Matrici e strutture algebriche: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulle matrici e sulle strutture algebriche. Riunisce in una catena deduttiva ciò che si è ottenuto nelle sue sette lezioni: il prodotto di matrici, nato dalla composizione delle sostituzioni lineari; la risoluzione completa dei sistemi lineari con il metodo di Gauss-Jordan e il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius); il determinante come area orientata e come criterio di unicità; la matrice inversa e le condizioni equivalenti all’invertibilità; la lettura delle matrici come trasformazioni del piano; la copia fedele dei numeri complessi dentro le matrici; e le nozioni di gruppo, anello algebrico, campo e isomorfismo, che danno un nome a ciò che tutti questi calcoli hanno in comune. Spiega come l’unità riprende risultati delle unità anteriori e del corso Algebra e Geometria I, che cosa si è ammesso senza dimostrazione e come prepara l’unità seguente, sulla geometria analitica dello spazio, e il corso Analisi I. Si chiude con dieci sfide più impegnative dei problemi delle lezioni, che ne combinano diverse.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena di definizioni e teoremi dell’unità, dal prodotto di matrici fino agli isomorfismi, e spiegare quale risultato si appoggia su quale.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con quelli delle unità anteriori e del corso I, in particolare con i sistemi lineari, i vettori, la rotazione degli assi, la forma polare e l’aritmetica dei resti, distinguere ciò che si è dimostrato da ciò che si è ammesso e anticiparne l’uso nella geometria dello spazio.
Risolvere problemi che combinano determinanti, inverse, trasformazioni, matrici di numeri complessi e strutture algebriche, scegliendo in ogni caso lo strumento adeguato.
Trasferire un problema da una struttura a un’altra mediante una corrispondenza che conserva le operazioni, e decidere con gli invarianti di un isomorfismo se due gruppi sono lo stesso.

Ciò che l’unità ha ottenuto

L’algebra delle matrici e i sistemi lineari

Il punto di partenza fu un’osservazione sulle sostituzioni lineari. Nella lezione su matrici e operazioni con le matrici, la tabella della sostituzione composta risultò dal moltiplicare riga per colonna le tabelle delle due sostituzioni, e questa regola si assunse come definizione del prodotto. Da essa seguirono l’associatività, scambiando l’ordine delle sommatorie, la distributività e la neutralità dell’identità; e, in senso contrario, si vide che il prodotto non è commutativo, che ammette divisori dello zero e che esistono matrici non nulle con una potenza nulla. La trasposta inverte l’ordine dei fattori, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , e la traccia non distingue l’ordine, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , per cui l’equazione $AB - BA = I$ non ha soluzione in nessun ordine.

Con il prodotto, ogni sistema lineare si scrisse come un’unica equazione $AX = B$ . La lezione su sistemi lineari e il metodo di Gauss-Jordan dimostrò che le operazioni elementari sulle righe conservano le soluzioni e che ogni matrice si riduce a una forma a scala ridotta; dimostrò per induzione sul numero di colonne che tale forma è unica, per cui il rango non dipende dal cammino dell’eliminazione, e dimostrò il teorema di Rouché-Capelli: il sistema è compatibile se e solo se $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , e in tal caso le sue soluzioni dipendono da $n - r$ parametri liberi. Ne seguì che un sistema lineare non ha mai esattamente due soluzioni e che un sistema omogeneo con meno equazioni che incognite ha soluzioni non banali.

Il determinante e l’inversa

Per i sistemi quadrati si vuole poi decidere l’unicità senza percorrere tutta l’eliminazione. La lezione su determinanti, proprietà e regola di Cramer interpretò il determinante di ordine due come area orientata, lo definì per ricorrenza in ogni ordine, ne dimostrò per induzione sull’ordine le sei proprietà e le usò per calcolarlo riducendo la matrice. Se è così, ogni operazione elementare moltiplica il determinante per un numero non nullo, e da ciò seguì che $\det A \neq 0$ se e solo se $\operatorname{rg}(A) = n$ . Il teorema di Binet, $\det(AB) = \det A \det B$ , vi si dimostrò in ordine due con un calcolo diretto, e la regola di Cramer, dimostrata in ogni ordine con i complementi algebrici di una colonna, espresse ogni incognita come quoziente di determinanti.

