르 공식.
2. 행렬식의 성질. 첫째 행에 대한 전개에서 출발하여 차에 관한 귀납법으로, 행렬식은 각 행에 대하여 선형이고, 두 행을 바꾸면 부호가 바뀌며, 한 행이 영이거나 두 행이 같으면 영이 되고, 한 행에 다른 행의 배수를 더하거나 전치해도 변하지 않으며, 삼각행렬에서는 대각선 성분의 곱과 같고, 임의의 행 또는 열에 대하여 전개된다.
  받침: A (귀납법). 증명된 수업: 행렬식: 성질과 크라메르 공식.
3. 행렬식과 랭크. $n$ 차 정사각행렬의 행렬식이 영이 아닌 것, 곧 그 행렬이 정칙행렬인 것은 그 랭크가 $n$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. 따라서 $AX = 0$ 이 영이 아닌 해를 가지는 것은 $A$ 가 특이행렬일 때, 곧 $\det A = 0$ 일 때, 그리고 그때에 한한다.
  사용: 3. 가우스-조르당 소거법, 4. 기약행사다리꼴의 유일성, 5. 루셰-프로베니우스, 7. 행렬식의 성질. 증명된 수업: 행렬식: 성질과 크라메르 공식.
4. 크라메르 공식. $D = \det A \neq 0$ 일 때, 연립방정식 $AX = B$ (방정식 $n$ 개, 미지수 $n$ 개)는 유일한 해 $x_k = \frac{D_k}{D}$ 를 가진다. 여기서 $D_k$ 는 제 $k$ 열을 상수항의 열로 바꾸어 얻는다. 이 공식은 제 $k$ 열의 여인수를 이용하여 모든 차에서 증명된다.
  사용: 2. 곱의 성질, 5. 루셰-프로베니우스, 7. 행렬식의 성질, 8. 행렬식과 랭크. 증명된 수업: 행렬식: 성질과 크라메르 공식.
5. 역행렬의 유일성. 정사각행렬의 역행렬은 많아야 하나이다. $AB = BA = I$ 이고 $AD = DA = I$ 이면 $B = D$ 이다.
  받침: B (곱의 결합법칙). 증명된 수업: 역행렬.
6. 행렬식과 가역성. 정사각행렬 $A$ 가 가역인 것은 $\det A \neq 0$ 일 때, 곧 정칙행렬일 때, 그리고 그때에 한하며, 이때 그 역행렬은 수반행렬을 행렬식으로 나눈 것이다. 필요성은 곱의 행렬식을 쓰지 않고 랭크로 얻으며, 충분성은 ‘다른 행의 여인수’ 보조정리로 얻는다.
  사용: 5. 루셰-프로베니우스, 7. 행렬식의 성질, 8. 행렬식과 랭크. 받침: B (곱의 결합법칙). 증명된 수업: 역행렬.
7. 역행렬의 성질. $A$ 와 $B$ 가 가역이면 $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ (단, $c \neq 0$ ), $A^m$ 도 가역이며, 특히 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 이다.
  사용: 2. 곱의 성질, 10. 역행렬의 유일성. 받침: B (곱의 결합법칙), A (귀납법). 증명된 수업: 역행렬.
8. 가우스-조르당 소거법에 의한 역행렬. 각 기본행연산은 가역인 기본행렬을 곱하는 것이다. $A$ 의 기약행사다리꼴이 $I$ 이면 이 연산들은 $\left( A, I \right)$ 을 $\left( I, A^{-1} \right)$ 로 바꾸고 $A$ 는 기본행렬들의 곱이며, 그렇지 않으면 $A$ 는 가역이 아니다.
  사용: 3. 가우스-조르당 소거법, 4. 기약행사다리꼴의 유일성, 12. 역행렬의 성질. 받침: B (곱의 결합법칙). 증명된 수업: 역행렬.
9. 가역성의 동치 조건과 한쪽 역행렬. 정사각행렬 $A$ ( $n$ 차)에 대하여, 가역이라는 것, $\det A \neq 0$ 이라는 것, 각 연립방정식 $AX = D$ 가 유일한 해를 가진다는 것, $AX = 0$ 가 자명한 해만 가진다는 것, $\operatorname{rank}(A) = n$ 이라는 것, 그 기약행사다리꼴이 단위행렬이라는 것은 서로 동치이다. 이로부터 $AB = I$ 또는 $BA = I$ 이면 $B = A^{-1}$ 이다.
