Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi

Operazioni binarie

In questo corso e nel corso Algebra e Geometria I si sono sommati e moltiplicati naturali, interi, razionali, reali e complessi; si sono composte funzioni, si sono moltiplicate matrici e si sono eseguite rotazioni del piano una dopo l’altra. Ciascuna di queste operazioni prende due oggetti di un insieme e restituisce un terzo oggetto dello stesso insieme, e per tutte sono state dimostrate, più e più volte, proprietà simili. Questa lezione isola tali proprietà e studia ciò che ne consegue, qualunque sia la natura degli oggetti.

Un’operazione binaria su un insieme $A$ è una regola che associa a ogni coppia ordinata di elementi $a$ e $b$ di $A$ un unico elemento di $A$, che si scrive $a \cdot b$, o semplicemente $ab$. Il fatto che il risultato sia un elemento di $A$ si esprime dicendo che $A$ è chiuso rispetto all’operazione.

Il punto non indica qui necessariamente un prodotto di numeri: è il nome generico dell’operazione, che di volta in volta sarà la somma, il prodotto, la composizione o qualsiasi altra. Quando l’operazione è una somma si usa, per consuetudine, il segno $+$. Le proprietà che interessano sono quattro. L’operazione è associativa se $(ab)c = a(bc)$ per tutti gli elementi $a$, $b$ e $c$ di $A$, e commutativa se $ab = ba$ per tutti gli elementi $a$ e $b$. Un elemento $e$ di $A$ è neutro se $ea = ae = a$ per ogni $a$; e, se esiste un neutro, un elemento $b$ è inverso di $a$ quando $ab = ba = e$.

Nessuna delle quattro proprietà è automatica. La sottrazione è un’operazione binaria in $\mathbb{Z}$, ma non è associativa né commutativa, e non ha neutro: lo $0$ soddisfa $a - 0 = a$, ma non $0 - a = a$. La divisione non è un’operazione binaria in $\mathbb{Q}$, perché non associa nulla alla coppia formata da $1$ e $0$. La somma in $\mathbb{N}$ è associativa e commutativa, ma non ha neutro, perché nel corso I i naturali cominciano da $1$. La composizione di funzioni è associativa e non è commutativa, come si è dimostrato nella lezione del corso I sulle operazioni tra funzioni, e lo stesso accade per il prodotto di matrici quadrate di uno stesso ordine, studiato nella lezione su matrici e operazioni con le matrici, il cui neutro è la matrice identità $I$.