La lezione su la matrice inversa chiuse questo tema. Dimostrò che l’inversa è unica, che esiste se e solo se il determinante non è nullo e che è la matrice aggiunta divisa per il determinante; che l’inversa di un prodotto inverte l’ordine dei fattori; e che ogni operazione elementare è la moltiplicazione per una matrice elementare, per cui il metodo di Gauss-Jordan trasforma $\left( A, I \right)$ in $\left( I, A^{-1} \right)$ senza calcolare determinanti. Tutto ciò si riassunse in un unico teorema di equivalenze, che collega le quattro lezioni anteriori; da esso si dedusse che basta verificare uno dei due prodotti della definizione, e con le matrici elementari si dimostrò il teorema di Binet in ogni ordine:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rg}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

La geometria delle matrici

La lezione su matrici come trasformazioni del piano diede a questo calcolo un significato geometrico. Per il teorema delle colonne, le matrici di ordine due sono esattamente le trasformazioni lineari del piano, e ciascuna è determinata dalle immagini dei due versori fondamentali; con questo principio si ottennero le matrici delle rotazioni, delle proiezioni, delle simmetrie, delle omotetie e delle trasformazioni di taglio. Comporre trasformazioni risultò moltiplicare le loro matrici, da cui seguono $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ e $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ; il determinante risultò il fattore per cui si moltiplicano le aree, con segno negativo se l’orientamento si inverte; e la rotazione degli assi dell’equazione di secondo grado si scrisse come il cambio da $M$ a $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , con traccia e determinante come invarianti.

La lezione sui numeri complessi come matrici applicò questa lettura alla moltiplicazione per un complesso. La corrispondenza $M(a + bi) = aI + bJ$ è iniettiva e conserva somma e prodotto; tramite essa, il quadrato del modulo è il determinante, il coniugato è la trasposta, l’inverso è la matrice inversa e la forma polare è una rotazione seguita da un’omotetia, $M(z) = r R_\theta$ . Ne seguì che le formule di Eulero e di de Moivre sono la regola di composizione delle rotazioni, che le matrici dei complessi sono esattamente quelle che commutano con $J$ e che anche i quaternioni di Hamilton ammettono una rappresentazione mediante matrici, il cui prodotto non è più commutativo.

Le strutture

Infine, la lezione sulle strutture algebriche isolò ciò che è comune. Un gruppo è un insieme con un’operazione associativa, con elemento neutro e con inversi; in ogni gruppo il neutro e gli inversi sono unici, vale la legge di cancellazione e vale $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , senza usare la commutatività. I sottogruppi ciclici e le classi laterali condussero al teorema di Lagrange: l’ordine di un sottogruppo divide l’ordine del gruppo. Gli anelli algebrici e i campi aggiunsero una seconda operazione, e a partire dal teorema dei resti invertibili della lezione del corso I sulle congruenze si dimostrò che $\mathbb{Z}_n$ è un campo se e solo se $n$ è primo. Gli isomorfismi, infine, resero precisa l’idea che due sistemi con la stessa tavola delle operazioni sono lo stesso sistema.