  사용: 5. 루셰-프로베니우스, 4. 기약행사다리꼴의 유일성, 11. 행렬식과 가역성, 13. 가우스-조르당 소거법에 의한 역행렬. 받침: B (곱의 결합법칙). 증명된 수업: 역행렬.
10. 곱의 행렬식. 같은 차의 모든 정사각행렬 $A$ , $B$ 에 대하여 $\det(AB) = \det A \det B$ 이 성립한다. $A$ 가 가역이면 기본행렬로, 그렇지 않으면 랭크로 증명한다.
  사용: 7. 행렬식의 성질, 8. 행렬식과 랭크, 13. 가우스-조르당 소거법에 의한 역행렬, 14. 가역성의 동치 조건과 한쪽 역행렬. 받침: A (귀납법). 증명된 수업: 역행렬.
제3구간 행렬의 기하
- 2차 행렬을 평면의 일차변환과 동일시하고, 회전, 사영, 대칭이동의 행렬을 구한다.
- 변환의 합성을 행렬의 곱으로, 행렬식을 넓이의 배율로 옮긴다.
- 좌표축의 회전을 행렬로 나타내고, 대각합과 행렬식을 불변량으로 삼는다.
- 복소수를 행렬로 나타내고, 절댓값, 켤레복소수, 역수, 극형식을 행렬로 읽는다.
1. 행렬의 열. 행렬의 변환은 모두 일차변환이고, 평면의 모든 일차변환은 유일한 한 행렬, 곧 $T(\vec{e}_1)$ 과 $T(\vec{e}_2)$ 를 열로 가지는 행렬의 변환이다.
  사용: 2. 곱의 성질. 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
2. 회전, 사영, 대칭이동. 원점을 중심으로 하는 각 $\theta$ 의 회전, 원점을 지나는 직선 위로의 사영, 그 직선에 대한 대칭이동은 일차변환이며, 그 행렬은 $R_\theta$ , $P_\alpha$ , $S_\alpha$ 이다.
  받침: C (열에 관한 정리), D (덧셈정리), E (평면벡터). 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
3. 합성과 곱. $T$ 가 행렬 $A$ 의 변환이고 $U$ 가 행렬 $B$ 의 변환이면, 합성 $T \circ U$ 는 행렬 $AB$ 의 변환이다.
  받침: B (곱의 결합법칙), C (열에 관한 정리). 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
4. 회전과 대칭이동의 합성. $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ , $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ 가 성립한다.
  사용: 17. 회전, 사영, 대칭이동, 18. 합성과 곱. 받침: D (덧셈정리), A (귀납법). 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
5. 넓이의 배율로서의 행렬식. 행렬 $A$ 의 변환은 단위정사각형을 그 열들이 만드는 평행사변형으로 옮기고 넓이에 $\abs{\det A}$ 를 곱한다. 일반 영역에 대해서는 이를 증명 없이 받아들인다. 이 변환은 $\det A > 0$ 이면 방향을 보존하고 $\det A < 0$ 이면 방향을 뒤집는다.
  사용: 6. 부호 있는 넓이. 받침: C (열에 관한 정리). 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
6. 가역인 변환. 행렬 $A$ 의 변환이 전단사인 것은 $\det A \neq 0$ 일 때, 그리고 그때에 한하며, 이때 그 역변환은 행렬 $A^{-1}$ 의 변환이다. $\det A = 0$ 이면 그 상은 원점을 지나는 한 직선에 포함된다.
  사용: 11. 행렬식과 가역성, 18. 합성과 곱. 받침: E (평면벡터). 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
7. 행렬로 나타낸 좌표축의 회전. 좌표축을 각 $\theta$ 만큼 회전하면, 이차형식의 대칭행렬 $M$ 은 $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ 가 되며, 이 행렬은 $M$ 과 같은 대각합과 같은 행렬식을 가진다.
  사용: 2. 곱의 성질, 7. 행렬식의 성질, 15. 곱의 행렬식, 19. 회전과 대칭이동의 합성. 증명된 수업: 평면 변환으로서의 행렬.