Di conseguenza, l’unità forma una catena: la composizione motiva il prodotto; il prodotto permette di scrivere i sistemi come equazioni $AX = B$ ; l’eliminazione li risolve e il rango li classifica; il determinante decide l’unicità e l’inversa la esprime; la composizione di trasformazioni restituisce al prodotto il suo senso geometrico; i complessi appaiono come una famiglia di trasformazioni chiusa rispetto alla somma e alla composizione; e la nozione di gruppo mostra che l’unicità dell’inversa di una matrice, quella dell’inverso di un numero e quella della rotazione che ne annulla un’altra sono un unico teorema. La figura seguente riunisce i quattro tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che vi si appoggiano e da una punteggiata all’anello in cui si stabilisce, salvo quelli che si ammettono senza dimostrazione o provengono da unità anteriori o dal corso I, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AInduzione. Se una proprietà vale nel primo caso e si trasmette da ogni caso a quello che lo segue, vale in tutti; dimostrata nell’unità 1 del corso I, qui serve per le sommatorie doppie, l’eliminazione, le potenze e le rotazioni. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BAssociatività del prodotto. Vale $(AB)C = A(BC)$ quando i prodotti sono definiti, per cui un prodotto di più matrici si raggruppa a piacere senza cambiare l’ordine dei fattori. Stabilito in: 2. Proprietà del prodotto.
CTeorema delle colonne. Ogni trasformazione lineare del piano è quella di un’unica matrice, le cui colonne sono le immagini di $\vec{e}_1$ e di $\vec{e}_2$ . Stabilito in: 16. Le colonne della matrice.
DFormule di addizione. Seno e coseno di una somma, di una differenza e dell’angolo doppio, dimostrati nell’unità 2 sulla trigonometria analitica. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
EVettori del piano. La distanza da un punto a una retta, la proiezione ortogonale e il criterio di parallelismo, dimostrati nell’unità 4 del corso I sulla geometria analitica del piano. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FArea del parallelogramma. L’area di un parallelogramma è il prodotto di una base per l’altezza corrispondente; si ammette, come nella geometria elementare, nella dimostrazione del teorema dell’area orientata. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GResti e congruenze. La divisione con resto, la congruenza modulo $n$ , la sua compatibilità con somma e prodotto, le classi di resti e il teorema dei resti invertibili, secondo cui $a$ ha inverso modulo $n$ se e solo se $\operatorname{MCD}(a, n) = 1$ , dimostrati nell’unità 1 del corso I, nelle lezioni sulla divisibilità e sulle congruenze. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.

Tratto 1 L’algebra delle matrici e i sistemi lineari
- Definire il prodotto di matrici a partire dalla composizione delle sostituzioni lineari e scrivere ogni sistema lineare come un’equazione $AX = B$ .
- Dimostrare l’associatività, la distributività e la neutralità dell’identità, e riconoscere che il prodotto non è commutativo e ammette divisori dello zero.
- Dimostrare che la trasposta inverte l’ordine dei fattori e che la traccia non distingue l’ordine.
- Dimostrare che la forma a scala ridotta è unica e definire con essa il rango.
- Risolvere ogni sistema lineare con il metodo di Gauss-Jordan e classificarlo con il teorema di Rouché-Capelli.
1. Prodotto di matrici. L’elemento $(i, j)$ di $AB$ è la somma dei prodotti della riga $i$ di $A$ per la colonna $j$ di $B$ ; così si ottiene la tabella della composizione di due sostituzioni lineari, e ogni sistema lineare si scrive $AX = B$ .
  Dimostrato in: Matrici e operazioni con le matrici.
2. Proprietà del prodotto. Scambiando l’ordine delle sommatorie, il prodotto di matrici è associativo e distributivo rispetto alla somma, e le identità sono il suo elemento neutro; invece non è commutativo e ammette divisori dello zero e matrici nilpotenti. Valgono inoltre $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ e $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , per cui l’equazione $AB - BA = I$ non ha soluzione.
  Usa: 1. Prodotto di matrici. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Matrici e operazioni con le matrici.
3. Metodo di Gauss-Jordan. Le operazioni elementari sulle righe trasformano un sistema in uno equivalente, e con esse ogni matrice si riduce in un numero finito di operazioni a una forma a scala ridotta.
  Usa: 1. Prodotto di matrici. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Sistemi lineari e il metodo di Gauss-Jordan.
4. Unicità della forma ridotta. Due forme a scala ridotte ottenute dalla stessa matrice coincidono, perché i loro sistemi omogenei hanno le stesse soluzioni; perciò il rango, il numero di righe non nulle di una qualsiasi forma a scala, non dipende dalle operazioni scelte.
  Usa: 3. Metodo di Gauss-Jordan. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Sistemi lineari e il metodo di Gauss-Jordan.
5. Rouché-Capelli. Il sistema $AX = B$ , con matrice completa $M$ e $n$ incognite, è compatibile se e solo se $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , e allora ha un’unica soluzione se il rango è $n$ e dipende da $n - r$ parametri liberi se è $r < n$ ; in particolare, $AX = 0$ ha soluzioni non banali se e solo se $\operatorname{rg}(A) < n$ .
  Usa: 3. Metodo di Gauss-Jordan, 4. Unicità della forma ridotta. Dimostrato in: Sistemi lineari e il metodo di Gauss-Jordan.
Tratto 2 Il determinante e l’inversa
- Interpretare il determinante di ordine due come area orientata e definirlo per ricorrenza in ogni ordine.
- Dimostrare le proprietà del determinante per induzione sull’ordine, calcolarlo riducendo la matrice e decidere con esso l’unicità delle soluzioni.
- Caratterizzare le matrici invertibili e calcolare l’inversa con la matrice aggiunta e con il metodo di Gauss-Jordan.
- Riunire in un unico teorema le condizioni equivalenti all’invertibilità e dedurne l’inversa unilaterale e il teorema di Binet.
1. Area orientata. Il valore assoluto del determinante della matrice di colonne $\vec{u}$ e $\vec{v}$ è l’area del parallelogramma che essi determinano, e il suo segno indica se la rotazione da $\vec{u}$ a $\vec{v}$ è in senso antiorario o in senso orario.
  Si appoggia su: E (Vettori del piano), D (Formule di addizione), F (Area del parallelogramma). Dimostrato in: Determinanti: proprietà e regola di Cramer.
2. Proprietà del determinante. Per induzione sull’ordine, a partire dallo sviluppo lungo la prima riga, il determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, si annulla se una riga è nulla o due righe sono uguali, non cambia sommando a una riga un multiplo di un’altra né trasponendo, vale il prodotto della diagonale in una matrice triangolare e si sviluppa lungo qualsiasi riga o colonna.
  Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Determinanti: proprietà e regola di Cramer.
3. Determinante e rango. Una matrice quadrata di ordine $n$ ha determinante non nullo, cioè è non singolare, se e solo se il suo rango è $n$ ; perciò $AX = 0$ ha soluzioni non nulle se e solo se $A$ è singolare, cioè se $\det A = 0$ .
  Usa: 3. Metodo di Gauss-Jordan, 4. Unicità della forma ridotta, 5. Rouché-Capelli, 7. Proprietà del determinante. Dimostrato in: Determinanti: proprietà e regola di Cramer.
4. Regola di Cramer. Se $D = \det A \neq 0$ , il sistema $AX = B$ di $n$ equazioni in $n$ incognite ha un’unica soluzione, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , dove $D_k$ si ottiene sostituendo la colonna $k$ con quella dei termini noti; si dimostra in ogni ordine con i complementi algebrici della colonna $k$ .