8. 행렬로서의 복소수. 대응 $M(a + bi) = aI + bJ$ 은 단사이며 덧셈과 곱셈을 보존한다. 또 $J$ , 곧 $i$ 의 행렬은 사분의 일 회전이며, 그 제곱은 $-I$ 이다.
  사용: 1. 행렬의 곱, 17. 회전, 사영, 대칭이동. 증명된 수업: 행렬로서의 복소수.
9. 절댓값, 켤레복소수, 역수. $M(z)$ 의 행렬식은 $\abs{z}^2$ 이고, 켤레복소수의 행렬은 $M(z)$ 의 전치행렬이며, $z \neq 0$ 이면 $z^{-1}$ 의 행렬은 $M(z)$ 의 역행렬이다.
  사용: 10. 역행렬의 유일성, 20. 넓이의 배율로서의 행렬식, 23. 행렬로서의 복소수. 증명된 수업: 행렬로서의 복소수.
10. 극형식과 드무아브르. $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ 이면 $M(z) = r R_\theta$ , 곧 회전 뒤에 위치닮음변환을 잇는 것이며, $R_\theta^n = R_{n\theta}$ 에서 모든 정수 지수에 대한 드무아브르 공식이 따라 나온다.
  사용: 19. 회전과 대칭이동의 합성, 23. 행렬로서의 복소수, 24. 절댓값, 켤레복소수, 역수. 받침: A (귀납법). 증명된 수업: 행렬로서의 복소수.
제4구간 구조
- 군을 정의하고, 교환법칙을 쓰지 않고 그 기본 성질을 증명한다.
- 순환부분군을 연구하고 라그랑주 정리를 증명한다.
- 대수적 구조로서의 환과 체를 정의하고, 나머지들 $\mathbb{Z}_n$ 이 언제 체를 이루는지 판정한다.
- 동형사상을 이용하여 두 군이 언제 같은 구조인지를 정확히 한다.
1. 군의 성질. 모든 군에서 항등원과 각 원소의 역원은 유일하고, 양쪽 각각에서 소거법칙이 성립하며, 교환법칙을 쓰지 않고 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ 이 성립한다.
  증명된 수업: 대수 구조: 군, 환, 체.
2. 순환부분군. 유한군에서 모든 원소 $g$ 는 위수 $k$ 를 가지며, $g^m = e$ 인 것은 $k$ 가 $m$ 의 약수일 때, 그리고 그때에 한하고, 거듭제곱 $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ 은 원소가 $k$ 개인 부분군을 이룬다.
  사용: 26. 군의 성질. 받침: G (나머지와 합동식). 증명된 수업: 대수 구조: 군, 환, 체.
3. 라그랑주 정리. 유한군의 부분군의 위수는 군의 위수의 약수이다. 군은 부분군과 같은 개수의 원소를 가진, 서로 겹치지 않는 잉여류들로 나뉘기 때문이다.
  사용: 26. 군의 성질. 증명된 수업: 대수 구조: 군, 환, 체.
4. 나머지들은 체를 이룬다. $n \geq 2$ 일 때, 나머지들 $\mathbb{Z}_n$ 은 $n$ 이 소수이면 체를 이룬다. ‘가역인 나머지’ 정리에 의해 영이 아닌 모든 나머지가 역원을 가지기 때문이다. $n$ 이 합성수이면 영인자를 가지므로 체를 이루지 않는다.
  받침: G (나머지와 합동식). 증명된 수업: 대수 구조: 군, 환, 체.
5. 동형사상이 보존하는 것. 군의 동형사상은 항등원을 항등원으로, 각 원소의 역원을 그 상의 역원으로, 각 원소를 위수가 같은 원소로 옮기며, 가환성을 보존한다.
  사용: 26. 군의 성질, 27. 순환부분군. 받침: A (귀납법). 증명된 수업: 대수 구조: 군, 환, 체.

공간기하학으로. 사슬은 여기서 멈추지 않는다. 뒤이은 단원에서 3차 행렬식은 외적, 스칼라 삼중곱, 평행육면체의 부피를 주고, 랭크와 역행렬은 직선과 평면의 교차를 판정하고 계산한다. 이렇게 이 단원의 대수는 공간기하학의 도구가 된다.