  Usa: 2. Proprietà del prodotto, 5. Rouché-Capelli, 7. Proprietà del determinante, 8. Determinante e rango. Dimostrato in: Determinanti: proprietà e regola di Cramer.
5. Unicità dell’inversa. Una matrice quadrata ha al più un’inversa: da $AB = BA = I$ e $AD = DA = I$ segue $B = D$ .
  Si appoggia su: B (Associatività del prodotto). Dimostrato in: La matrice inversa.
6. Determinante e invertibilità. Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se $\det A \neq 0$ , cioè se è non singolare, e allora la sua inversa è la matrice aggiunta divisa per il determinante; la necessità si ottiene attraverso il rango, senza usare il determinante di un prodotto, e la sufficienza con il lemma dei complementi algebrici estranei.
  Usa: 5. Rouché-Capelli, 7. Proprietà del determinante, 8. Determinante e rango. Si appoggia su: B (Associatività del prodotto). Dimostrato in: La matrice inversa.
7. Proprietà dell’inversa. Se $A$ e $B$ sono invertibili, lo sono anche $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ con $c \neq 0$ e $A^m$ , e in particolare $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Usa: 2. Proprietà del prodotto, 10. Unicità dell’inversa. Si appoggia su: B (Associatività del prodotto), A (Induzione). Dimostrato in: La matrice inversa.
8. Inversa con Gauss-Jordan. Ogni operazione elementare è la moltiplicazione per una matrice elementare invertibile; se la forma a scala ridotta di $A$ è $I$ , le operazioni trasformano $\left( A, I \right)$ in $\left( I, A^{-1} \right)$ e $A$ è prodotto di matrici elementari; se non lo è, $A$ non è invertibile.
  Usa: 3. Metodo di Gauss-Jordan, 4. Unicità della forma ridotta, 12. Proprietà dell’inversa. Si appoggia su: B (Associatività del prodotto). Dimostrato in: La matrice inversa.
9. Caratterizzazioni e inversa unilaterale. Per una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ sono equivalenti: che sia invertibile, che $\det A \neq 0$ , che ogni sistema $AX = D$ abbia un’unica soluzione, che $AX = 0$ abbia solo la soluzione banale, che $\operatorname{rg}(A) = n$ e che la sua forma a scala ridotta sia l’identità. Ne segue che se $AB = I$ o $BA = I$ , allora $B = A^{-1}$ .
  Usa: 5. Rouché-Capelli, 4. Unicità della forma ridotta, 11. Determinante e invertibilità, 13. Inversa con Gauss-Jordan. Si appoggia su: B (Associatività del prodotto). Dimostrato in: La matrice inversa.
10. Determinante del prodotto. Per ogni coppia di matrici quadrate $A$ e $B$ dello stesso ordine vale $\det(AB) = \det A \det B$ : si dimostra con le matrici elementari se $A$ è invertibile e attraverso il rango se non lo è.
  Usa: 7. Proprietà del determinante, 8. Determinante e rango, 13. Inversa con Gauss-Jordan, 14. Caratterizzazioni e inversa unilaterale. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: La matrice inversa.
Tratto 3 La geometria delle matrici
- Identificare le matrici di ordine due con le trasformazioni lineari del piano e ottenere le matrici delle rotazioni, delle proiezioni e delle simmetrie.
- Tradurre la composizione di trasformazioni nel prodotto di matrici e il determinante nel fattore delle aree.
- Scrivere la rotazione degli assi in forma matriciale, con traccia e determinante come invarianti.
- Rappresentare i numeri complessi come matrici, con modulo, coniugato, inverso e forma polare.
1. Le colonne della matrice. Ogni trasformazione matriciale è lineare, e ogni trasformazione lineare del piano è quella di un’unica matrice, quella di colonne $T(\vec{e}_1)$ e $T(\vec{e}_2)$ .
  Usa: 2. Proprietà del prodotto. Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
2. Rotazioni, proiezioni e simmetrie. La rotazione di angolo $\theta$ attorno all’origine, la proiezione su una retta per l’origine e la simmetria rispetto a essa sono trasformazioni lineari di matrici $R_\theta$ , $P_\alpha$ e $S_\alpha$ .
  Si appoggia su: C (Teorema delle colonne), D (Formule di addizione), E (Vettori del piano). Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
3. Composizione e prodotto. Se $T$ è la trasformazione di matrice $A$ e $U$ quella di matrice $B$ , la composizione $T \circ U$ è la trasformazione di matrice $AB$ .
  Si appoggia su: B (Associatività del prodotto), C (Teorema delle colonne). Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
4. Composizione di rotazioni e simmetrie. Valgono $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ e $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Usa: 17. Rotazioni, proiezioni e simmetrie, 18. Composizione e prodotto. Si appoggia su: D (Formule di addizione), A (Induzione). Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
5. Determinante come fattore delle aree. La trasformazione di matrice $A$ manda il quadrato unitario nel parallelogramma delle sue colonne e moltiplica le aree per $\abs{\det A}$ , cosa che si ammette per regioni generali; conserva l’orientamento se $\det A > 0$ e lo inverte se $\det A < 0$ .
  Usa: 6. Area orientata. Si appoggia su: C (Teorema delle colonne). Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
6. Trasformazioni invertibili. La trasformazione di matrice $A$ è biiettiva se e solo se $\det A \neq 0$ , e allora la sua inversa è quella di matrice $A^{-1}$ ; se $\det A = 0$ , la sua immagine è contenuta in una retta per l’origine.
  Usa: 11. Determinante e invertibilità, 18. Composizione e prodotto. Si appoggia su: E (Vettori del piano). Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
7. Rotazione degli assi in forma matriciale. Ruotando gli assi di un angolo $\theta$ , la matrice simmetrica $M$ di una forma quadratica diventa $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , che ha la stessa traccia e lo stesso determinante di $M$ .
  Usa: 2. Proprietà del prodotto, 7. Proprietà del determinante, 15. Determinante del prodotto, 19. Composizione di rotazioni e simmetrie. Dimostrato in: Le matrici come trasformazioni del piano.
8. I complessi come matrici. La corrispondenza $M(a + bi) = aI + bJ$ è iniettiva e conserva somma e prodotto, e $J$ , la matrice di $i$ , è il quarto di giro il cui quadrato è $-I$ .
  Usa: 1. Prodotto di matrici, 17. Rotazioni, proiezioni e simmetrie. Dimostrato in: I numeri complessi come matrici.
9. Modulo, coniugato e inverso. Il determinante di $M(z)$ è $\abs{z}^2$ , la matrice del coniugato è la trasposta di $M(z)$ e, per $z \neq 0$ , la matrice di $z^{-1}$ è l’inversa di $M(z)$ .
  Usa: 10. Unicità dell’inversa, 20. Determinante come fattore delle aree, 23. I complessi come matrici. Dimostrato in: I numeri complessi come matrici.
10. Forma polare e de Moivre. Se $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , allora $M(z) = r R_\theta$ , una rotazione seguita da un’omotetia; e da $R_\theta^n = R_{n\theta}$ segue la formula di de Moivre per ogni esponente intero.
  Usa: 19. Composizione di rotazioni e simmetrie, 23. I complessi come matrici, 24. Modulo, coniugato e inverso. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: I numeri complessi come matrici.
Tratto 4 Le strutture
- Definire i gruppi e dimostrarne le proprietà elementari senza usare la commutatività.
- Studiare i sottogruppi ciclici e dimostrare il teorema di Lagrange.
- Definire anelli algebrici e campi, e decidere quando i resti $\mathbb{Z}_n$ formano un campo.
- Precisare con gli isomorfismi quando due gruppi sono la stessa struttura.
1. Proprietà dei gruppi. In ogni gruppo il neutro e l’inverso di ciascun elemento sono unici, vale la legge di cancellazione da ciascun lato e vale $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , senza usare la commutatività.
  Dimostrato in: Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.
2. Sottogruppo ciclico. In un gruppo finito, ogni elemento $g$ ha un ordine $k$ , vale $g^m = e$ se e solo se $k$ divide $m$ , e le potenze $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ formano un sottogruppo di $k$ elementi.
  Usa: 26. Proprietà dei gruppi. Si appoggia su: G (Resti e congruenze). Dimostrato in: Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.
3. Teorema di Lagrange. L’ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l’ordine del gruppo, perché il gruppo si ripartisce in classi laterali disgiunte con tanti elementi quanti il sottogruppo.
  Usa: 26. Proprietà dei gruppi. Dimostrato in: Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.
4. I resti formano un campo. Per $n \geq 2$ , i resti $\mathbb{Z}_n$ formano un campo se $n$ è primo, perché per il teorema dei resti invertibili ogni resto non nullo ha inverso; se $n$ è composto, hanno divisori dello zero e non lo formano.
  Si appoggia su: G (Resti e congruenze). Dimostrato in: Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.
5. Ciò che un isomorfismo conserva. Un isomorfismo di gruppi manda il neutro nel neutro, l’inverso di ogni elemento nell’inverso della sua immagine e ogni elemento in uno dello stesso ordine, e conserva la commutatività.
  Usa: 26. Proprietà dei gruppi, 27. Sottogruppo ciclico. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.

Verso la geometria dello spazio. La catena non finisce qui: nell’unità seguente, il determinante di ordine tre fornirà il prodotto vettoriale, il prodotto misto e il volume di un parallelepipedo, e il rango e la matrice inversa decideranno e calcoleranno le intersezioni di rette e piani, per cui l’algebra di questa unità diventerà lo strumento della geometria dello spazio.